第七章 线性变换

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1、第七章 线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法.本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一 ,它对于研究线性空间的整体结构以及 向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、 数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广 ,它的理论和方法 ,(特别是与之相适 应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛 的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变 换与矩阵对应和相互转换.一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆

2、变换; 线性变换的值域与核，秩与 零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变 ; 线性变换把负向量变 为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变 换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一 个线性空间.(5) 线性空间V的线性变换A的象Im(A)= AV与核kerQ = A -1(0)(a) A的象 Im(A)= AV 与核 kerQ = A -1(0)是 V 的()子

3、空间.(b) 若dim(V )= n,则Im(A)由V的一组基的象生成：即设V的一组基a ,a a , Im(A)= AV=L(Ad , Ad，Ad )= Ah |awV.12 n12nkerA= A -1(0)= aeVI Ad=0.(c) A的秩(dim Im(A) )+A的 零度(dim ker Q= n.(d) A是双射O a是单射O Ker(A)=0 O a是满射.(e) 像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V的一组 基:取ImA的组基卩，卩，卩，存在a , a，a ,使得A a = P ,i=l,2,r.1 2 r 1 2 r i i再取kerA啲基a，a ,则a

4、,a，a , a，a ,就是V的一组基.r+1n1 2rr+1n二、线性变换与矩阵1. 基本概念:(1) 线性变换在基下的矩阵:设aL(V)，取定n维线性空间V的一组基a，a，,a，则Aa , Aa，:Aa12 n12n可由a ,a，a线性表示，即12n(Aa，Aa，,Aa ) = ( a，a，.，a)A，12n12 n矩阵A称为线性变换A在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设a，a，.，a，P，P，,P是线性空间V的两组基，12 n 12 n(P，P ，.，P )=(a，a ，.，a )P，12 n 12 n(Aa，Aa，：Aa ) = ( a，a，.，a)A，12n1

5、2 n则(aP，AP，AP ) = ( P，P，.，P ) P-1AP.12n 12 n2. 基本结论(1) 若a ,a，a是线性空间V的一个基，VP , P，P g V，则存在唯12n12n一g L(V)，使得(a ) = P , i = 1,2，,n .ii(2) 在取定n维线性空间V的一个基之后，将V的每一线性变换与它在这个 基下的矩阵相对应，则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别 对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对 应逆矩阵。(3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之，若两个矩阵相似，则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.

6、 若在线性空间V的一个基a ,a，,a下，线性变换A对应的矩阵为A,1 2 n向量a的坐标为(x , x ,x )，则 A的秩=秩(A), a(a )的坐标1 2 nyxi1yx2=A2y丿nx丿n三、特征值与特征向量1. 基本概念(1) 特征多项式设线性变换a在V的一组基a ,a，,a下的矩阵为A,则1 2 nf (九)=1 九E A1=兀一(a + a + + a )一1 + + (1)n I AI 1122nn称为A的特征多项式.(的根就是A的全部特征根).设九，九，是f()的全部根，贝【Jf(九)=(九一九)(九一九)(九一九)二儿(九+九+九)儿-1 + (1) n九九九.12n12

7、n12n由大多项式相等， 得Tr(A)= a + a + + a =尢+尢+ + X ，1122nn 12nI A I= X X X .1 2 n(2) 线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量:若Aa=Xa, aO,贝肮称为A的特征根(特征值),a称为A的属于特征值九的特 征向量.(3) 化零多项式设g(X)是一个多项式，使得g(Q=0(g(A)=0),则g(X)称为A (A)的化零多 项式.(4) 最小多项式-化零多项式中次数最低者.(5) 特征子空间一-A的属于某一个特征值的全部特征向量作成的集合：V = a g V 13a = Xa.XO2. 基本结论:(1) 线性变换与相应矩阵的特征值、

8、特征向量及特征子空间的关系(略)(2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,反之不然.(4) Hamilton - Cayley定理:设线性变换a在某个基下的矩阵为A, f (九)=1 九E - A I，则 f (A) = 0, f (a)=0四、对角化问题1. 基本概念:不变子空间-设W是V的子空间，AL(V),若aWcW,则称W是 A 的不变子空间，简称为A子空间.(2) Jordan标准形一-设A走L(V),则必存在V的一组基，使得A在此基下的 矩阵为Jordan标准形.2. 基本结论:设A是数域P上n维向量空间V的一个线性变换，

9、则(1) A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵o A有n个线性无关的特征 向量.o V可以分解为n个一维不变子空间的直和O A的所有不同的特征子空间的维数之和等于no A 的最小多项式没有重根O V可以分解为特征子空间的直和.因而，当A有n个不同特征值时，A必在某个基下的矩阵是对角形式.(2) 设A为n阶矩阵，则A必与一个Jordan标准形矩阵相似，且在不计若当 块的排列次序的意义下，这个Jordan标准形是唯一的；而A与对角矩阵相似 O A的最小多项式无重根于是，当A的特征多项式无重根时，A必与一个对 角矩阵相似.第八章九-矩阵(小结)一、基本概念1. 九-矩阵A（X）-矩阵A（X）的元素是

10、九的多项式.2. 可逆的九-矩阵-A（X）可逆的充要条件是| A（X） |二chO（是一个非零常数）.3秩A（九）的秩为r,若A（九）有一个r阶子式非零，任一个r+1阶子式均为零.4.九-矩阵的初等变换r吕r , cr （c丰0）, r +（九）r .（列变换类似）i j i i j5任一个九-矩阵都可以经过初等变换化为标准形（d （九）1d （九）r 0 ，0丿其中 d （九）1 d （九）,i 二 1,2,.,r -1.ii +16. 九-矩阵A（九）与B（九）的等价当且仅当A（九）经过初等变换变为B（九）.7. A（X）的k阶行列式因子-A（X）的所有k阶子式的最大公因式.8. A（九）

11、的不变因子-一把A（九）经过初等变换化为标准形后，主对角线上次数大于零的多项式为A（九）的不变因子.9. A（X）的初等因子-把A（X）的标准形的主对角线上次数大于零的多项式分解成一次因式的方幕，这些一次因式的方次就是A（X）的全部初等因子.lO.Jordan 块J =011. 若尔当标准形-J，其中Ji均为Jordan块.一 a n一 an 一 1一 an - 2称为多项式d仇)的伴侣阵，其中001 0012.伴侣阵一-矩阵B = 0 10 d （九）=+ a 儿1 + + a 九 + a 1n 一1n13.矩阵A的有理标准形-把A的特征矩阵化为标准形 11，d (九)，1、d (九)丿s则

12、A的有理标准形为(B)1BB= 2 .,s其中B.为d0)的伴侣阵,i=l,2,二、主要结论1. 一个n x n的九-矩阵A(X)是可逆的充要条件为行列式I A(X )|是一个非零的数.2任意一个非零的sxn的九-矩阵A(X)都等价于其唯一的标准形矩阵：（d （九）1d （九）2d （九）r0 1,d.(九)(i = 1,2,r)是首项系数为1的多项式，且d （九）丨 d （九）（i 二 1,2, r-1）.ii+13. 两个九-矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有 相同的不变因子.4. 矩阵A（X）是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.5. 两个sxn的九-矩阵

13、A（X）与B（九）等价的充要条件为，有一个sxs可逆矩阵P （九）与一个nx n可逆矩阵Q（九），使B（九）=P（九）A（九）Q（九）.6. 设A，B是数域P上两个n x n矩阵.A与B相似的充要条件是它们的特 征矩阵九E - A和九E - B等价.7. 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.8. 首先用初等变换化特征矩阵九E- A为对角形式，然后将主对角线上的元 素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂 （相同的 按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.9. 每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除 去其中若尔当块的排列次序外是被

14、矩阵 A 唯一决定的，它称为 A 的若尔当标准 形.10. 设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基， 使 3在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块 的排列次序外是被A唯一决定的.11. 复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的（或 A的不变因子都没有重根）.12. 数域P上n x n方阵A在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理 标准形.13. 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使 A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为 A的有理标准形.第八章主要结论:1. A与B相似

15、o九E - A与九E - B等价。它们有相同的各阶行列式因子o它们有相同的不变因子o它们有相同的初等因子.2. A 的每一个初等因子决定一个 Jordan 块, 全体初等因子决定了 A 的 Jordan 标 准形.3. 矩阵A可以对角化o它的Jordan块都是一阶的o它的初等因子都是一次的o它的最小多项式无重根.o它的不变因子无重根.4. 矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子.第七章和第八章 主要掌握的计算1. 求线性变换在某基下的矩阵.(1) n 维向量空间;(2) n 维多项式空间;(3) 2x2矩阵空间.例 1.设 V=R3, V (a,b,c) e R3,求 A在基 e = (1

16、,0,0), e = (0,1,0), e 二(0,0,1)和123a = (1,1,1), a = (1,1,0), 二(1,0,0)下的矩阵，其中123A(a,b,c)=(2a -b ,a + b, c + a).2 -1 0、解：(Ae , Ae , Ae ) = (e , e , e ) 110 = (e,e,e)A.123123123110 1丿1 1 1、(a ,a ,a ) = (e ,e ,e )P, P =1 1 0 1231 2 3I1 0 0 丿(A a , A a , A a ) =(Ae , Ae , Ae )P=(e , e , e ) AP二(a , a , a

17、)P -1AP1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3例 2. V=Pxn-1 DeL(V), Df(x) = f(x),求 D在基 l,x,xn-i下的矩阵.例 3. V = P2x2, ae L(V), Q =,对任意的Xe V, AX=QX,求A在基E ,E ,E ,E 下的矩阵11 12 21 22AE212,4=2 EJ 4 E21，AE 22=P 2、,02 E + 4 E ,12 22(10、01、=E + 5E , AE 12=E + 5 E ,50丿11 21 12 05丿12 22解: 由于 AE11=所以A在基E ,E ,E ,E下的矩阵为11 12 21 2210

18、20、0102A 5040 *、0504丿2. 判断一个变换是否为线性变换 .3. 求线性变换A的值域与核.4. 求线性变换(矩阵)的特征值和特征向量, 判断矩阵是否可以对角化. 求出A在V的一组基a , a ,，a下的矩阵A.12n求出特征多项式f(X)=|XE-AI,在求出其全部根即为全部的特征值九,九，,九.1 2 s(3) 对每一个特征值九，求解齐次线性方程组i(九 E- A)X 0,i得到基础解系，耳(c ,c ,.,c ), k 1,2,., r.贝0 (c ,c ,., c ), k 1,2,., r 就kk1 k 2 knik 1 k 2kni是A的属于特征值九的特征向量g在基

19、a , a ,，a下的坐标，于是特征向量ik 12 n为 g = c a + c a + c a , k 1,2,.,r .k k 1 1 k 2 2kn ni 当A有n个线性无关的特征向量g ,g ,.,g时,A在此基g ,g ,.,g下的矩阵1 2 n1 2 n为对角形.此时设g = c a + c a + c akk1 1 k 2 2(ciicT =12knc21c22c )n1cn2c2nc丿nn则T-1AT为对角形，主对角线上的元素为相应的特征值，顺序与T中特征向量的 顺序相同.例4.求例3中线性变换A及矩阵A的特征值特征向量，判断是否可以对角化.并 求A(A)的最小多项式.X-10

20、-20-20X-100X-10-2c吕c10X-10 - 2-50X-4031X-40-500-50X-40-50 X-4解:f (九)二-20九一1r3 + 尹-4)r1九1010(兀-5九一6)-50-20九一4=(九 + 1)2 (X- 6)2.当心-1时，求解线性方程组(-E-A)X=O,20-20、r 1010、0-20-20101-50-500000 0-50-5丿0000丿基础解系为 n1=(-1, 0, 1, 0), n2=(0, -1, o, 1).当心6时，求解线性方程组(6E-A)X=0,r 50-20 r 50-20、050-2050-2-50200000 0-502丿

21、0000丿基础解系为n3=(2, o, 5, 0), n4=(0, 2, 0, 5).A = - E + E . 属于特征2 12 22所以属于特征值-1 的特征向量为 A = -E + E ,1 11 21值 6 的特征向量为 A = 2E +5E , A = 2E +5E .3112141222A 在基 A , A , A , A 下的矩阵为对角形 D =diag(-1,-1,6,6). 1234-1020、令T二0-1021050 0105丿则 T -1 AT= D =diag(-1,-1,6,6).A 的最小多项式为 m(x)=(x+1)(x -6).一些相关题目Ck II、1.设 A

22、(k)二 01 1则 R(A(k)=.A(k)是否可逆，为什么?r 1k2 + 51 、丿2.设 A(k)=013k,则 R(A(k)=0V01 丿丿丿10 0 1 丿.A(k)是否可逆，为什么?(k +13.设 A(k)二 0,00 0、k2 + 30,则其不变因子是?0 k +1 丿4.设A的全部初等因子为k, (X- 2)2,(k +1)3,A是一个几阶矩阵？A的Jordan标准形是？A的不变因子是？3、135. A二 03的初等因子是？最小多项式是？不变因子的？ 1 3丿6. 判断命题是否正确, 不正确者请改正:(1) 若n阶矩阵A可以对角化，则A必有n个互不相同的特征值.(2) 若两

23、个n阶矩阵A和B的特征值相同，则它们相似.若矩阵A与B相似，则它们有相同的特征向量.(4) n阶矩阵A不可逆的充要条件是A至少有一个特征值为零.(5) 设 AL(V), a ,a g V ,若 Aa., -Ab.，,Ab 线性无关，贝U1 2 s 1 2 s a ,a ,a 线性无关.1 2 s设 AGL(V), a ,aa g V,若a ,aa 线性相关，则 Ab 1, Ab,1 2 s 1 2 s 1Aas线性相关.(7)设 aL(V), a ,a a e V ,若a ,aa 线性无关，则 Aa” Aa2,1 2 s 1 2 s 1 2 Aas 线性无关. 若PTAP = B, P可逆，则

24、A与B相似.若对任意的(a,b,c)eR3, A(a,b,c) =(a2. b+c, a+c),则A是 R3上的线性变换.r 1r 1(10)矩阵2与21 21丄厶丿相似.(11)设AeL(V), dimV=n,则A可逆的充要条件是 (a)A有 n个线性无关的特征向量;(d)A的特征值均非零;(e)AV=V;(f) A -1(0)=0.(12)设A的初等因子为X-1和(X-2)3,r1 r 121 2(a)2(b)2k2丿k 1 2丿r 1r 12 12(e)(f)2 11 2k 2丿k 2丿(b) A有n个互不相同的特征值；(c) A在V的某一组基下的矩阵为对角形;7. 填空1r 122(c

25、)2(d)1 2k12 k12 r 1、r 11 21 2(g)1 2(h)2k12丿k12 则A的Jordan标准形为:)A,则卩，卩，,卩可逆的1 2 s(1)设a ,aa 线性无关，(卩，卩卩)=(a ,a a1 2 s 1 2 s 1 2 s充要条件是(2)设三阶矩阵A的特征多项式是f(九)=兀-3X2 -2九+ 3,则IAI=_.设A的主对角线上的元素之和a +a +a =.112233若A2=E,则A的特征值只能是.若A2-3A+2E=0,则A的特征值只能是3100、一 4一 100设A二,则A的全部特征值之和X1+X2+X3+X4=.全部特71211 2 3 4、7 一 6 一

26、1 0 丿征值之乘积九九2九3九4=- A可逆吗?矩阵的三大关系等价相似合同对象mxn矩阵n阶方阵n阶实对称矩阵来源A可经初等行变换得到B一个线性变换在不同基下的矩阵二次型经非退化线性变换后，新旧矩阵之间的关系刻划存在P, Q可逆，使得B = P A Q存在P可逆，使得B = P-1 A P存在P可逆，使得B = PtA P共同点都满足反身性、对称性和传递性，都保持矩阵的秩不变最简 形式E 0|_ 0 0mxn有n个线性无关的特征向量时相似于对角形矩阵E卩-E|_r 0_|性质秩相同有相同的特征多项 式，有相同的特征值有相同的秩与正惯性指数等价类个数r+1, r=min(m, n)无限多个2(n + 1)(n + 2)