2012年广州市普通高中毕业班综合测试(理科数学).ppt

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1、2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科） 2012年 3月 15日 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1 . ( 1 ) ( , , ) () . 2 . 1 . 0 . 2 a b i i i a b R i ab A B C D 已 知 复 数 其 中 是 虚 数 单 位 ， 则 的 值 为 2( 1 ) 1 , 1 , 2a b i i i i i i a b a b D 2 1 2 , . , 1 lo g ( 2 ) ( ) ( ) .( 2, 1 ) .( 2, 1 .( , 2 )

2、 .( 1 , ) U U R y A x y x B C A B A B C D 已 知 全 集 函 数 的 定 义 域 为 集 合 函 数 的 定 义 域 为 集 合 ， 则 集 合 : 1 0, 1 , ( , 1 : 2 0, 2 ( ) ( 2, 1 U U A x x C A B x x C A B 集 合 集 合 D 3. ( ) si n ( ) ( 0 ) 6 () 12 .3 .6 .12 .24 f x x A B C D 如 果 函 数 的 相 邻 两 个 零 点 之 间 的 距 离 为 ， 则 的 值 是 , 2 12 2 12 6 6 T T C 2 2 2 2 4

3、 . ( , ) ( 0 ) 0 , ( ) . . . . P a b a b O x y r l a x b y r l O A B C D 点 是 圆 ： 内 一 点 ， 直 线 的 方 程 为 那 么 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 是 相 离 相 切 相 交 不 确 定 2 2 2 22 22 ( , ) ( 0, 0 ) . P a b a b r rr O l d r rab l 在 圆 内 ， + 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 圆 相 离 A 12 12 5 . ( ) 2 1 , , | | | ( ) ( ) | ( ) . f x x a x x a f x f

4、 x a AB CD 已 知 函 数 对 于 任 意 正 数 是 成 立 的 充 分 非 必 要 条 件 必 要 非 充 分 条 件 充 要 条 件 即 不 充 分 又 不 必 要 条 件 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2f x f x x x x x 1 2 1 2( ) ( ) 2x x a f x f x a 当 时 ， 1 2 1 2( ) ( ) 2 af x f x a x x a 当 时 ， B 6 . , s in , . ( 3 , 4 ) , ( 0 , 2 ) , ( ) . 8 . 6 . 8 . 6 a b a b a b a

5、b a b a b A B C D 已 知 两 个 非 零 向 量 与 定 义 其 中 为 与 的 夹 角 若 则 的 值 为 3 0 4 2 4 3 c os , si n 5 2 5 5 ab ab 3s i n 5 2 6 5 a b a b D 7 . 6 0 , 2 , 6 , , ( ) 1 1 1 2 . . . . 6 3 2 3 A B C A B C A B B C B C D A B D A B C D 在 中 ， 在 上 任 取 一 点 使 为 钝 角 三 角 形 的 概 率 为 B A C 2 6 60 C 8 . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 3

6、( , , ) , 3 ( ) . 2 5 2 . 2 1 6 . 7 2 . 4 2 x y z x y z A B C D 从 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这 个 数 字 中 任 取 个 不 同 的 数 字 构 成 空 间 直 角 坐 标 系 中 的 点 的 坐 标 若 是 的 倍 数 ， 则 满 足 条 件 的 点 的 个 数 为 10 1 0 3 6 9 ; 2 1 , 4 7 ; 3 2, 5, 8 将 个 数 字 分 组 ： 第 组 ： ， ， ， 第 组 ： ， 第 组 ： 3 3 3 34 3 3 3( 4 3 3 ) 4 2 6 2 5 2C C C A A 2 2

7、9. 如 图 是 一 个 空 间 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 . 2 22 2 22 3 1 ( 2 2 ) 433 33 V 二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题， 每小题 5分，满分 30分。 2 21 0 . 2 ( 1 ) 4 , .k x d x k 已 知 则 实 数 的 取 值 范 围 为 22 2 11 11 ( 1 ) ( 2 2 ) 1 22 k x d x k x x k k 3 1 2 k 3 2 1 4, 2 32 1 3 2 23 k kk ， 2 2 3 k ，实 数 的 取 值 范 围 是 226 11. ( 5

8、 7 ) ( 0, )my m m x m 已 知 幂 函 数 在 区 间 上 单 调 递 增 ， 则 实 数 的 值 为 . 225 7 1 , 5 6 0 , ( 2 ) ( 3 ) 0m m m m m m 2 3 ,mm或 2 , 360mm 又 1 2 . | 1 2 , | | 1 , ,. A x x B x x a A B A a 已 知 集 合 若 则 实 数 的 取 值 范 围 为 1a 1a1 2 11 12 a a 12x 1,2 | | 1 , 1 1 , 1 1x a x a a x a 12 34 5 13. 2 1 5 12 22 1 1 , 2 5, 3 12

9、, 4 22, , , 145, n aa aa a a n 两 千 多 年 前 ， 古 希 腊 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 数 学 家 曾 经 在 沙 滩 上 研 究 数 学 问 题 ， 他 们 在 沙 滩 上 画 点 或 用 小 石 子 来 表 示 数 ， 按 照 点 或 小 石 子 能 排 列 的 形 状 对 数 进 行 分 类 ， 如 图 中 的 实 心 点 个 数 ， ， ， ， ,被 称 为 五 角 形 数 ， 其 中 第 个 五 角 形 数 记 作 = 第 个 五 角 形 数 记 作 = 第 个 五 角 形 数 记 作 = 第 个 五 角 形 数 记 作 = 若 按 此 规

10、律 继 续 下 去 ， 则 若 则 。 1 2 3 41 , 5 1 4 , 1 2 1 4 7 , 2 2 1 4 7 1 0a a a a 5 1 4 7 1 0 1 3 3 5a 1 ( 3 2) 1 4 7 1 0 ( 3 2) 1 4 5 2n nnan 23 2 9 0 0 , ( 3 2 9) ( 1 0) 0 , 1 0n n n n n （二）选做题（ 1415题 ,考生只能从中选做一题） 14. 3 5 , 1 3 , , 3 . O c m P A B P CP A B O P c m C D P CD C D c m 如 图 ， 圆 的 半 径 为 点 是 弦 的 中

11、点 ， 点 是 弦 的 中 点 ， 弦 过 点 ， 且 则 的 长 为 A B C D P O 1 , , 2 3 CP C P x P D x CD 设 225 3 4A P B P 2 , 2 16 2 , 2 2 3 6 C P D P A P B P xx C D x 2 15. 21 : ( ) : ( ) 1 | | . lC xtxs l s C t ys yt l C A B A B 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 直 线 与 曲 线 的 参 数 方 程 分 别 为 为 参 数 和 为 参 数 ， 若 与 相 交 于 、 两 点 ， 则 1 2 1 xs yx

12、ys 2 2 2 ( 2 ) xt yx yt 22 ( 2 ) , 2 1x x x x 解 得 ： 或 ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0 ) , | | 2A B AB 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分，解答须 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 6 . ( ) t a n ( 3 ) . ( 1 ) ( ) .49f x x f已 知 函 数 求 的 值t a n t a n 34 ( 1 ) t a n 9 3 4 1 t a n t a n 34 31 23 13 f 解 ： 3 16. ( ) t an ( 3 ) .( 1 ) , 42 ( ) 2, c os

13、 . 3 4 4 f x x f 已 知 函 数 设 ， 若 求 的 值 3( 2) t a n t a n ( ) t a n 2 3 4 4 4 f 22s i n 32 , s i n c o s 1 c o s 2 又 且 考 虑 到 ， 2 5 5sin , c os 55 得 ： 3 1 0c o s c o s c o s s in s in 4 4 4 1 0 17.如图 4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每 小组 4人）在期末考试中的数学成绩。乙组记录中 有一个数据模糊，无法确认，在图中以 a表示。已 知甲、乙两个数学小组的数学成绩的平均分相同。 （ 1）求 a的值； 8

14、9 甲组 9 7 6 6 乙组 7 a 3 5 1 ( 1 ) ( 87 89 96 96 ) 4 1 ( 87 90 93 95 ) 4 a 解 ： 依 题 意 得 ： 3a 解 得 ： （ 2）求乙组四名同学数学成绩的方差； 8 9 甲组 9 7 6 6 乙组 7 3 3 5 1( 2) = ( 8 7 9 3 9 3 9 5) 9 2 4x 乙 2 2 2 2 21= ( 8 7 9 2 ) ( 9 3 9 2 ) ( 9 3 9 2 ) ( 9 5 9 2 ) 9 4S 乙 （ 3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记 这两名同学数学成绩之差的绝对值为 X,求随机变量 X的分

15、布列和均值 . 8 9 甲组 9 7 6 6 乙组 7 3 3 5 ( 3 ) = X 分 别 从 甲 、 乙 两 组 同 学 中 各 随 机 选 取 一 名 同 学 ， 共 有 4 4 1 6 种 结 果 ， 这 两 名 同 学 成 绩 之 差 的 绝 对 值 的 所 有 情 况 如 下 表 ： 87 89 96 96 87 0 2 9 9 93 6 4 3 3 93 6 4 3 3 95 8 6 1 1 甲 乙 X X 随 机 变 量 的 分 布 列 如 下 ： X 0 1 2 3 4 6 8 9 P(X) 1 16 1 16 2 16 4 16 2 16 2 16 1 16 3 16 1

16、 1 1 4 2 3 1 2 0 1 2 3 4 6 8 9 16 16 16 16 16 16 16 16 68 17 16 4 EX 18. 5 6 , , , 1 , 3, 3 .( 1 ) P A B C A B B C P A C A B C P D A C D A D C D P D P B C 如 图 所 示 ， 在 三 棱 锥 中 ， 平 面 平 面 于 点 证 明 为 直 角 三 角 形 ； P A B C D E ( 1 ) , ,A C E B D B E取 中 点 连 接 22 3B D E B D B E B D 是 直 角 三 角 形 ， 2 2 2 6 , 3 ,

17、 , B C C D B D B C C D B C B D 又 , , PD A B C B C A B C PD B C 平 面 平 面 ,P D BD D BC P BD 又 平 面 ,P B P B D B C P B P B C 又 平 面 ， 即 是 直 角 三 角 形 22 2B E A B A E 则 18. 5 6 , , , 1 , 3, 3 .( 2 ) P A B C A B B C P A C A B C P D A C D A D C D P D A P P B C 如 图 所 示 ， 在 三 棱 锥 中 ， 平 面 平 面 于 点 求 直 线 与 平 面 所 成

18、角 的 正 弦 值 . P A B C D ( 2 ) , ,A P BC H P H APH AP P BC 过 点 做 平 面 的 垂 线 ， 垂 足 为 连 接 则 为 直 线 与 平 面 所 成 的 角 ( 1 ) 1 22 2ABC ABC S A C B E 由 知 ， 的 面 积 3, 1 3 1 2 6 2 2 3 33 P A B C A B C PD V S PD 因 为 P A B C D 22( 1 ) 6 , 11 6 , 6 6 3 22P B C P B C B C P B P D B D S B C P B 由 知 为 直 角 三 角 形 ， 1 2 6 2 6

19、, 3 , 3 3 3A P B C P A B C V V A H A H 所 以 22 2 R T PAD A P PD A D 在 中 ， 26 63 si n 23 AH AP H AP 6 3A P PBC即 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 4 3 5 2 32 1 9 . 2 , , 4 2 . ( 1 ) n n a a a a a a a 等 比 数 列 的 各 项 均 为 正 数 ， 成 等 差 数 列 ， 且 求 数 列 的 通 项 公 式 ； 3 4 5 2 32 ( 1 ) , 2 2 4 2 n aq a a a aa 解 ： 设 等 比 数 列

20、的 公 比 为 依 题 意 ， 有 2 3 4 1 1 1 2 2 2 11 2 2 a q a q a q a q a q 即 11 110 , 0 , , 22 a q a q 由 于 解 得 ： *1 ( ) 2nn n a a n N 数 列 的 通 项 公 式 为 25( 2 ) , ( 2 1 ) ( 2 3 )n n n n nb a b S nn 设 求 数 列 的 通 项 公 式 2 5 2 5( 2 ) ( 2 1 ) ( 2 3 ) ( 2 1 ) ( 2 3 ) 2nn n nnba n n n n 1 ( 2 5 ) ( 2 3 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) (

21、 2 3 ) 2 n n n n nn 1 1 2 5 2 5 2 2 1 2 3n nn nn 1 1 4 2 2 2 1 2 3n nn 1 11 ( 2 1 ) 2 ( 2 3 ) 2nnnn 12 1 1 1 1 1 1 1 3 1 0 1 0 2 8 ( 2 1 ) 2 ( 2 3 ) 2 nn nn S b b b nn 11 3 ( 2 3 ) 2 nn 11 3 ( 2 3 ) 2nn n b n S n 故 数 列 的 前 项 和 2 2 2 0 . 1 . 4 5. . ( 1 ) y x A B C A B P C AP TC 已 知 椭 圆 的 左 、 右 两 个 顶

22、点 分 别 为 、 曲 线 是 以 、 两 点 为 顶 点 ， 离 心 率 为 的 双 曲 线 设 点 在 第 一 象 限 且 在 曲 线 上 ， 直 线 与 椭 圆 相 交 于 另 一 点 求 曲 线 的 方 程 ； ( 1 ) ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 )AB解 ： 依 题 意 可 得 ： 2 2 2 2 1 ( 0 ) 1 5 5 , 2 1 y C x b b b b 设 曲 线 的 方 程 为 因 为 双 曲 线 的 离 心 率 为 ， 所 以 即 2 2 1 4 yCx 所 以 双 曲 线 的 方 程 为 1 2 1 2. ( 2 ) , 1 ; P C A P T

23、P T x x x x 设 点 在 第 一 象 限 且 在 曲 线 上 ， 直 线 与 椭 圆 相 交 于 另 一 点 设 点 、 的 横 坐 标 分 别 为 、 证 明 ： 5 4 3 2 1 1 2 3 4 8 6 4 2 2 4 6 8 T A B P 1 1 2 2( 2 ) ( , ) ( , ) ( 0 , 0 , 1 , 2 ) , ( 0 ) , ( 1 ) iiP x y T x y x y i A P k k A P y k x 设 点 、 直 线 的 斜 率 为 则 直 线 的 方 程 为 2 2 ( 1 ) 1 4 y k x y x 联 立 方 程 组 2 2 2 2

24、( 4 ) 2 4 0k x k x k 整 理 ， 得 ： 22 2 441, kkx x x 解 得 ： 或 所 以 2 1 1 22 4 ,1 4 kx x x k 同 理 可 得 : 所 以 22 1 2 1 2 ( 3) ( ) 1 5 . T A B P O B O S S P A P B S S 设 与 其 中 为 坐 标 原 点 的 面 积 分 别 为 与 ， 且 ， 求 的 取 值 范 围 5 4 3 2 1 1 2 3 4 8 6 4 2 2 4 6 8 T A B P 1 1 2 2( 3 ) ( , ) , ( , ) ( 0 , 0 , 1 , 2 )iiP x y

25、T x y x y i 设 点 1 1 1 1( 1 , ) , ( 1 , )P A x y P B x y 则 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 22 1 1 1 1 = ( 1 ) ( 1 ) 1 1 4 ( 1 ) 5 5 15, 2, 1 2 PA PB x x y x y x x x x x 所 以 1 2 2 2 1 1 1 1 1| | | | , | | | | 2 2 2S A B y y S O B y y 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 ( 4 4 ) ( 1 ) 5 4 4S S y y x x x x 所 以 2 1 2 2

26、 1 1 1( 2) 1 , , , 1 4x x x t x t x 由 知 ， 即 设 则 5 4 3 2 1 1 2 3 4 8 6 4 2 2 4 6 8 T A B P 22 4 4 ( 2 ) ( 2 )( ) 5 , ( ) 1 ttf t t f t t t t 设 则 1 2 ( ) 0 , 2 4 ( ) 0t f t t f t 当 时 ， 当 时 ， ( ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 4 .ft所 以 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 22 1 1 2 m in 22 1 1 2 m ax ( 2 ) 1 , ( 1 ) ( 4 ) 0

27、4, 2 ( ) ( 4 ) 0 2 2 ( ) ( 2 ) 1 f f f t x S S f t x S S f 因 为 所 以 当 即 时 ， 当 ， 即 时 ， 2212 0, 1 SS 所 以 的 取 值 范 围 为 23 * 1 2 1 . ( ) ( ) ( ) 1 ( ) . ( 1 ) ( ) ( ) 2 ! 3 ! ! x n n f x e e g x x x x x n N f x g x n 设 函 数 为 自 然 对 数 的 底 数 ， 证 明 ： 11( 1 ) ( ) ( ) ( ) 1 , ( ) 1xxx f x g x e x x e 设 则 1 1 1

28、11 1 ( ) 0 , ( ) 0 ( ) = 0 0 ( ) 0 , ( ) x x x x x x x x 当 时 ， 单 调 递 减 ， 当 时 ， ， 当 时 ， 单 调 递 增 . 10 ( ) ( 0) 0 xx 当 时 ， 取 得 最 小 值 11( ) ( 0) 0 xx 对 于 任 意 实 数 都 有 1( ) ( )f x g x ( 2 ) 0 ( ) ( ) .nx f x g x当 时 ， 比 较 与 的 大 小 ， 并 说 明 理 由 ( 2) 0 ( ) ( ) ,nx f x g x当 时 ， 用 数 学 归 纳 法 证 明 如 下 ： 11 ( 1 ) (

29、) ( )n f x g x 当 时 ， 由 知 *( ) 0 ( ) ( )kn k k N x f x g x 假 设 当 时 ， 对 任 意 均 有 + 1 + 1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )k k k kx f x g x x f x g x 令 则 11, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k k x x f x g f x g x x 因 为 对 任 意 正 实 数 1 1 1 1 ( ) ( 0 , ) 0 ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) k k k k x x x x f x g x 在 上 为 增 函 数 ， 当 时 ， 即 0

30、 ( ) ( )nx f x g x由 知 ， 当 时 ， 223 * 2 2 2 2 ( 3 ) 1 ( 1 ) 2 3 4 1 () n nge n nN 证 明 ： 0 ( ) ( ) , ( 1 ) ( 1 )nnx f x g x g f e 当 时 ， 223 2 2 2 2 1 ( 1 ) 2 3 4 1 1 1 1 = 1 + 1 + + + + , , 2 3 ! 2 1 1 ,! 1 ! 2 n n nn g n n n n n nn 要 证 明 ： 只 需 证 明 对 任 意 正 整 数 不 等 ！ ！ 式 即 1 1, 2 1 ( 1 ) 2 , 2 1 1 2 n n n n n n 因 为 1! 2 nn nn 将 以 上 个 不 等 式 相 乘 ， 得 ： 223 , 2 2 2 2 1 ( 1 ) 2 3 4 1 n n n ge n 综 上 可 知 ， 对 任 意 正 整 数 有