《级数的收敛性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《级数的收敛性（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、3 级数的收敛性 主要知识点：级数及其敛散性概念； 正项级数敛散性的比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法 交错级数的Leibunitz判别法，Leibunitz型级数余项的性质。一般项级数收敛性的Abel、Dilichlet判别法。1、设lim(n2nsint -a ) = 1 ,试判断 艺a的敛散性。nnns.n=11 1 1解：a : 0),讨论 工a的收敛性。n nnp ln n pInn、12解：a = (1一 -)n =幺一 n , ln(1+ t) = t- + o(t2)，所以nn2r p ln n n a = e nnp2 ln2 n2n2+。(宁)=ep ln n
2、ee-plnn =n-p ， 由此即知p 1时级数收敛，0 p 1时级数发散。3、若正项级数工a收敛，且ea” = a + ea”+b”，则 工b 收敛 。nnn解： b = ln(ean a )a = ln1+ a +o(a )a a : a ，所以 工b 收敛nn nn n n nnn4、设 0 x 2时工b收敛，p 0)的敛散性。(1)n+1解：设a”(J n + (-1)n+1) pp 2时工b绝对收敛。并且nb =匕里1 ,则：0 p 1时工c绝对收敛,0 p 1时工c发散;从而当1 p 2时Z A绝对收敛。n6、设A 0,工A发散，Snnnk=1=工A。求证:级数工AkSp当“ 1
3、时发散。解：先讨论p = 1的情形。区寻sk=n kms s =ksk =nk卜区(S - S )S kk 1m K = ns 一 Sm T8=mn 1sm1 ，由柯西准则Ean发散。Sn当p Snn 1)所以工A；发散。n J Dx 1时工2 =工丄Dx ZJ丄Dx = J丄DxS pS px px pk=2 kk=2 sk1 kk=2 sk1A17、设 (x)是( , +8)上连续的周期函数，周期为1,并且M (x)Dx = 0,0A = 1J / ( W (t) Dt = 1 工 J /(L) 一 /(-加(t)Dtnnnnnn0k=1 k1证明：0F (x) e C10,1, a =J
4、 F (x)申(nx)Dx (n = 1,2 ,L )。证明：工 a2 收敛。 nnM 工 J |申(t) df = n 2k =1 k 11工J F(g )匕申(t)Dt n 2k nk=1 k1A2 0时工u 收敛， p 1。n0 p 1时,比较的关系。对申(t) = tpa - a1 n+1n = aaaan n+1nn +1工的关系，即1-上L与1-(上L) P aan +1n+1在X ,1应用中值定理得0 1-X a )nn由柯西准则可证。 。求证: n2a -a p 0 时 ap -+1nn n an+110、设 f (x) e C 8 (-8 , +8), f (n)(x) 一
5、f (n-1)( x)lim f (n) (X) = ce-Xn T+8证：f (n) (X)=工(f (k) (X) 一 f (k -1) (X) + f(X),由条件可知极限k=1limf (n)(x)=艺(f (k)(x)-f (k-1)(x) + f (x)存在，并且右边的级数一致收敛。n T8k =1记 9 ( X) = lim f (n)(x),又因艺(f (k)(x) - f (k -1)( x)=艺(f (k+1)( x) - f (k)(x)，并且n T8k =1k =1也一致收敛，所以 沁x)=另(f(k+1) f(k)(X) + f(X)=k=1=艺(f(k)(x) f(k-1)(x) + f (x) =9 (x)k=1由此可推出结果。
级数的收敛性
