第三章 稳恒电流

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1、第三章 稳恒电流教学要求： 1了解电流密度矢量的概念，电流的稳恒条件和稳恒电流与静电场的异同 2深入理解欧姆定律微分形式的物理意义，能熟练地运用欧姆定律解决 简单电路问题。3深刻理解非静电力的概念。深刻理解电动势的概念及表达式。理解电源 电动势与路端电压的区别和联系。4了解金属导电的经典微观解释。 5熟练掌握运用基尔霍夫方程组求解复杂电路问题的方法。 6了解电压源和电流源的概念，能运用戴维宁定理解决一些复杂电路问题。教学重点：1全电路欧姆定律 2基尔霍夫定律教学难点： 1金属导电性的经典微观解释 2电压源与电流源。3.1稳恒电流的闭合性 3.2欧姆定律3.3电动势和全电路欧姆定律3.4电路定理

2、3.1 稳恒电流的闭合性1、电流的形成在宏观范围内，电流就是大量电荷的定向运动。产生电流的条件是： 存在可以自由运动的电荷，既载流子（如金属导体中的自由电子；酸盐碱水溶液中的 正负离子；导电空气中的正负离子，电子；半导体中的电子和空穴和真空中的金属热电子等。） 有迫使电荷作定向运动的某种作用。作用包括机械作用、化学作用、电作用等。2、电流强度和电流密度1）电流强度定义电流强度 I 是描述电流强弱的物理。单位时间内通过某曲面的总电量，称电流强度， 即dqI =dt2）电流密度定义电流密度7是描述电流分布的物理量，它是矢量，方向与载流子定向运动速度的方向相 同，大小等于单位时间内通过垂直于载流子定

3、向运动速度方向的单位面积上的电量，即7 dIj 二 edS n在电流流动的区域中，各点的7组成一个矢量场，称电流场，可用电流线描写电流场的 分布。电流线上每一点的切线方向与该点电流密度的方向相同，曲线的稀密程度代表电流密 度的大小。3）电流强度与电流密度的关系通过某曲面的电流强度I就是电流密度J对该曲面的通量。j - dS =J j cos 0 dS3、电流的连续性方程s单位时间内通过封闭曲面进入其内部的电量应等于该封闭曲面内单位时间所增加的电量。J： j - dS =-sdqdt电流的连续性方程告诉我们：电流场的电流线是有头有尾的，凡是电流线发出的地方， 那里的正电荷的量必随时间减少；凡是电

4、流线会聚的地方，那里的正电荷的量必随时间增加。4、稳恒电流的闭合性在电流场中，各点的j都不随时间而变的电流叫做稳恒电流。要维持稳恒电流，空间 各处电荷的分布必须不随时间而变。这就是稳恒条件，即 对任何封闭曲面的通量必须等 于零。 j归 j -dS = 0这就是说,s任何时刻进入封闭曲面的电流线的条数与穿出该封闭曲面的电流线条数相等，在 电流场中既找不到电流线发出的地方，也找不到电流线会聚的地方，稳恒电流的电流线只可 能是无头无尾的闭合曲线。这是稳恒电流的一个重要特性，称为稳恒电流的闭合性。3.2 欧姆定律1、欧姆定律的微分形式当保持金属的温度恒定时，金属中的电流密度j与该处的电场强度E成正比，

5、即 j = Y E比例系数Y称为金属的电导率。 欧姆定律的微分形式具有普遍意义，不仅适用于稳恒电场，也适用非稳恒电场。 它反映了导体内部任一点的电流密度于该点的电场强度的关系。 对于稳恒电流，在导体与绝缘体的交界面上只有切向分量，没有法向分量。 凡是j = YE式成立的介质称为线性介质或欧姆介质。2、一段电路欧姆定律电阻实验表明，在稳恒条件下，通过一段导体的电流强度和导体两端的电压成正比，即U = IR式中的比例系数R由导体的性质决定，叫做导体的电阻。3、电阻率实验表明，对于由一定材料制成的横截面均匀的导体，它的电阻R与长度成正比，与横 截面积S成反比，写成等式，有lR = pS式中的比例系数

6、P称为电阻率当导体的横截面S或电阻率P不均匀时，上式应写成下列积分形式pdlR = JS电阻率的倒数称为电导率，用Y表示 电阻与导体形状及电流流动方式有关。 电阻率仅由材料性质决定。4、电阻率与温度的关系 实验测量表明，纯金属的电阻率随温度的变化较有规律，当温度变化的范围不很大时 电阻率与温度成线性关系，即p = p 0(1 + 0t)式中p是t 0C时的电阻率，0是oOC时的电阻率，a称为电阻的温度系。电阻随温 度变化的关系是0R 二 R (1 + 01)5、电流的功率焦耳定律1) 电流的功当导体中有稳恒电流I通过时，导体中的稳恒电场E促使正电荷从高电势的一端流向 低电势的一端，电场力对它作

7、了功，此功称为电功。若电路两端的电压为U,在时间t内有 q=It单位的电荷通过这段电路时，电场力所作的功为A = qU = UIt2) 电流的功率电流在单位时间内所作的功，称为电流的功率，即P 二 IU3) 焦耳定律电流通过电阻时，全部电能转化为热能，所发的热量为Q = 12 Rt 或此式称为焦耳定律。U2t电流通过电阻时所发的热功率为U2IUR具有普遍性，与用电器的性质无关。P = 12R = UJL只适应于欧姆介质。R4) 电功率密度单位体积的导体内的电功率称为电功率密度，即p = j - E对于欧姆介质有j2Y这是焦耳定律的微分形式。5、例题例3.2-1两同轴铜质圆柱套管，长为L,内圆柱

8、的半径为a,外圆柱半径为b,两圆柱间充 以电阻率为P的石墨，如图所示，若从内圆筒作为一电极，外圆筒作为另一电极，求石墨的 电阻。解法1：由欧姆定律求电阻 由于铜的电阻率非常小，两个饿铜管可以分别作为一个等势面，电流沿着径向由一个圆j筒流向另一个圆筒。根据对称性，石墨中电流密度 是离轴距离r的函数，通过半径为r、 长度 L 的圆拄的电流I = f j dS 二 j 2兀 rL根据稳恒电流的闭合性，通过各柱面的电流是相等的，由此得j 2兀rL两极间的电势差为Pj =2兀L r=f E dl于是电阻为lnI2兀L解法2：由电阻定律求电阻当截面不均匀时有P dlR = f所以内外筒间的电为R = fb

9、 业6.金属导电性的经典典微观解释2兀Lln金属可以看成是位于晶格点阵上带正电的原子实与自由电子的集合。固定在晶格上的 原子实在各自的平衡位置附近作微小的振动，自由电子则在晶格间作激烈的不规则运动，朝 任一方运动的几率都相等，宏观不形成电流。当导体中存在电场时，自由电子除了固有的不 规则运动外，还因电场的作用而获得与场强方向相反有规则的定向运动，形成金属导体中的 电流。1）漂移速度（定向运动的平均速度）与场强e的关系u = E即漂移速度u与电场强度E、平均自由时间T成正比。当载流子的电量q为负时，漂移速 度的方向与场强的方向相反。2）电流密度j与漂移速度U的关系j = Nqu式中N为单位体积内

10、自由电子的数目。3）欧姆定律的微分形式- q2-j = N T E = y E m其中q 2 为金属的电导率，不同的金属导电性能不同。q2y = N T欧姆定律的微分形式对随时间变化的电流成立的条件是场强的变化的周期T应比T大 得多，即T T4）金属导电的经典理论主要缺陷 不适当地把宏观的牛顿运动定律应用到微观的自由电子的运动中去。 不适当地把自由电子看成是一种服从理想气体规律的电子气。3.3 电动势和全电路欧姆定律1非静电起源的电力仅在静电场作用下形成的电流是一种不稳定的短暂的电流，要形成稳定的电流，就必须 存在一种本质上不同于静电力的作用力，它能使正电荷反抗静电力的作用，从低电势处向高 电

11、势处运动。我们把这种作用力称为非静电起源的作用力，或简称非静电力。作用于单位正电荷的非静电力称为非静电场的场强，用k表示。凡是产生这类非静电 力的装置称为电源。2电动势 全电路欧姆定律1）电源电动势 绕闭合路径一周非静电力对单位正电荷所作的功，称为电源的电动势。即 二 t k - dl 电动势反映电源中非静电力作功的本领，是表征电源本身特性的物理量。与外电路的 性质和是否接通无关。 电动势是标量，电动势为正，非静电力作正功，电动为负非静电力作负功。 在电源内部，电动势的正方向由负极指向正极。2）全电路欧姆定律 = I （R + r）式中R是整个外电路上的电阻，r是电源内部的电阻，即电源内阻。3

12、稳恒电场在稳恒电路中的作用考虑到非静电场斤的作用，欧姆定律的微分形式应为j 二 v（ E + k）由此式知，导体中任一点的电流密度 j 由该点的稳恒电场和非静电场共同决定。1）起着导线内部电荷作定向运动的作用。 在电源内部正电荷在非静电场作用下，反抗静电场的作用由负极向正极移动；在电源外部，正电荷在静电场作用下由正极向负极移动，电路中获得持续的电流。2）起着导线电荷分布的调节作用。在稳恒电路中，导线电荷分布使导线内部各点的电流密度沿着导线的方向（导线切线方 向）。当在接通电路的瞬间（电流并不稳定）或导线形状发生变化时（电流的稳定性被破坏） 电荷要重新分布，改变导线内外电场的分布，最终使导线内部

13、表面附近电场沿着表面的切线 方向，电流达到稳定。3）起着能量中转作用 电路上消耗的能量是由非静电场提供的，但是静电场起着能量的中转作用，它把电源内非静电能转送到外电路上。单位时间内，外电阻R和内电阻r上消耗的总能量为，I是电路中的电流,非静冉场作的功为，因此有 i I = 12 R + 12 r4接触电势差 温差电动势1）接触电势差 什么是接触电势差？ 实验发现，两种不同的金属紧密接触在一起时，两金属间会出现一定的电势差，这种现象为接触电现象，两金属间的电势差称为接触电势差。 接触电势差是怎样产生的？在通常情况下，金属中自由电子不能从金属中逸出，电子要从金属中逸出，必须具有足够的 能量用以克服

14、逸出功后才能跑到金属外面。设金属A的逸出功WA，金属B的逸出功WB,AB 其中WAWB,如果两种金属的自由电子的数密度相等，在相同的温度下，当两金属紧密接AB触时，从金属A进入金属B的电子多于从金属B进入金属A的电子，结果金属A因缺少电 子而带正电，金属B则带负电，A、B间出现电势差，A的电势高于B,这就是接触电势差。9 -9AB19 -9 = 一(W -W )A B e B A 它表明接触电势差来自两金属逸出功不同。 接触电动势 因逸出功的不同引起电子从逸出功小的金属向逸出功大的金属的迁移可以看成是一种 非静电场作用的结果，这种非静电场分布在两金属接触处的极薄的接触层中，其场强K由逸 出功大

15、的金属指向逸出功小的金属。非静电场产生的电动势，称为接触电动势，接触电势差 在数值上等于接触电动势 二申-申AB A B2)温差电动势 当构成回路的两种不同金属连接点处于不同的温度时，回路中有不为零的电动势。这种电动 势称为温差电动势如图所示，当温差不很大时，温差电动势为常数a和b与两种金属的性质有关。1 = a(T T ) + b(T T )221221如果保持一个接触点于已知的固定温度，则通过测量回路中的电动势或开路两端的电势 差，就可以得另一接触点的温度，从而成为温度计，这就是温差电偶温度计或热电偶。 5、例题例 3.3-1 试求电源向负载输出功率为最大的条件。解：设一闭合电路，电源的电

16、动势为，内电阻为R,如图所示，电路中的电流为：R + r可以看出，当R -g，即所谓开路或短路时，I = 0 ；当R=0，即短路时2P = 12 R =R当 R 很大时或很小时， 据求极值的方法，dP= 2(R + r )2输出功率都不很大，只有R取适当值时，才能输出功率为最大。根dR(R + r )3由此得到向负载输出功率为最大是的条件是R = r此式称为匹配条件，应注意，一般的化学电源的电阻r都很小，当满足匹配条件时，电路总 电阻很小，会使电流超过额定值，因而一般不能在匹配条件下使用化学电池。但在电子技术 中的某些“电源”，起内阻很大，考虑匹配条件是很重要的。3.4 电路定理1、一段含源电

17、路的欧姆定律如图所示，电路上任意两点a和b之间的电势差等于从到的路径上各电阻上的电势降落的代数和减去各电源的电动势所产生电势升高代数和，即甲一甲=ab式中凡是与走向（从a到b路径方向）一致的电流取正号，与走向相反的电流则取负号，这 就是一段含源电路的欧姆定律。b2、基尔霍夫方程及其应用1）基尔霍夫第一方程在复杂电路中，流进节点的电流应该等于流出节点的电流。既：Y I = 0kI是通过节点的各支路中的电流，再求和中取流入节点的电流为正，流出节点的电流为负， 这就是基尔霍夫第一方程（节点方程）。2）基尔霍夫第二方程 在复杂电路中，沿任意闭合回路，各电阻上的电势降落的代数和等于各电源上的电动势 升高

18、的代数和。这一结论称为基尔霍夫第二方程（回路方程）。即：工 IR = Y 式中凡与绕行方向一致的电流取正号，反之取负号。凡是方向与绕行方向一致的电动势取正 号，反之取负号。3）用基尔霍夫方程解题方法 任意的规定各支路电流的正方向。 数出分支点个数n，列出个节点方程。 数出支路个数P，选定m=P-n+1个独立回路，任意指定每个回路的绕行方向，列出 m 个回路方程。 对所列的（n _i）+（p - n + 1 ）= p个方程联立求解。 根据所得的电流的正负判断各电流的实际方向。3、叠加原理 在具有几个电动势的回路中，几个电动势共同在某一支路上引起的电流，等于每个电动 势单独存在时在该支路上所产生的

19、电流之和，这个关于电动势作用具有独立性的原理叫作叠 加原理。4、电压源与电流源占r iU 0iR图c电流源0电动势是，内电阻为r的实际电源（如图a所示）即可看作是由一个电动势的理想 恒压源（内阻r=0）与阻值为r的内阻串联而成的电源（如图b所示）；也可以看作是由一个 电流为/的理想电源恒流电源（r T a ）与阻值为r0的电阻并联而成的电流源。（如图c 所示） 0图b电压源图a实际电源电流源与电压源可以等效，所谓等效,就是对于同样的外电路来说，它们产生的电流与 电压都相同。在图 b 中，电压源提供的电流为在图 c 中电流源提供的电流为r-00 R + r两式对比可以看出，当电流源的I等于电压源

20、短路是的电流压源的内阻r时，即:电流源的内阻r等于电0两电源等效。5、戴维宁定理（等效电压源定理）任一无源二端网络等效于一个电阻R ，任何一个有源二端网络等效于一个电压源，电 压源的电动势等于有源若端网络断路时的端电压，其内阻r等于从网络两端看除源（将电动势短路）网络的电阻。6、例题e例3.4-1电阻均匀为R的导线，组成一立方框架，求其对角线两端a、b的电阻。 解:设想在a、b两点间加一电压U,则由对称性，立方框架各边的电流如图所示，则有I = 21I = 3I 21I R + I R + I R = U121由此解得R = Uab5R = Rab 612121I12I1例3.4-2求不平衡电

21、桥通过检流计G的电流Ig，已知电桥四个臂的电阻分别为比、R2、R3和R4，电源的电动势为，内阻为零，检流计的内阻为R解:由基尔霍夫方程求解。标定各支路中电流的方向如图所示。对回路ABDA有I R + I R I R = 0 对回路BCDB有2(I I ) R (I + I ) R I R = 0 1 g 32 g 4 g g对回路ABC A有I R + （I I ） R = 整理方程为行列式形式R I R I(R】+ R ) 12131(R + R +R )I+ 0 3 R I 4 = g 3g0解行列式得RR012RR034R+ R01R3RR12gRRR+ R + R3434gR + R1

22、30(R R -23）g=竺 g ARR R +R R R +RR R +R RR +R (R +R )(R +R )例34-3、将电动势=3V、内阻=5Q的电源与电流为=1A 、内阻为 r = 6的电流源串联而成勺电路图（a）变换成单一的电流源和单一的电压源。2解1：先把电流源换成电压源，见图（b）。对应的电压源的电动势和内阻分别为： = I r = 6Vr = 6Q两个电压源串联后的等效电压源图（c）的电动势和内阻分别为 = + = 9V12r = r + r =11Q这两个电压源的等效电流源的电流和内阻图（d）分别为9I = Ar = 11Qr 11解 2：利用戴维宁定理定理求解。除去电

23、压源所包含的恒压源，即令恒压源短路，除去电流 源中的恒流源，即令恒流源开路，则丛a、b端看网络的电阻为r=r +r =11Q这就是等效电流源的内阻。当a、b两端开路时，其间的电压为* * = I r -（-）= 6V + 3V = 9Va b 0 2 1这就是等效电流源的电动势，结果与解1 相同。OCr匸(c)电动势为，内电阻为r,求按图（a）所示的连接和按图例34-4、四个完全相同的电池，BC（b）所示的连接时，A、B两点间的电压和B、C两点间的U”。（连线的电阻可忽略）解：对（a）的情况，有工 4 I = 一乙 r 4 r rU = 2 rI 2 = 2 2 = 0ABU = U = （Ir - ） = 0 此时虽有电流，电源两端的端电压为零。对图（b）的情况，有I =y= 0乙rU= = 0ABU= BC