2012-2013学年第一学期《概率统计复习题》.ppt

《2012-2013学年第一学期《概率统计复习题》.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012-2013学年第一学期《概率统计复习题》.ppt（42页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、考试时间： 90分钟 可以带计算器！ 概率复习题 第一套 1.设 P(A)=P(B)=P(C)=0.2, P(AB)=P(AC)=0.1, P(BC)=0, 则 : ( ) ( ) ?P A B C P A B C ？ ， ()P A B C ( ) ( ) ( )P A P B P C ( ) ( ) ( )P AB P BC P AC ()P A B C0.4 ()P A B C ()P A B C 1 ()P A B C0.6 A B C B C ( ) ( )P A B C P B C 00 ( ) 0P A B C 解： ( ) 0 .4 ( ) 0 .5 ( ) 0 .7P A P

2、 B P A B 、 、 ( ) ( ) ?P A B P A B ？ 2.已知 ，则 () () ( ) ( ) 重 要 公 式 ： P A B P A B P A P A B 解： ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B ( ) 0.2P A B ( ) 0.2P A B ( ) 0 .3P A B 3. 某小组有 3个男生、 5个女生，从中任选 2人作组长， 则两人都是女生的概率为 ？ 解： 共 8人 3男 5女选 2人 选 2女 选 0男 P 28C 25C 5 14 03C 4. 两人独立地破译密码，他们能单独译出的概率分别为 1/5和 1/3,则此密

3、码被译出的概率为多少 ？ ,AB ()P A B () )( ( )P A P B P A B 解： ( ) ( ) ( ) ( )PAPP PA BB 5. 设随机变量 X的分布律为： 则 : ( ) ( 1 , 2 , 3 , 4)10 kP X k k ( 1 2. 4) ?PX 1 2 3 4 ( 1 2 .4 ) PX ( 1 ) ( 2) P X P X 3 10 解： 7 15 ()P ?6 X ，且 P(X =1)= P(X =2), 则 12 1 ! 2 ! ee 解： P(X =1)= P(X =2), 则： 2 ( ) 1 . 6 , ( ) 1 . 2 8E X D X

4、 7. 设随机变量 X服从参数为 n, p的二项分布，已知： ,则参数 n,p = ? 熟背 P86-87 常见分布期望、 方差 解： ( , )X B n p ( ) 1.6 , ( ) ( 1 ) 1.28 E X np D X np p ( ) , ( )则 ： X P P X k ! k e k 泊松分布 二项分布 常见分布的数学期望和方差（ P73.背 ） ( , )X B n p()E X np ( ) ( 1 )D X np p ( )XP ( ) ( )E X D X ( , )X U a b () 2abEX 2() () 12baDX ( )Xe 1()EX 21()DX

5、2 ( , )XN ()EX 2()DX 8. 设随机变量 X U（ -2, 3)，现对 X进行三次独立观测， 求 :(1)X的概率密度 f(x) (2) P(X 1) (3)至少有两次 的观测值大于 1的概率。 解 因为 X U（ -2， 3），故密度函数为 1 5 2 3 0 /() xfx 其 他 ( 1 )p P X 由二项分布 B(3, p)，有： 23 23 33 2 2 2 4 41 5 5 5 1 2 5P C C 2 5 区 域 的 长 度内 区 间 总 长 度 区间 -2,3 的 均匀分布 ( 2 0 , 0 .3 ) , ( 2) ,X B Y e9 设随机变量 X,Y相

6、互独立，且 则： ( 1 ) ( 3 ) ? ( 2) ( 2 ) ? ( 3 ) ( 2 ) ?E X Y E X Y D X Y 解： ( ) ( ) ( )E a X b Y a E X b E Y ( ) ( ) ( ), E X YXY E X E Y独 立 22( ) ( ) ( ) , D a X b Y a D X D XY bY 独 立 (1 ) ( 3 )E X Y ( ) ( ) 3E X E Y P86-87常见分布期望、方差 ( ) 6 , ( ) 0.5E X E Y 6 0 .5 3 6 ( 2) ( 2 )E X Y( ) 2 ( )E X E Y 6 2 0

7、.5 5 (3 ) ( 2 )D X Y( ) 4 ( )D X D Y 4 .2 4 0 .2 5 5.2 ( ) 4 .2 , ( ) 0 .2 5D X D Y (1 0 0 , 0 . 7 )XB ( 7 0 1 0 ) ?PX 10.设 ,由 切比雪夫不等式 ， 解： ( ( ) )P X E X 2()1 DX ( 7 0 1 0 )PX ()() 10EXPX 2 1 0 0 0 . 7 0 .1 1 3 0 0.79 11. 设总体 ,X1,X2,X3为来自总体 X的样本， 则： 是总体均值 的： ),( 2NX 1 2 3 1 1 1 2 2 3Z X X X 解： 1 2

8、3 1 1 1 2 2 3E X X X 1 1 1 1 2 2 3 有偏估计量 ),( 2NX nXXX , . . . , 21 X 12.设总体 ，从总体中抽出容量为 n的样本 ，样本均值为 ，则 ， / XU n (0 ,1)N 22 2 1 1 ()n i i X 2 ( )n 13 设 r.v. XN(2,9)， 求以下概率 ? (1) P(0 X 3) ( 4) ( 0)FF 4 2 0 2 33 22 33 22 133 1 ( 3 )PX 1 (3 )F 321 3 221 3 11 3 2 2 1 2 1 1 1 3 1 0 0 0 5 . ( ) ( ) ( ) ( )

9、( ) ( ) ( () . ( ) ( ) () , ) ( ) ( ) . 2. 解 题 则 ： 策 若 ， 略 ： P X x F x P X x F x P x X x F x XN x F xx x Fx x 2 14.已知 r.v. X,Y的联合分布律 ,求 : E(5X-Y)和 D(5X-Y)。 Y X 0 1 0 3/10 3/10 1 3/10 1/10 解 : (5 )E X Y5 ( ) ( )E X E Y (5 )D X Y25 ( ) ( )D X D Y Y X 0 1 pi 0 3/10 3/10 3/5 1 3/10 1/10 2/5 pj 3/5 2/5 2

10、2( ) ( ) ( )D X E X E X ()EX 325501 25 2()EX 2232( ) ( )5 1 50 25 6 25 同理： 2() 5EY 6() 25DY XY p 0 1 9 10 1 10 ()E XY 110 ( , ) ( ) ( ) ( )C o v X Y E X Y E X E Y350 7 5 21 6 2510 ( , )C ov X Y 全概率 ( ) ( , )XYf x f x y f yd y d xf x y (2) 0 ()Xx f x 当 时 ，0 ()xy yed xe 0 ( ) 0 x X exfx 其 他 ( , ) ( )

11、( )XYf x y f x f y X,Y独立 0 () 0 y Y eyfy 同 理 ， 其 他 数理统计部分 1. 统计量 (X1,X2, Xn) 总体： X 采样得样本（随机向量）： 样本观测值（数值向量）：（ x1,x2, ,xn) (X1,X2, Xn) g(X1,X2, Xn) 映射（加工） 几个常用的统计量： 样本均值 1 1 n i i XXn 样本方差 22 1 1 1 () n i i S X Xn 样本 k阶原点矩 1 1 n k ki i AXn 1, 2,k 2.一个正态总体的统计量的常见分布和使用限制 （背） 有 关 的 问 题 2 已 知 / XU n 01 (

12、 , )N 2 未 知 / XT nS 1 ( )t n 2有 关 的 问 题 22 2 1 1 ()n i i X 2 ( )n 已 知 未 知 2 2 2 1()nS 2 1 ( )n 2 12 ., , , ( , )i i d nX X X N 2 2 1 1 ()n i i XX 2Z2Z 22 1 ch i- s q u a re 3 8 .1 9 3 6 .1 8 3 4 .1 7 3 2 .1 6 3 0 .1 5 2 8 .1 4 2 6 .1 3 2 4 .1 2 2 2 .1 1 2 0 .1 0 1 8 .0 9 1 6 .0 8 1 4 .0 7 1 2 .0 6 1

13、 0 .0 5 8 .0 4 6 .0 3 4 .0 2 2 .0 1 .0 0 概率 .1 2 .1 0 .0 8 .0 6 .0 4 .0 2 0 .0 0 3.两大 分支 估计 假设检验 点估计 区间估计 矩估计 1. 找 准 统 计 量 （ 四 类 ） ， 算 出 = ？ （ 一 般 较 小 ） / XUU n 如 选 取 统 计 量 ： 1 - / 22. u 查 分 布 表 得 分 位 点 2 /2u 2 1 /2u 1- /21- /2 12 1 2 1 2 3 / / . / 反 解X u n X u X u nn 12 3 / . / 否 定 域 ： xWu n 区 间 估

14、计 和 假 设 通 用 极大似然估计 222 ( 1 ) ( 1 ) kp 1 2 31 , 2 , 1x x x 17. 设总体 X的概率分布为 ： 其中， 为未知参数。 采样样本： 求 的 矩估计值 1 2 3 X 解： (1)计算期望 () k k k xE X p 221 2 32 ( 1 ) ( 1 ) + 32 (2)反解 3 ( )2 EX (3)替换 E(X) 3 2 X 矩估计 量 由样本 1 2 31 , 2 , 1x x x 35 26 x 矩估计 值 18.设 x1,x2,x n是一组样本观测值， 求下列总体密度函数中 的 矩估计量 和 极大似然估计量 。 1 0 1

15、0 ( , ) xxX f x 其 他 L 解 1 矩估计： ( ) ( )E f x xXx d 1 1 0 x dxx 1 2 1 () () EX EX 2 1 X X 的 矩 估 计 量 为 ： 解 2 极大似然估计： 12( ) ( , ) ( , ) ( , )nxxLf xff 1112 1nx x x 12 12n nx x x 1 12ln ( ) ln ( ) lnn i i nLx 1 1 2 2 ln ( ) lnn i i dL n x d 02 1 () ln n i i n x 2 1 () ln L n i i n X 2 ( 0. 53 , 0. 01 5 )

16、 , , , ? 0. 05 XN x 2 0 . 设 某 种 橡 胶 的 伸 长 率 现 改 进 橡 胶 配 方 ， 对 改 进 配 方 后 的 橡 胶 取 9 个 来 分 析 测 得 其 伸 长 率 的 样 本 均 值 为 0 . 5 5 7 已 知 改 进 配 方 前 后 橡 胶 伸 长 率 的 方 差 不 变 问 ： ( 1 ) 求 改 进 橡 胶 配 方 后 的 总 体 均 值 的 置 信 水 平 为 95% 的 置 信 区 间 ； （ 2 ） 分 析 改 进 配 方 后 橡 胶 的 平 均 伸 长 率 有 无 显 著 变 化 （ ） 解 (1): 1.找统计量 / XU n 由置信

17、水平 95%知： 0.05 解 (2): 0 0 1 0: 0 . 5 3 : ,HH 1.找统计量 0 0 01 ( , ) / HXUN n 检验水平： 0.05 1- /2u 1 /2u 2.查正态分布表得： 1 / 2 0 . 9 7 5 1 . 9 6uu 2.查正态分布表得： 1 / 2 0 . 9 7 5 1 . 9 6uu 3.反解： 1 96 1 96 1 96 . / . X n XX nn 带数据： 0 .5 5 7, 9 , 0 .0 1 5xn 得相应置信区间： 0.54 72 , 0.56 68 故否定域为： 1 1 96 ( , . ., ) . nW x x u

18、 3.带数据计算 u值： 0 5 5 7 0 5 3 54 0 0 1 5 9 . . ./u W 拒绝 H0，认为改进后有显著性变化。 概率复习题 第二套 1.设 A ,B,C为三事件 , 则 “ A, B,C都发生 ” 表示为 ； “ A, B,C至少一个不发生 ” 表示为 。 A B C A B C A B C或 ： 06( | ) .P A B 2.设 P(A)=0.5, P(B)=0.4, ,则 P(AB)=? 解： 06( | ) .P A B 06() . () P A B PB 061 .()PB () () ( ) ( ) P A B P A B P A P AB 重 要 公

19、 式 ： ( ) ( )P A P AB P(AB)=0.14 3. 某城市的电话号码是 7位数 , 今任取一个电话号码 , 则后 5个数均不相同的概率是多少？ (只列式，不计算 ). 解： P 5 10510A 2 0 1 0 ,() , xxfx 其 他 ( ) ( )P X a P X a 4. 已知 X有密度 ，实数 a使得： ,则实数 a =？ 解： ( ) ( )P aXPa X ( ) ( )a af x dx f x dx P42. （ 3.1.1）式 2 0 1 x a 1 02 2 a ax dx x dx 2 1 2 0aaxx 2 2a 5 X e(2), 则 221(

20、 ) ?EX 解： 221()EX 221()EX 22()D X E X E X 22 ()E X D X E X 1 4 21 2 ),( 2NX nXXX , . . . , 21 X 6.设总体 ，从总体中抽出容量为 n的样本 ，样本均值为 ，样本方差为 S2， 则： ， /XT Sn ( 1)tn 2 2 2 ( 1 ) nS 2 ( 1)n 2(2 , )N ( 4 ) ( 0 .2 )PX ? ( 3 2 ) ?PX 7. 设随机变量 X ，且 则： 解： ( 1 ) ( 4 ) ( 0 .2 )PX 42 ( 0 .2 ) 42 0.2 10 ( 2 ) ( 3 2 )PX (

21、1 5 )PX ( 5 ) (1 )FF 5 2 1 2 10 10 ( 0 . 3 ) ( 0 . 1 ) ( 0 . 3 ) 1 ( 0 . 1 ) 1 2 2 1 2 1 1 3 1 0 0 0 5 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) () ( , ) ( ) ( ) . x X P X x F x P X x F x P x X x F x F x x NF x x x 2. 若 ， 则 ： 8设甲、乙两人独立射击，各自击中目标的概率分别是 0.5和 0.6,今两人各射击一次 ,设 X表示目标被击中的次数， （ 1） 求 X的分布律； （ 2

22、） 求 X 2+1 的分布律； （ 3） 计算 E(X), D(X). 解： （ 1） X的分布律： X p 0 1 2 ,AB 0()PX ()P A B ( ) ( )P A P B 1 0 5 1 0 6 02 ( . ) ( . ) . 02. 03.05. （ 2） X 2+1的分布律： 36 261( . . ) P 式 2 1X p 2 2 20 11 1 1 2 0 2 0 . 5 0 3. （ 3） X的期望 E(X)和方差 D(X) ： X p 0 1 2 02. 03.05. 22( ) ( ) ( )D X E X E X ()EX 0 0 . 2 1 0 . 5 2

23、0 . 3 1.1 2()E X 2 2 2( ) 0 . 2 ( ) 0 . 5 ( 0 .1 302 ) 1.7 0.49 9. 设 (X,Y)有联合分布律，求 (1)X,Y各自的边缘分布律； (2)概率 ； (3)条件概率 ； (4) X,Y独立吗？ YX 0 1 2 0 .1 0 .3 0 .20 1 0.2 0.1 0. 1 解 : .ip .jp .6 0.4 (1) X P 0 1 0.6 0.4 0. 3 0 .4 0 .3 Y P 0 1 2 0.3 0 .4 0 .3 (4) ( 0 , 0 ) 0 . 1 P X Y ( 0 ) ( 0 ) 0 . 1 8 P X P Y

24、 X,Y不独立 11()P X Y ( 2 ) ( 0 1 , 0 2 ) P X Y( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) P X Y P X Y0.3 3 ) ( 1 )1( YPX 1( )11 , )( YP YPX 0.1 0.250.4 0 1 0 2( , )P X Y 10. 对以往的数据分析结果表明，当机器正常时，产品的 合格率为 0.9，而当机器发生某一故障时，产品的合格率 为 0.3。每天早上机器开动时，机器正常（即未发生故障） 的概率为 0.75 。随机调查某日的机器情况，请用全概率 公式与贝叶斯公式，求： （ 1）被调查某日早上第一件产品是合格品的概率？ （ 2）已知

25、某日早上第一件产品是合格品，则机器是正常 的概率？ 分析 : 抽取合格品 机器正常 机器故障 0.75 0.9 0.25 0.3 解： 设 A 任取一件为合格品 B1 机器正常； B2 机器故障 （ 1） P(A)= 1()PB 1()P A B 2()PB 2()P A B 0.75 0.9 0.25 0.3 0.75 （ 2） 1()P B A () PA 0 .7 5 0 .9 0 .90 .7 5 抽取合格品 机器正常 机器故障 0.75 0.9 0.25 0.3 A 1B 2B 11( ) ( )P B P A B 11. 设连续型 r.v. X的密度函数为： 求 : (1)常数 A

26、 ; (2)X的期望 E(X)和方差 D(X) ( 1 ) 0 1() 0 其 他 A x x xfx 解 (1)利用归一性 1()f x dx 1 0 11()Ax x d x 1 23 0 123xxA 16 A 6A (2)利用连续型随机变量期望，方差的定义 ( ) ( )E f x xXx d 10 61()x x xx d 12 22( ) ( )E f x d xXx 1 0 2 61()x x xx d 310 2 2( ) ( ) ( )D XX E E X120 12. 设连续型 r.v. X的密度函数为： 求 : (1)常数 A ; (2)X落在 内的概率； (3)X的分布

27、函数 c os / 2() 0 其 他 A x xfx ( , )44 解 (1)利用归一性 1()f x dx /2 /2 c os 1A x dx /2 /2si n 1Ax 21A 12A 2 44( ) ( )PX 4 4 1 c os 2 xdx 2 2 3 ( ) ( ) ( )F xPx X ()x f t d t / 2 /2 (1 ) ( 2) ( 3 ) /2x 00 x dt 22x /2 1 1 s inc o s 2 2 2 x xtd t /2x /2/2 1 c o s 12 td t 4 4 ()f x dx 0 0 ( ) 其 它 x X x e xX f x

28、 23YX ()Yfy13.设 ，求 的 解 1： ()YF y ()yP Y 3()2 yP X 3() 2 yP X 3 2 ()X y f x dx 0 3 2 y x dxxe ()() Y Y d F yfy dy ()RY (3, ) （ 1） 3y ()YFy 0 （ 2） 3y 3y 积分 上限 函数 求导 3 233 22 yyy e 3 234 yy e 3y0 0 0 ( ) 其 它 x X x e xX f x 23YX ()Yfy13.设 ，求 的 解 2 3 2 yx P58定理 3.4.2 0 3 22 3 ( ) ( ) () XY f y R y Y y fy

29、 其 他 （ 1） y=2x+3是 x的 严格单调增加 的函数 （ 2） y=2x+3的反函数为： 有 连续导数 3 0 y 其 他 3 23 2 y ey 3 2 y 3 234 yy e ()RY (3, ) ( )Xe 12, nX X X 14. 已知总体 ,其中 为未知参数， 为来自 X的简单随机样本 ,求 的矩估计和极大似然估计。 解 1 矩估计： ( ) ( )E f x xXx d 1 1 ()EX 1 X 的 矩 估 计 量 为 ： 解 2 极大似然估计： 12( ) ( , ) ( , ) ( , )nxxLf xff 12 nxxxe e e 12 nn x x xe 1

30、 ln ( ) ln n i i L n x 1 ln ( ) n i i dL n x d 0 1 n i i n x 1 L n i i n X ,0 ( ; ) 0 , 0 xex X f x x 01 0() Ax y xf x y ， 其 他 15. 设 (X,Y) 求 (1)常数 A ;(2)期望 2()E X Y 解： (1) 1( , ) 归 一 性 ： f x y d x d y O 1 x y 1 1 0 dx 0 x dy Ax 1 3A 22 ( ) ( )E XY P66 定理 4.1.2 2( ) ( , )f x y d xxy dy 1 2 00 3() x x

31、y ddx x y 0 25. 16. 为测定某家具中的甲醛含量，取得 4个独立的测量值的样 本，并算得样本均值为 8.34%，样本标准差为 0.03%，设被 测总体近似服从正态分布， =0.05，求 ,2的置信区间。 解 : (1) 求 的置信区间： 由题意， 2未知 ， s=0.03%， 1.找统计量 : / XT Sn 2.查 t(n-1)表 得： 0 9 7 51 2 1 3 3 1 8 2 4.( ) ( ) .t n t 3.反解： 3 1 8 2 4 3 1 8 2 4 3 1 8 2 4. . ./ X S SXX S n n n 带数据得： 的置信度为 0.95的置信区间为

32、8.2923%， 8.3877%。 1 ( )tn 16. 为测定某家具中的甲醛含量，取得 4个独立的测量值的样 本，并算得样本均值为 8.34%，样本标准差为 0.03%，设被 测总体近似服从正态分布， =0.05，求 ,2的置信区间。 解 : (2) 求 2的置信区间： 由题意， 未知 ， 1.找统计量 : 2 2 2 1()nS 2.查 2(n-1)表得： 3.反解： 22 2 2 2 1 1 10 2 1 6 9 3 4 8 9 3 4 8 0 2 1 6 ( ) ( ) ( ). . n S n S n S 8 34.%x 2 1 ( )n 1 2 22 0 9 7 51 3 9 3

33、4 8.( ) ( ) .n 2 22 0 0 2 51 3 0 2 1 6.( ) ( ) .n 带数据得： 2的置信区间为 0.00029 10-4， 0.0125 10-4 2 ( , )XN 226 2 5 1 0.,xs 0.05 17某校英语四级考试成绩 ，从考生中随机抽取 36份成绩计算得： 。已知全省平均成绩为 61分。 问该校成绩与全省平均成绩有无显著性差异。（ ） 无！ 解： (1)提出假设： (2)选取统计量： (3)对于给定显著性水平 ，查 t(n-1) 分布表，得： (4)计算统计量观察值： 故： 接受原假设 ， 即能认为该校成绩与全省平均成绩 无 显著性差异。 01 9752 12 35 030./ ()( ) .ttn 0 62 5 61 09 10 36 . . / xt sn 61XT Sn 0H 0 05. 0 0 1 06 1 6 1:HH 0 1 ( )H tn W 故 拒 绝 域 2 030 . W t t