一看就懂的小波变换ppt课件.ppt

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1、1. 小波变换 小波变换既有频率分析的性质 ， 又能表示发生 的时间 ， 有利于分析确定时间发生的现象 ， 傅立 叶变换只具有频率分析的性质 。 小波变换的多分辨率的变换 ， 有利于各分辨度 不同特征的提取 （ 图像压缩 、 边缘抽取 、 噪声过 滤 ） 。 小波变换一个信号为一个小波级数 ， 这样一个 信号可由小波系数来刻画 。 小波变换速度比傅立叶快一个数量级 ， 长度为 M 的信号 ， 计算复杂度： MMOf 2lo g MOw 傅立叶变换： 小波变换： 1 设有信号 f(t): 其傅里叶变 换为 F(j): 1( ) ( ) 2 jtf t F j e d 即： 2 = + + 0 2

2、 4 6 8 10 12 14 16 18 -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 （ t） 1/2（ 2t-t0） 2/3（ 4t-t1） 3 像 (t)这样，有限

3、长且均值为 0的函数称为小波函数。 常用的小波函数如下图： 4 小波函数必须满足以下两个条件的函数： (1) 小波必须是振荡的； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零 ， 即是局 部化的 。 如： 图 1 小波例 1 图 2 小波例 2 5 不是小波的例子 图 4 图 3 6 平均与细节 设一维信号 x1， x2 平均 细节 则一维信号可以表示成 a， d,且原信号可以恢复如下： 当 x1与 x2非常接近时，一维信号 x1， x2可近似的用 a表 示，可实现信号压缩。 a可以看成信号的整体信息 d可看成原信号用 a表示时丢失的细节信息 )/2x(x a 2 1 )/2x- (x d

4、 21 dax1 d-ax2 7 平均与细节 对多元素信号 x1， x2， x3， x4 2/)( 210,1 xxa 2/)( 431,1 xxa 2/)( 210,1 xxd 2/)( 431,1 xxd 信号可以表示为： a1,0,a1,1,d1,0,d1,1 丢失细节信号压缩为： a1,0,a1,1 2/)( 1,10,10,0 aaa 2/)( 1,10,10,0 aad 信号可进一步表示为： a0,0, d0,0 丢失细节信号压缩为： a0,0 4/)( 43210,0 xxxxa 8 平均与细节 x1， x2， x3， x4最高分辨率信息 a1,0,a1,1次高分辨率低频信息 d

5、1,0,d1,1次高分辨率细节信息 a0,0最低分辨率低频信息 d0,0最低分辨率细节信息 x1， x2， x3， x4的小波变换 a0,0,d0,0,d1,0,d1,1由整体 平均和两个不同分辨率的细节信息构成 9 金字塔算法 一维信号 3,1,-2,4的小波变换为 1.5,0.5,1,-3 1.5：最低分辨率低频信息 0.5：最低分辨率细节信息 2,1：次高分辨率低频信息 1,-3：次高分辨率细节信息 3,1,-2,4：最高分辨率信息 10 尺度函数与小波函数 信号序列 x1， x2， x3， x4看成单位区间上的一个函数 )()()()()( )1,4/34)4/3,2/13)2/1,4

6、/12)4/1,01 tXxtXxtXxtXxtf )4/1()( )4/1,0)2/1,4/1 tXtX )2/1()( )4/1,0)4/3,2/1 tXtX )4/3()( )4/1,0)1,4/3 tXtX )2()( 2)1,0)4/1,0 tXtX 平移 伸缩 11 引入记号： )()( )1,0 tXt 定义 ： )2()(, ktt jkj 12,1,0 jk 可得： )(0,0 t 12 0 1)2( 0,1 t 2/10 t 其它 0 1)12( 1,1 t 其它 12/1 t )()()()()( 3,242,231,220,21 txtxtxtxtf 函数可以由一个尺度

7、函数的伸缩与平移的线性组合表示 13 2/10 t 同理，对小波变换 0 1 1 )()()( )1,2/1)2/1,0 tXtXt 其它 2/1 t 伸缩和平移 14 序列的多分辨率表示： )()()()()( 1,11,10,10,10,00,00,00,0 tdtdtdtatf 15 4 4图像的二维 Harr小波变换 3695 2176 8354 4321 行小波变换 5.125.47 5.05.05.15.6 5.05.05.55.4 5.05.05.35.1 115.05.1 5.1025.15.0 5.1135.4 25.05.175.63 列小波变换 左上角二维小波变换 115

8、.05.1 5.1025.15.0 5.1175.075.3 25.05.185.185.4 16 1.1 一维小波变换（一维多尺度分析） 设有 L2(R )空间的子空间序列： 210 VVV Vj 的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数 (x)经伸缩 平移得到的 kxx jjk 2 设 Wj 是 Vj 相对于 Vj+1的正交补空间， Wj 的正交基函数是由一个称为小波函数的函数 (x)经伸 缩平移得到的 kxx jjk 2 )12()2()( ttt 17 xx jkjk , 构成 Vj+1的正交基。 xx 和 满足下列关系式 (二尺度方程 )： nlnh nhnl nxnhx nxnlx

9、n Zn Zn 11 22 22 且 称为高通滤波器。称为低通滤波器，其中 18 信号的多尺度分解： 算法一维 计算：称为小波系数，它们的称为尺度系数， M A L L A T knhdd knlcc dc xdxcnxcxf Zn j k j k Zn j k j k j k j k J j k J k j k k J k J k Zn n 2 2 1 1 1 0 19 20 求得小波系数的算式就是小波正变换。 ,( , ) ( ) ( )f a bW a b f x xdx 该式也可以理解为 f(x)和 a,b(x)内积 ，小波系数表示二者 的相似程度，或 f(x)中含有 a,b(x)成分

10、的多少 。 21 小波系数有 a和 b两个自变量，分别代表不同的尺度（时间） 和频率，所以小波分析属于时频分析。 22 Haar小波 （ 1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8 ） （ 1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8） （ 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4, 0, 0, 0, 0） （ 0, 0 , 0, 0, 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4） （ 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0, 0, 0） （ 0, 0 , 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0） （ 0,

11、 0 , 0, 0, 1/2, -1/2 , 0 , 0） （ 0, 0 , 0, 0, 0, 0, 1/2, -1/2） 连续 Haar小波 对应的离散 Haar小波 23 离散小波变换 离散小波变换就是做向量的内积。 例：对（ 64， 2， 3， 61， 60， 6， 7， 57）做 Haar小波变换 1/ 8, 1 / 8 , 1 / 8, 1 / 8, 1 / 8, 1 / 8, 1 / 8, 1/ 8 1/ 8, 1 / 8 , 1 / 8, 1 / 8, - 1/ 8, - 1/ 8, - 1/ 8, - 1/ 8 1/ 4, 1 / 4 ,- 1/ 4, - 1/ 4, 0, 0

12、, 0, 0 0, 0 , 0, 0, 1/4, 1/ 4 ,- 1/ 4, - 1/ 4 1/ 2, - 1/ 2 , 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0 , 1/2, - 1/2 , 0, 0, 0, 0 0, 0 , 0, 0, 1/2, - 1/2 , 0 , 0 0, 0 , 0, 0, 0, 0, 1/ 2, - 1/ 2 64 32 .5 20 3 0 .5 61 0 .5 60 31 6 29 7 27 57 25 24 Haar小波变换第二种做法： 64, 2, 3, 61, 60, 6, 7, 5764+2 3+61 60+6 7+57 64-2 3-61 60-6

13、 7-5733( ),32( ), 33( ),32( ),31( ),-29( ),27( ),-25( ) 2 2 2 2 2 2 2 264+2+3+61 60+6+7+57 64+2-3-61 60+6-7-5732.5( ),32.5( ), 0.5( ),0.5( ),31,-29,27,-25 4 4 4 464+2+3+61+60+6+7+57 64+2+3+61-60-6-7-5732.5( ),0( ), 0.5,0.5,31,-29,27,-25 88 32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25 25 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 - 1

14、 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1 0 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 0 1 - 1 0 1 0 3 2 . 5 0 0 . 5 0 . 5 0 1 0 3 1 1 - 1 0 1 0 0 - 1 0 2 9 1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 2 7 1 - 1 0 - 1 0 0 0 - 1 2 5 64 2 3 61 60 6 7 57 Haar小波反变换： 26 3 2 .5 ,0 , 0 .5 ,0 .5 ,3 1 ,- 2 9 ,2 7 ,- 2 5 3 2 .5 ( 3 2 .5 + 0 ) ,3 2 .5 ( 3 2 .5 - 0 ) , 0 .5 ,0 .

15、5 ,3 1 ,-2 9 ,2 7 ,- 2 5 3 3 ( 3 5 .2 + 0 .5 ) ,3 2 ( 3 2 .5 - 0 .5 ) , 3 3 ( 3 2 .5 + 0 .5 ) ,3 2 ( 3 2 .5 - 0 .5 ) ,3 1 ,- 2 9 ,2 7 ,- 2 5 6 4 ( 3 3 + 3 1 ) , 2 ( 3 3 - 3 1 ) , 3 ( 3 2 - 2 9 ) , 6 1 ( 3 2 + 2 9 ) , 6 0 ( 3 3 + 2 7 ) , 6 ( 3 3 - 2 7 ) , 7 ( 3 2 - 2 5 ) , 5 7 ( 3 2 + 2 5 ) Haar小波反变换

16、第二种做法： 27 1.2 二维小波变换（二维多尺度分析） 二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即： yxyx yxyx yxyx yxyx HH HL LH LL , ;, ;, ;, 图像的二维小波变换包括沿行向 (水平方向 )和列向 (垂直 方向 )滤波和 2-下采样，如图所示： 28 图 5 图像滤波采样 29 说明：如图所示 ， 首先对原图像 I(x,y)沿行向 (水平 方向 )进行滤波和 2-1下采样 ， 得到系数矩阵 IL(x,y) 和 IH(x,y)， 然后再对 IL(x,y)和 IH(x,y)分别沿列向

17、(垂 直方向 )滤波和 2-1下采样 ， 最后得到一层小波分 解的 4个子图 ： ILL (x,y) I(x,y)的 （ 粗 ） 逼近子图 IHL(x,y) I(x,y)的水平方向细节子图 ILH (x,y) I(x,y)的垂直方向细节子图 IHH (x,y) I(x,y)的对角线方向细节子图 30 二维金字塔分解算法 令 I(x,y)表示大小为 MN的原始图像 ， l(i)表示相对于分析小 波的低通滤波器系数 ， i=0,1,2, ,Nl-1， Nl表示滤波器 L的支 撑长度； h(i)表示相对于分析小波的高通滤波器系数 ， i=0,1,2, ,Nh-1， Nh表示滤波器 H的支撑长度 ，

18、则 1,1,0;1 2 ,1,0 ,m o d2 1 , ,m o d2 1 , 1 0 1 0 Ny M x yMjxIjh N yxI yMixIil N yxI h l N jh H N il L 31 1 2 ,1,0;1 2 ,1,0 m o d2, 1 , m o d2, 1 , m o d2, 1 , m o d2, 1 , 1 0 1 0 1 0 1 0 N y M x NjxxIjh N yxI NixxIil N yxI NjxxIjh N yxI NixxIil N yxI h l h l N j H h HH N i H l HL N j L h LH N i L l

19、LL 32 对逼近子图重复此过程 ， 直到确定的分解水平 ， 下 图是二层小波分解的示意图 。 图 6 图像多尺度分解， (a)一层分解， (b)二层分解 33 图像的小波特征提取首先对输入图像做 J层二维 小波分解； 因为小波变换具有很好的时频局部化特性 ， 所 以可以将图像的不同底层特征变换为不同的小波系 数； 输入图像经过经一层小波分解后 ， 被分成 4个子 图： LL1 逼近子图 ， 它代表输入图像水平和垂直 两个方向的低频成分； HL1 细节子图 ， 它代表输入图像水平方向的 高频成分和垂直方向的低频成分； 34 LH1 细节子图 ， 它代表输入图像水平方向的 低频成分和垂直方向的高

20、频成分； HH1 细节子图 ， 它代表输入图像水平和垂直 方向高频成分 。 在逼近子图 LL1上重复二维小波分解过程 ， 进行 二层小波分解 ， 如此继续分解 ， 得到子图序列 LLJ， HLk， LHk， HHk(k=1,2, ,J)。 小波基与分解层次的选取是非常重要的 ， 目前 还没有一个统一的标准 。 35 I(x,y) 128128 I1(x,y) 6464 I1H(x,y) 6464 I1V(x,y) 6464 I1D(x,y) 6464 I2(x,y) 3232 I2H(x,y) 3232 I2V(x,y) 3232 I2D(x,y) 3232 I3(x,y) 1616 I3H(

21、x,y) 1616 I3V(x,y) 1616 I3D(x,y) 1616 I4(x,y) 88 I4H(x,y) 88 I4V(x,y) 88 I4D(x,y) 88 图 7 图像 I(x,y)的多尺度分解 36 小波基的选取 一般考虑下列因素： 线性相位 ： 如果小波具有线性相位或至少具有广义线性 相位 ， 则可以避免小波分解和重构时的图像失真 ， 尤其是 图像在边缘处的失真； 紧支性和衰减性 ： 紧支性和衰减性是小波的重要性质 ， 紧支宽度越窄或衰减越快 ， 小波的局部化特性越好 。 计算 复杂度越低 ， 便于快速实现； 正交性 ： 用正交小波基对图像做多尺度分解 ， 可得一正 交的镜像滤波器 。 低通子带数据和高通子 带数据分别落在 相互正交的 L2(R2)的子空间中 ， 使个子带数据相关性减少； 其他 37 38 此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！ 39