泰勒公式及其应用 毕业论文

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1、泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线 的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中 的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分 析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项；不等式；根的唯一存在性； 极值；近似计算.引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问 题的研 究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作. 泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在 微积分学中将函数展

2、开成无穷级数而定义出来的泰勒将函数展开成级数得到泰 勒公式，对于一般函数f，设它在点x存在直到n阶的导数，由这些导数构成一0个n次多项式T (x) = f (x ) + S (x - x ) + d (x - x )2 + +(x - x )n ,n01!02!0n!0称为函数f在点x处的泰勒多项式，若函数f在点x存在直至n阶导数，则有0 0f (x) = T (x)+o (x- x ),即n0f (x) = f (x ) + f (x )(x-x ) + f(x-x )2 + + f x-(x-x )n +o (x-x )n).0002!0n!o0称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析

3、中非常重要的内容，它的理论方法已经成 为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼 近法”的精髓。在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线 性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用.泰 勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证 明等方面.这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛 应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式 在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二预备知识2.1泰勒公

4、式的定义定义2.1 1若函数f (x)在X存在n阶导数，则有01!2!(X 一 X )2 +0(X x )n + r (x),0n(1)其中r (x)满足r (x)二 o(x x )n)nn0上述公式称为f (x)在点X = X处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.0当 X =0 时，(1)式变成 f (X) = f (0) + 口0X +X2 + f (n)(0) Xn + o(Xn ),01!2!n!称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2若函数f (X)在X某邻域内为存在直至n +1阶的连续导数，则0f (X) = f (X0) + f(X0)( X 一 X0)+ 4(X一X )2

5、+. + Z(X x )n + r (X),(2) 2!0n!0 n这里r (x)为拉格朗日余项r (x) = - -(x-x )n+i,其中在x与x之间，称(2)nn(n +1)!00为f在x的泰勒公式.0当 x =0 时,(2)式变成 f (x) = f (0) + f(0)x + of (0)2!x2 +. +3 xn + r (x)n!n称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：,x 2xne弘e x = 1 + x + +xn+1 .2!n!(n +1)!.x3x5sin x = x -+ (-1)n3!5!(2n +1)!(-1)x 2 n+1+o(x2n+2)

6、.4 x 2 x 4x 6cos x = 1 +-+2! 4!6!+ (-1)n(2 n)!ln(1 + x) = x + (-1)nxn+1/、+ 0(xn+1). n +1=1 + x + x2 + xn + o(xn)，(1 + x)m = 1 + mx +m(m -1)x2 +2!定理2.1(介值定理)设函数f在闭区间a,b上连续，且f (a)丰f (b), 若卩为介于f (a)与f (b)之间的任何实数，则至少存在一点x g (a,b)，使得0 0f (x )=卩.0 02.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是,用一个n次多项式来逼近函数f (x).而多项式具有形式简单，易于计算等优点.

7、泰勒公式由f (x)的n次泰勒多项式P (x)和余项R (x)二o(x - x )n)组成，我nn0们来详细讨论它们.当 n=1 时，有P (x)二 f (x ) + f(x )(x - x )，1 0 0 0是y二f (x)的曲线在点(x , f (x )处的切线(方程)，称为曲线y二f (x)在点0 0(x ,f (x )的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 0 0当 n =2 时，有 P (x)二 f (x ) + f(x )(x - x ) + f (x0) (x- x )2,20002!0是曲线y = f (x)在点(x ,f (x )的二次切线，也称曲线y

8、= f (x)在点(x ,f (x )0 0 0 0的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好当次数越来越高 时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项o( x - x )n )，一类是拉格朗0日型余项f (n+1)( )(x - x ) n+1，它们的本质相同，但性质各异.(n +1)!0佩亚诺型余项o( x - x )n )是定性的余项，仅表示余项是比(x - x )n (当0 0x 3x 3x T x时)高阶的无穷小.如sin x = x一一 + o(x3)，表示当x T 0时，sin x用x一一 0 66近

9、似，误差(余项)是比x 3高阶的无穷小.拉格朗日型余项一 f(n+1)(g )(X - X )n+1是定量的余项(g也可以写成 (n +1)!0x +9 (x-x ) ) 定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.0 0三泰勒公式的应用31 利用泰勒公式求极限简化极限运算，就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限 转化为类似多项式有理式的极限.例1.求极限limx 0exsm x2sin x x cos xex分析：此为0型极限，若用罗比达法求解，则很麻烦，这时可将cosx和sin x , 分别用泰勒展开式代替，则可简化此比式., x .-x 2x3/ 、 r xzx3/ 、

10、解：由ex 1 x sin x = 1 + x + o( x 3) 1 x (x + o( x 3)2 2 6 2 6x 3x 4x 3石 + 迈 + O(x3)=石 + O(x3)，x3x 2sin x x cos x = x -石 + o( x 3) x(1 + o( x3)号o( x3)于是xex-1-x - 2sinx x3 + o(x3)1lim- 6- 1 ? t sin x 一 x cosxx 3+ 0( x3)33. 2利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助 函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.例1.1当 x 0 时，证明

11、sin x x 一x3.6证明1取 f (x) = sin x 一 x + x 3, x 二 0，贝U60f (0) = 0, f (0) = 0, f (0) = 0, f”(x)二 1 cos x, f ”(0) 0.带入泰勒公式，其中n =3,得f (X)二 0 + 0 + 0 +1 一cos0 x3!其中0 0 0时,例 2.设 f (x)在0,1二次可导，而且 f (0)二 f(l)= 0，lim f (x) = -1，试求存0 x 8 .证： 由于f (x)在0,1的最小值不等于在区间端点的值，故在0,1内存在x，1使 f (x ) =-1，1由费马定理知，f(x ) = 0.1又

12、f (x) - f (x ) + f (x )(x 一 x ) + f (x 一 x )21112!1-1 +)(x - x )2，(耳介于x与x之间)2! 1 1由于 f (0)二 f(1)= 0，不令 x = 0 和 x = 1，有厂化)0 二 f (0) = -1 + 丿(0 - x )2，21所以f 点)二 2(1-x )-2(x 乂 1)，1 1 1 21当1 x 8，而当一 x 8，可见 f(g )与 f 進) 1 2 1 1 1 2中必有一个大于或等于8.3.3利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰 勒公式将级数通项简化

13、成统一形式，以便利用判敛准则.在判定广义积J+|f (x)|dx敛散性时，通常选取广义积分卜8丄dx(p 0)进行比较，在此通过 aa xp研究无穷小量I f (x)( x T+2)的阶来有效地选J+“丄dx中的p值，从而简单地判a xp定J +8 f (x)dx的敛散性(注意到：如果卜|f (x)dx得收敛，则卜f (x)dx得收敛).研究广义积分J +8(x + 3 + yx-3 - 2、：x)dx的敛散性.4aaa例1.a (a 一 1)(1+ x)a = 1 + a x +x2 + o( x2)2!f (x) = Jx + 3 + Jx - 3 - 2/X(i+3)2+(i- 3xxY

14、 (1+ 3 丄 一 9 丄+0(丄)+(1-3 丄 一 8 丄+0(丄)一 22 x 8 x 2x 22 x 8-4 -丄+o(),4x3/2x3/2因此,lim .1xT+8x3/2f(x)二-，即 f (x) T 0 是 i( x T+3)的 3 阶,4x2而J+8丄dx收敛，故4 x 3/2J+ f (x)| dx 收敛，从而 J +w G-；x+3 +二3 2、汪)dx.44例2.讨论级数 (丄n1 Jln出)的敛散性. n注意到in1 = ln(1+1)，若将其泰勒展开为丄的幕的形式，开二次方后恰与2相呼应，会使判敛易进行.n解：因为所以所以ln ln（1+ -）-n+丄-丄+n

15、n 2n23n34n4:in 字 0,故该级数是正项级数.又因为in 二n-丄+丄+ o（丄） n 2n22n2nH _丄+丄n n24n2Gn - 亠）-寺-2 皿 2n 2 、 2n 2所以in凹 丄_（丄-丄）-丄n 曲 32n 22n 3因为左丄收敛，所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3n=1 2 n 23.4利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例1.设f(x)在a,b上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内广(x) 0 f (x)在a,b上是凹向的.证明：设cd为a,b呐任意两点，且c,d足够小.x 012002!02!02 0所以f (x ) + f (x )-2

16、 f (x ) 01 2 0可得“ 、 f (x) + f (x) f (x ) 2)0 0若(1) n为奇数，则(x , f (x )为拐点；00(2) n为偶数，则(x , f (x )不是拐点.00证明：写出f(x)在x处的泰勒公式0f (x)二f ( x0)二八 x0)( x -叩+因为+ fn (x )(x - x ) n-2 / (n - 2)!+ o( x - x ) n-2),0 0 0=f (n-1)( x ) = 0 ,0则 f (x) = fn (x )(x - x ) n-2 / (n - 2)!+o( x - x )-2)，同样余项是(x - x )-2 的高阶无0

17、0 0 0穷小.所以f(x)的符号在x的5心领域内与f n (x )(x - x )n-2/(n - 2)!相同.0 0 0当n为奇数时，显然在x的两边，fn(x )(x-x )n-2/(n-2)!符号相异，即f (x)的0 0 0符号相异，所以(x ,f (x )为拐点.0 0当n为偶数时，则f(x)的符号相同，所以(x ,f(x )不是拐点.0 0例2判断(0,4)是否是/ (x)= ex + e-x + 2cosx的拐点？解:f(x) = ex + e-x - 2sin x ，广(0) = 0，/” (x)二 ex + e-x - 2cos x， f (0)二 0，/，(x )= ex

18、+ e-x - 2 s ixn， f (0) = 0，f (x) = ex + e-x - 2sin x ， f (0) = 4 丰 0， 因为n = 4，所以(0,4)不是f (x)= ex + e-x +2cosx的拐点.3.5利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式，通过泰勒展开式可以求得.例1. 求函数fn (x) = ex的幂级数展开式.解：由于fn (x)二ex, fn (0)二1,( n二1,2,3)，所以f (x)的拉格朗日余项为exB * r (x)二xn+打(0 0 0 0, x 1,(1)n 10 - (n+1)0(n +1)(1+) n+1 l

19、n1010-n+12( n +1) 105-(N+1) = 104-nlg1miQ(1 _ 20 + 300 + 40000 1.04139 .例2估计下列近似公式的绝对误差:_xx 2d + x 1 + 2 - T x e 0,1解E 1+1 -宁+ ( 1)n-1XN + (1)n 2Jn!(2 n 1)!2n+1 (n +1)!(1+0x)-ntxn+1,1 0 0,当n = 2时,亠 5(1 + 0 X) 22).泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下.若对于某个值A，按参数H算出的近似值A

20、 (h)可以展开成1(*)(*)a (h) = a + c h + c h2 + c h3 +1123hh(这里先不管C的具体形式)，那么按参数h算出的近似值A (h)就是I21 2/、_ 1 7 1 7 1 7a () a + c h + c h2 + c h3 +122 1 4 28 3hA (h)和A (h)与准确值A的误差都是0(h)阶的.1 1 2 现在，将后(*)式乘2减去(*)式，便得到2a即)2 1a (h)1a + d h 2 + d h3 +23也就是说，对两个O(h)阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却 得到了具有o(h2)阶的近似值A (h).这样的过程就称为

21、外推.2若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从a (h)出发再次外推,h4a () 一 a (h)a (h) = 2-= a + eh3 + e h4 +34 134得到o(h3)阶的近似值a (h) 这样的过程可以进行k-1步；直到32k-1 aa (h)= k 1 k一 a (h)M= a + o(hk) 2k-1 一 1满足预先给定的精度外推方法能以较小的待解获得高精度的结果因此是一种 非常重要的近似计算技术.例1.单位圆的内接正n边形的面积可以表示为S (h)=丄 sin(2 加)， 2h这里h = 1，按照泰勒公式n(2h兀)3( (2h兀)53!5!=兀 + c h 2 +

22、 c h 4 + c h 6 +123因此其内接正2n边形的面积可以表示为(h兀)3(h兀)5+引 5!=兀 + c h 2 + c h 4 + c h 6 +4 123用它们作为兀的近似值，误差都是o( h)量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合:hh4 S (-) - S (h)hS (-) - S (h)S (h) =4 -1那么通过简单的计算就可以知道2二 S(2)+，S(h)二兀h2项被消掉了！也就是说，用S(h)近似表示兀，其精度可以大大提高.3.7.利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f (x)泰勒公式已知，其通项中的加项(x - x0) “的系数正是补f

23、(x 0)，从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例 1.设 f (x) = x2ln(l+ x),求 f(n)(0),(n 3).丫x 2 x 3/ 、xn由 ln(1+ x)得泰勒公式：ln(1+ x) = x -+ + (1)n-1+ o(x)n23nx 2 x 3/ 、xn可得f (x)二 x2x + + (l)n-1+ o(x)n ,(x 0)23nx 4xn(x- 0)x3 + + (-1)n-1+ 0(x)n ,2n-2所以f (n )(0) = n =n 2n-33.8.利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x的函数(一般是x的n次多项式)，记作f (x)，按泰勒公

24、式在某处x 0展开，用这一方法可求得一些行列式的值.(1)例1.求n阶行列式xyy yzxy yzzx y zzz xD=解： 记f (x) = D,按泰勒公式在z处展开:nf (z)f (x) - f (z)+ n(x z)+n 1!f(x - z)n2!(x - z )2 + 注-z)(x - z) n1(2)易知=z (z - y) k-in时都成立.由(3)得，f (z) = z(z- y)k-i,k = 1,2,3k根据行列式求导的规则，有f(x) = nf (x),f (x) = (n-1)f(x),f(x) = 2f (x),f(x) = 1.nn-1n-1n 一 2211于是f

25、 (x)在x = z处的各阶导数为nf( Z ) = f( Z )nn=nf (z) = nz (z y) n -2 x=zn-1f( z ) = f( z)nn=nf (z) = n (n -1) z (z - y) n -3 x=zn-1fn T( x) = fn-1nn=n(n -1)2f (z) = n(n -1)2z ,x=z1f (n)(z) = n(n -1)2,n把以上各导数代入(2)式中，有f (x) = z(z - y)n-1 + : z(z - y)n-2 (x - z) + n(: t 1) z(z - y)n-3 (x - 3)2 + n 1! 2!+ n(n - 1

26、)2 z(x - z)n-1 + n(n 一 D2 1 (x - z)n ,(n -1)!2!有 f (x) = (x - y)n-1x + (n -1)y；n有 f (x) = z(x 一 y)n 一 y(x 一 z)nn3.9利用泰勒公式证明与某阶导数的中间值 例1.设函数f (x)在闭区间-1,1上具有三阶连续函数,f (-1) = 0,f (1) = 1,f (0 = 0)，证明在区间(-1,1)内至少存在一点g使f(g) = 3证明：分别把f(-1),f(1)在x = 0展开成泰勒公式，由题设得：0 = f (-1) = f (0) - f (0) +1 f (0) -1 f (g

27、),0 g -1,2 6 1 11 = f(1) = f(0) +1 f(0) +1 f(g ),1 g 0,2 6 2 2两式相减消去其中未知的f(0)，了 (0)得1 = |f (g ) + f (g ) O 丄f (g ) + f (g ) = 3,6 1 2 2 1 2界于意的若f(3)(g) = f(3)(g)则得证，否则，2 f(3)(g) +f(3)(g)1 2 2 1 2f(g产f(g )之间，由连续函数的中值定理知，对任1 2証忆,g ), f二3 .1 23.10 .利用泰勒公式解经济学问题我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是 不可缺的，在这里将

28、以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题， 例1.完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC二(1+ 3)3，假设产品的价格为66 元，求：(1)由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的 价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？解：(1)由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发生亏损仍需 要根据P=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损 最小，均衡条件都是P=MC，成本函数为STC= (1+ 3)3，令f (x) = (1+ 3)3由泰勒公式我们知道，(1 + x)m 二 1 + mx + m(m -1)x2 2!所以所以 S

29、TC= 1 + 3x = 3x2 + x3 又因为 P=MC，即 27= 3x2 + 6x + 3，所以 x = 4, x = 1.1因为f (1)二 f (x ) + f(x )(1 - x ) + 恳广(x )(1 - x )2 ,(1)0 0 0 2 0 01f (0)二 f (x ) + f(x )(-x ) + f(x )(-x )2 ,(2)000200d 2TCd 2TC所以=6x4 + 6 = 30 0,= 6x 1 + 6 = 12 0,dx2dx2故x = 4, x = 1是利润最大或者最小的产量.禾U润= TR TC = PQ - (1+ x)3 = 27 x 4 (1+

30、 4)3 =-17 ，兀=TR TC = 27 x 1 - (1+1)3 = 19.可见，当价格为27元时，当厂商生产量为1时，其最大盈利额为19；当厂商生产量为4时，其发生亏损，最小亏损额为17.3.11泰勒公式关于界的估计我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的 有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式 关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.例1设f (x)在0,1上有二阶导数，0 x 1时|f (x)| 1, f(x)| 2 试证：当 0 x 1 日寸,|fx)| 3 证：f (1) = f (x) + f( x )(1-x)

31、+ 2 f 点)(1-x )2 ,f (0) = f (x) + f (x)(-x) + 1 f (n )(-x)2 ,所以f (1)- f (0) = f (x)+1 f(g )(1-x )2 - 1 f (n) x 2 ,| 广(x )| | f (1)|+| f (0)| + 2 f(g)|(1-x)2 +1 f(n)| x 2 2 + (1 x)2 + x2 2 +1 3 .3.12 泰勒公式展开的唯一性问题泰勒公式的展开式有多种，常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，带 有拉格朗日型余项的泰勒展开式，而最为常用的是麦克劳林展开式，它是当 x 0时的特殊的泰勒公式展开式，现在我们来探讨

32、泰勒公式展开式的唯一性.0例1设f (x)是连续的n阶导数，f (x)在x x处有展开式：0f (x) a + a (x 一 x ) + a (x 一 x )2 + a (x 一 x )n + R (x),(1)01020n0n且余项R (x)满足 R (x)0limn 0 ,(2)nxTx0(x - x0)n则必有a (k 1,2, n),(3)kk!其中 f(0)(x)三 f (x)证：根据泰勒公式，f (x)在x x处可以展开成0f (x) - -2(x - x )i + o(x - x )n ),(4)i0i!00让(1)式与(4)式联立可得工 a (x - x )i + R (x)二

33、艺八(x - x )i + o(x - x )n),i0ni!00i=0i=0此式令x T x取极限，得a = f (x ) 两边消去首项，再同时除以(x-x )，然后0 0 0 0令x T x取极限，又得a = f( x ) 继续这样下去则顺次可得式(3) 0i0注1该例具有重要理论意义，它表明：不论用何种途径、何种方式得到形如(1) 式的展开式，只要余项满足条件(2)式，则此展开式的系数必是唯一确定 的，它们是(3)式给出的泰勒系数.注2该结论x = 0的情况自然也成立.由此可知，对于任何多项式0P(x) = a + a x + axn 而言，必有01na = Px)(k = 0,1,2,

34、 n)且 P(0)(x)三 P(x) k k! 四.结束语泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限 和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它 是微积分中值定理的推广，也是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用 途很广泛本论文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述 文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线 的渐近线方程上作解求证明外，特别地,泰勒公式还对函数凹凸性及其拐点判断、 广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题等这几个领域的应用做 详细的介绍,使我们对泰勒公式有了更深一层的理

35、解，怎样应用泰勒公式解题有 了更深一层的认识,最后说一点：只要在解题训练中注意分析，研究题设条件及其 形式特点,并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献1陈纪修 於崇华金路:数学分析M（上、下）北京：高等教育出版社,2004.5.2张自兰崔福荫：高等数学证题方法M陕西：陕西科学出版社，1985.3王向东：数学分析的概念和方法M上海：上海科学技术出版社，1989.4同济大学数学教研室主编.高等数学M.北京：人民教育出版社，1999.5刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义M.北京：人民教育出版社,2000.6华东师范大学数学系，数学分析（第二版）M高等教育出版社，1911.7中文版Visual Foxpro3.0编程指南M西安：西安交通大学出版社，19978严振祥；沈家骅泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用J.重庆交通 大学学报（自然科学版），2007（8）： 4-26.9裴礼文数学分析典型问题与方法M高等教育出版社，1993.5.