阅读与思考旋转对称

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1、第二十三章旋转231图形的旋转(1)1了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念2. 了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题重点：旋转及对应点的有关概念及其应用难点：从生活中抽象出数学概念(2分钟)请同学们完成下面各题(1)将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形,第(1)小题图),第(2)小题图)(2)如图，已知ABC和直线l，请你画出ABC关于l的对称图形ABC.(3)圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的吗？答：(1)是；(2)是；(3)等腰梯形、长方形、正多边形等点拨精讲：(1)平移的有关概念及性质；(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对

2、称图形并口述它有哪些性质；(3)什么叫轴对称图形一、自学指导(10分钟)观察：让学生看转动的钟表和风车等(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间点旋转)(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)问题：(1)从3时到5时，时针转动了多少度？(60)(2)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(60)(3)以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)思考：在数学中如何定义旋转？归纳：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角如果图形上的点

3、P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(8分钟)1下列物体的运动不是旋转的是(C)A坐在摩天轮里的小朋友B正在走动的时针C骑自行车的人D正在转动的风车叶片2下列现象中属于旋转的有_4_个地下水位逐年下降；传送带的移动；方向盘的转动；水龙头的转动；钟摆的运动；荡秋千运动3如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC，它绕着O点旋转到四边形DOEF位置，在这个旋转过程中：旋转中心是点_O_，旋转角是_AOD(或BOE)，经过旋转，点A转到_D_点，点C转到_F_点，点B转到_E_点，线段OA，OB，BC，AC分别转到OD，OE，EF，

4、DF，A，B，C分别与D，E，F_是对应角点拨精讲：旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟)1如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？(2)请画出旋转中心和旋转角；(3)经过旋转，点A，B，C，D分别移到什么位置？解：(1)可以看做是由基本图案正方形ABCD通过旋转而得到的；(2)画图略；(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.点拨精讲：旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的2如图，ABC与ADE

5、都是等腰直角三角形，C和AED都是直角，点E在AB上，如果ABC经旋转后能与ADE重合，那么旋转中心是点_A_；旋转的度数是_45_二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5分钟)两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由点拨精讲：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明SOEESODD，即说明OEEODD.学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)1旋转及其旋转中心

6、、旋转角的概念2旋转的对应点及其它们的应用学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)231图形的旋转(2)1通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质2了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形 重点：图形的旋转的基本性质及其应用难点：利用旋转的性质解决相关问题一、自学指导(10分钟)动手操作：在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(ABC)，移去硬纸板(分组讨论)根据图回答下面问题：(一组推荐一人上台说明)1线段OA与OA，

7、OB与OB，OC与OC有什么关系？2AOA，BOB，COC有什么关系？3ABC与ABC的形状和大小有什么关系？点拨精讲：(1)OAOA，OBOB，OCOC，也就是对应点到旋转中心距离相等(2)AOABOBCOC，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角(3)ABC和ABC形状相同且大小相等，即全等归纳：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6分钟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE，ABF是ADE的旋转图形(1)旋转中心是哪一点？(2

8、)旋转了多少度？(3)AF的长度是多少？(4)如果连接EF，那么AEF是怎样的三角形？分析：由ABF是ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到ABF与ADE是完全重合的，所以AEF是等腰直角三角形解：(1)旋转中心是A点；(2)ABF是由ADE旋转而成的，B是D的对应点，DAB90就是旋转角；(3)AD1，DE，AE.对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，AF；(4)EAF90(与旋转角相等)且AFAE，EAF是等腰直角三角形一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟

9、)1如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把ADE顺时针旋转90，画出旋转后的图形点拨精讲：关键是确定ADE三个顶点的对应点的位置2已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100后的图形作法：1.连接OA；2在逆时针方向作AOC100，在OC上截取OAOA；3连接OB；4在逆时针方向作BOD100，在OD上截取OBOB；5连接AB.线段AB就是线段AB绕点O按逆时针方向旋转100后的对应线段点拨精讲：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9分钟)1如图，ADDCBC，ADCDCB90，BPBQ，P

10、BQ90.(1)此图能否旋转某一部分得到一个正方形？(2)若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由(3)它的旋转角多大？并指出它们的对应点解：(1)能；(2)由BCQ绕B点旋转得到理由：连接AB，易证四边形ABCD为正方形再证ABPCBQ.可知QCB可绕B点旋转与ABP重合，从而得到正方形ABCD.(3)90.点C对应点A，点Q对应点P.2如图，ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形解：(1)连接CD；(2)以CB为一边作BCE，使得BCEACD；(3)在射线CE上截取CBCB，则B即为所求的B的对应点；(4)连接DB，则DBC就是ABC绕C

11、点旋转后的图形点拨精讲：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即BCBACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CBCB，就可确定B的位置3如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系解：四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，ABAD，AKAM，且BADKAM为旋转角且为90，ADM是以A为旋转中心，以BAD为旋转角，由ABK旋转而成的BKDM.点拨精讲：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明学生总结本堂课的收获与

12、困惑(2分钟)1问题：对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？2本节课要掌握：(1)旋转的基本性质(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)231图形的旋转(3)1理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果2. 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案重点：用旋转的有关知识画图难点：根据需要设计美丽图案一、自学指导(15分钟)1学生独立完成作图题如图，ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出ABC旋转后的三角形点拨精讲：要作出ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：旋转中心B；旋转角ABO；C点

13、旋转后的对应点C.探究：从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形1旋转中心不变，改变旋转角2旋转角不变，改变旋转中心我们可以设计成如下图美丽的图案归纳：旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以可以经过旋转设计出美丽的图案二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(2分钟)如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过_3

14、_次旋转，每次旋转_120_得到的一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(6分钟)1如图所示，图沿逆时针方向旋转90可得到图_图按顺时针方向至少旋转_180_度可得图.2如图所示，在ABC中，BAC90，ABAC，点P是ABC内的一点，且AP3，将ABP绕点A旋转后与ACP重合，求PP的长解：依题意，AP绕点A旋转90时得APAP3，则APP是等腰直角三角形所以PP3.解题的关键是确定AP与AP垂直且相等二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9分钟)如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC，BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边

15、三角形BCE，连接AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向解：ACE旋转后能与DCB完全重合旋转中心是点C，旋转角是60，旋转方向是顺时针方向(也可看作DCB绕点C逆时针旋转60得到ACE)学生总结本堂课的收获与困惑(3分钟)1选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案2作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点线的端点、角的顶点、圆的圆心等学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)232中心对称23. 2. 1中心对称1. 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念2. 掌握中心对称的基本性质重点：中心对称的性质

16、及初步应用难点：中心对称与旋转之间的关系一、自学指导(10分钟)自学1：中心对称，对称中心，对称点等概念：把一个图形绕某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry)；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点自学2：中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等图形二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(8分钟)1如图，四边形ABCD绕D点旋转180，请作出旋转后的图案，写出作法并回答(1)这

17、两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由(2)如果是中心对称，那么A，B，C，D关于中心对称的对称点是哪些点解：(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点(2)A，B，C，D关于中心D的对称点是A，B，C，D，这里的D与D重合2如图，已知AD是ABC的中线，作出以点D为对称中心，与ABD成中心对称的三角形分析：因为D是对称中心且AD是ABC的中线，所以C，B为一对对应点，因此，只要再作出A关于D的对应点即可解：(1)延长AD，且使ADDA，因为C点关于D的中心对称点是B(C)，A点关于中心D的对称点为A.(2)连接AB，AC.则ABD为

18、所求作的三角形，如图所示一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(5分钟)如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形ABCD，使四边形ABCD和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法)点拨精讲：(1)画法总结；(2)性质归纳二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10分钟)1如图，等边ABC内有一点O，试说明：OAOBOC. 解：如图，把AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60后，到AOB的位置，则AOCAOB.AOAO，OCOB.又OAO60，AOO为等边三角形AOOO.在BOO中，OOOBBO，即OAOBOC.点

19、拨精讲：要证明OAOBOC，必然把OA，OB，OC转化在一个三角形内，应用两边之和大于第三边(两点之间线段最短)来说明，因此要应用旋转以A为旋转中心，旋转60，便可把OA，OB，OC转化在一个三角形内2教材第66页练习学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)1中心对称及对称中心的概念；2关于中心对称的两个图形的性质学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)232.2中心对称图形1. 掌握中心对称图形的定义2. 准确判断某图形是否为中心对称图形重点：中心对称图形的判断难点：两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定一、自学指导(7分钟)自学：自学课本P6667的内容探究：中心

20、对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(3分钟)将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议解：J.点拨精讲：这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟)1我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？对称中心是什么？(出示课件图片)(1)平行四边形(2)矩形(3)菱形(4)正方形(5)正三角形(6)线段(7)角(8

21、)等腰梯形解：常见的中心对称图形：线段(线段中点)、平行四边形(对角线交点)、矩形、菱形、正方形、圆(圆心)等2中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系解：区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(15分钟)1英文大写字母中有哪些中心对称图形？答：(H，I，N，O，S，X，Z)2说一说：在生活中你还见过哪些中心对称图形？学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结

22、3想一想：你学过的几何图形具有怎样的对称性？点拨精讲：边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形4课本第67页小练习2.点拨精讲：怎样判断非常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：将书本转180，即倒过来后，看图形是否与原来一样5如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分？点拨精讲：由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成的两部分面积相等学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)1中心对称图形的定义2怎样准确判断某图形是否为中心对称图形学习至此，请使用本课时对应训练部分

23、(10分钟)232.3关于原点对称的点的坐标掌握两个点关于原点对称时的坐标特征，能够运用特征解决相关问题重点：关于原点对称的点的坐标的关系及初步应用难点：关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P68的内容思考：关于原点作中心对称时，(1)它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？(2)坐标与坐标之间符号又有什么特点？点拨精讲：(1)横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等；(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点为P(x，y)二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(8分

24、钟)1如图，在直角坐标系中，已知A(3，1)，B(4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，2)，F(2，2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？解：A，B，C，D，E，F点关于原点O对称点分别为A(3，1)，B(4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，2)，F(2，2)这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数2如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与ABC关于原点对称的图形解：ABC的三个顶点A(2，2)，B(4，1)，C(1，1)关于原点的对称点分别为A(2，2)，B(4，1)，C(1，1)，依

25、次连接AB，BC，AC，就可得到与ABC关于原点对称的ABC，如右图所示一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟)如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90得到直线A1B1.(1)在图中画出直线A1B1.(2)求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式(3)是否存在另一条与直线A1B1平行的直线ykxb(我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等)，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由点拨精讲：(1)只需画出A，B两点绕点O顺时针旋转90得到的点A1，B1，连接A1B1.(2)先求出A1B1

26、中点的坐标，设反比例函数解析式为y代入求k.(3)要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加以说明这一条直线是存在的，因为A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的坐标作A1，B1关于原点的对称点A2，B2，连接A2B2的直线就是我们所求的直线二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(7分钟)1已知ABC，A(1，2)，B(1，3)，C(2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出ABC关于原点对称的图形点拨精讲：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成ABC，要作出ABC关于原点O的对称三角形，只需作出ABC中的A，B，C三点关于原

27、点的对称点，依次连接，便可得到所求作的ABC.2教材P69的第1，2，3题学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P(x，y)，及利用这些特点解决一些实际问题学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)233课题学习图案设计1认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用2. 利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案重点：设计图案难点：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案一、自学指导(10分钟)自学：自学教材P72内容，思考下列问题(1)我们学过哪些图形变换？它们分别有何特征？

28、(2)下列图形之间的变换分别属于什么变换？探究：(1)观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？(2)观察三种图形变换的过程，回答问题：平移、旋转和轴对称变换的基本特征；归纳三种图形变换的共性二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(8分钟)1分析图案的形成过程要注意些什么？分析图案的形成过程，应注意运用_平移、_轴对称_、_旋转_进行描述，只要合理就行2图案设计的关键是什么？选取简单的基本几何图形，然后通过不同的变换组合出美丽的图案一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(7分钟)用平移、旋转或轴对称变换分析下图中各个图案，分析它

29、是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？点拨精讲：将基本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(8分钟)1某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，你能帮忙设计吗？点拨精讲：将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换，设计出和谐、丰富、美观的组合图案2下面花边中的图案，由圆弧、圆构成仿照例图，请你为班级的板报设计一条花边，要求：(1)只要画出组成花边的一个图案；(2)以所给的图形为基础，用圆弧、圆或线段画出；(3)图案应有美感学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)