同角三角函数的基本关系及诱导公式1

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1、第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系:平方关系平方关系:_.:_.商数关系商数关系:_.:_.sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1sintancos=(2)(2)三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式:22-sin-sin-sin-sinsinsincoscoscoscos-cos-coscoscos-cos-cossinsin-sin-sintantan-tan-tan-tan-tan2.2.必备结论教材提炼记一记必备结论教材提炼记一记(1)sin(

2、1)sin2 2=1-cos=1-cos2 2,cos,cos2 2=_.=_.1-sin1-sin2 2(2)(2)特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值643223560 012223232121 132221212323.3.必用技法核心总结看一看必用技法核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法:统一法统一法,整体代换法整体代换法.(2)(2)数学思想数学思想:转化与化归的思想转化与化归的思想.(3)(3)记忆口诀记忆口诀:三角函数诱导公式的记忆口诀三角函数诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变奇变偶不变,符号看象符号看象限限”.1.1.教材改编教材改编 链接教材链接教材 练一练练一练(1)(1

3、)(必修必修4P21T54P21T5改编改编)已知已知f(x)=f(x)=则则f(-)f(-)的值为的值为()()A.0 B.1 C.-5 D.-9A.0 B.1 C.-5 D.-9【解析】【解析】选选C.f(-)=sin 0+2sin(-)-4cos(-)+3cos(-)=C.f(-)=sin 0+2sin(-)-4cos(-)+3cos(-)=0+20+2(-1)-4(-1)-40+30+3(-1)=-5.(-1)=-5.sin(x)2sin(x)4cos 2x4433cos(x),44422(2)(2)(必修必修4P22T34P22T3改编改编)已知已知tan=-2,tan=-2,则则

4、=_.=_.【解析】【解析】原式原式=答案答案:-2-2223sin cos sincos23tan 62.tan14 1 2.2.真题小试真题小试 感悟考题感悟考题 试一试试一试(1)(2015(1)(2015泰安模拟泰安模拟)sin 600)sin 600的值为的值为()()【解析】【解析】选选B.sin 600B.sin 600=sin(360=sin(360+240+240)=sin 240)=sin 240=sin(180=sin(180+6060)=-sin 60)=-sin 60=1313A.B.C.D.22223.2(2)(2015(2)(2015梅州模拟梅州模拟)已知已知为锐

5、角，且为锐角，且tan(-)+3=0,tan(-)+3=0,则则sin sin 的的值是值是()()【解析】【解析】选选B.B.方法一：由方法一：由tan(-)+3=0tan(-)+3=0得得tan=3tan=3，即，即sin=3cos,sin=3cos,所以所以sinsin2 2=9(1-sin=9(1-sin2 2),10sin),10sin2 2=9,sin=9,sin2 2=又因为又因为为锐角，所以为锐角，所以sin=sin=1333A.B.10C.7D.531075sin 3,cos 9.10310.10方法二：因为方法二：因为为锐角，且为锐角，且tan(-)+3=0,tan(-)+

6、3=0,所以所以-tan+3=0-tan+3=0即即tan=3.tan=3.在如图直角三角形中，令在如图直角三角形中，令A=A=，BC=3BC=3则则AC=1AC=1，故，故所以所以22AB3110.33sin 10.1010(3)(2015(3)(2015厦门模拟厦门模拟)已知已知 是第四象限角，则是第四象限角，则sin=sin=.【解析】【解析】=cos=,=cos=,因为因为是第四象限角，所以是第四象限角，所以sin=sin=答案：答案：1sin(),23 sin()21322 21 cos.3 2 23【加固训练】【加固训练】1.(20151.(2015南昌模拟南昌模拟)已知已知sin

7、(x+)=sin(x+)=，则，则cos(x+)cos(x+)的值为的值为()()【解析】【解析】选选B.B.因为因为所以所以12137121122A.B.C.2D.233331sin(x)123，71cos(x)cos(x)sin(x).12212123 考点考点2 2 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015青岛模拟青岛模拟)已知已知是第四象限角，是第四象限角，sin=sin=则则tan=()tan=()(2)(2)化简：化简：(1+tan(1+tan2 2)(1-sin)(1-sin2 2)=_.)=_.(3)(2015(3)(

8、2015银川模拟银川模拟)若若tan=tan=，则，则 =_=_，sinsin2 22sin cos=_.2sin cos=_.1213，551212A.B.C.D.13135543sin 4cos 5sin 2cos【解题提示】【解题提示】(1)(1)先求先求cos cos，再求，再求tan tan，注意角，注意角的范围的范围.(2)(2)切化弦切化弦,注意应用公式的变形注意应用公式的变形.(3)(3)第一个式子的分子分母都是关于第一个式子的分子分母都是关于sin sin，cos cos 的一次式，第二的一次式，第二个式子的分母看成个式子的分母看成1 1，然后转化为，然后转化为sinsin2

9、 2+cos+cos2 2 ，此时分子分母都，此时分子分母都是关于是关于sin sin，cos cos 的二次式，利用商数关系转化成关于的二次式，利用商数关系转化成关于tan tan 的的表达式求解表达式求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.因为因为是第四象限角，是第四象限角，sin=sin=所以所以cos=cos=故故tan=tan=(2)(2)原式原式=答案：答案：1 11213，251 sin 13，sin 12.cos 5 22222sin (1)cos cos sin 1.cos (3)(3)答案：答案：44sin 4cos tan 483.45sin 2cos 5t

10、an 275()23 222222sin2sin cos sin2sin cos sincos168tan2tan 893.161tan2519 88725【变式训练】【变式训练】1.(20151.(2015长沙模拟长沙模拟)化简：化简：=_.=_.【解析】【解析】原式原式=答案：答案：sin 2xsin 2x11tan xtan x2222sin xtan xsin xcos xcos xsin xtan x1sin xcos x()1cos x1sin xcos xsin 2x.2122.2.已知已知 则则sin xcos x+cossin xcos x+cos2 2x=_.x=_.【解析

11、】【解析】由已知由已知,得得 解得解得tan x=2tan x=2，所以所以答案：答案：sin x3cos x53cos xsin x，tan x353tan x，22222sin xcos xcos xtan x13sin xcos xcos x.sin xcos xtan x15352.2.化简化简:cos:cos4 4-sin-sin4 4+1=+1=.【解析】【解析】原式原式=(cos=(cos2 2-sin-sin2 2)(cos)(cos2 2+sin+sin2 2)+1)+1=cos=cos2 2-sin-sin2 2+1+1=2cos=2cos2 2.答案答案:2cos2cos

12、2 2悟悟技法技法1.1.诱导公式用法的一般思路诱导公式用法的一般思路(1)(1)化大角为小角化大角为小角.(2)(2)角中含有加减角中含有加减 的整数倍时，用公式去掉的整数倍时，用公式去掉 的整数倍的整数倍.2.2.常见的互余和互补的角常见的互余和互补的角(1)(1)常见的互余的角：常见的互余的角：-与与 +;+;+与与 -;+-;+与与 -等等.(2)(2)常见的互补的角：常见的互补的角：+与与 -;+-;+与与 -等等.222334333664443.3.三角函数式化简的方向三角函数式化简的方向(1)(1)切化弦，统一名切化弦，统一名.(2)(2)用诱导公式，统一角用诱导公式，统一角.(3)(3)用因式分解将式子变形，化为最简用因式分解将式子变形，化为最简.