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1、曲线积分期末复习一、对弧长的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 三、格林公式四、曲线积分与路径无关的条件一、对弧长的曲线积分的计算一、对弧长的曲线积分的计算ttytx )()(Xxxxy0 )()(rr 1.基本方法第一类曲线积分(对弧长)(1)若曲线由转化定积分参数方程：（3）若曲线由极坐标方程：(2)若曲线由直角坐标方程：注意1：第一类曲线积分的上下限:下小上大机动 目录 上页 下页 返回 结束 drrrrfdsyxfL)()()(,cos)(),(22dxxxxfdsyxfXxL)(1)(,),(20dtttttfdsyxfL)()()()
2、,(),(222、练习题、练习题 1、计算,dln22syxL其中L为下半圆周24xy解（法解（法1）：）：利用极坐标,)0(2:rLdd22rrs原式=2ln22ln222ln00d2ln22ln222d2Lds2ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 Lds2ln,422 yx2lnln)(22yxyxf，Lds2ln注意2：曲线积分的积分区域是关于x,y的等式，因而被积函数中的x,y满足积分曲线L的方程所以可直接代入化简积分因子。法法2：曲线方程为原式 Lds2ln2ln22ln2222、计算.22xayx,d22syxL)22(cos:arLdd22rrs其中L为圆周解解:利用极
3、坐标,da原式=sxaLd22dcos22aa22a2coscoscoscos)(aarx3.计算 13422yxadsyxL)43(22且周长为解：由于积分曲线方程为其中L为椭圆13422yxdsyxL)43(22dsyxL)34(1222Lds112a122222azyx0zyxdszyxL)(2224.设空间曲线L为曲线积分（）提示：由于交线中有dszyxL)(2222222azyx所以2222),(azyxzyxf从而dsaL232 a32 a)0(222xRyxdsyxL)43(22dtttRDdtttRCdtttRBdtttRA)sin4cos3(.;)sin4cos3(.;)si
4、n4cos3(.;)sin4cos3(.2223230223022302235.设L为左半圆周将曲线积分化为定积分的正确的结果是（）提示：直接套公式tRytRxsin ;cos所以dtyxdstt22)()(dttRtR2222cossinRdtdyttRdsyxL23222322)sin4cos3()43(左半圆D二二、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算LdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)()(),()()(),()()(tytx1.基本方法第二类曲线积分(对坐标)转化定积分（1）曲线用参数方程表示（2）曲线用直角坐标方程表示 确定积分上下限：“下始上终”机动
5、 目录 上页 下页 返回 结束)(xyLyyxQxyxPd),(d),(xxxxQxxPbad)()(,)(,1.计算by dyyxQ),(LdyyxQ),(其中L为xoy平面 y=b上一段解解:由于积分曲线为by 由公式化为定积分所以 0 ,),(dbbxQLdyyxQ),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 将代入 中，得02、练习,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd22.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为则ta202sinttad)sin(tdtad
6、ttacos)cos1(sin023033033cos31costta334a,:,0aaxy(2)取 L 的方程为则xyLd2aaxd00ttad)cos1(3.计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线,)sin(ttax)cos1(tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1(tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、格林公式yPxQ2)22(42xxDd2注意：（1）L为正向曲线LdyyxQdxyxP),(),(（2）具有一阶连续偏导数.2
7、、练习、练习dyPxQD)(的正向，则曲线积分),(),(yxQyxP（）dyxxdxyxy)4()22(2361892、；、；、；、DCBA922 yx（1）设L取圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、C提示：由于原式=18(2).计算dymyedxmyyeIxLx)cos()sin(其中L 是从点)0,0()0,(OaA的上半圆周)0(22aaxyx解：OALxxdymyedxmyye)cos()sin(dymyedxmyyexOAx)cos()sin(0Dmdxdy283a机动 目录 上页 下页 返回 结束 dymyedxmyyeIxLx)cos()sin(3.格林公式应用求面积格
8、林公式应用求面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积LxyyxAdd2120,sincos:byaxLLxyyxAdd21例如例如,椭圆所围面积2022d)sincos(21abababLLLLydxDydxCxdyBydxxdyA.;.;.;21.Lydxxdy21dyPxQD)(21（2）闭区域D是由简单闭曲线L（正向）所围下系列积分不等于D的面积的积分是()提示：Dd221dxQxdyDL)0(dyPxQydxDL)(DdLydxdyPxQD)(DdC.0ddLyQxP),(),(yxQyxP),(),(00ddyxyxLQdyPdxyQxP四、曲线积
9、分与路径无关的条件设D 是单连通域,函数在D 内具有一阶连续偏导数 则有xQyPyQxPyxudd),(d1.计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 令,22xyQyxP则xQ这说明积分与路径无关,故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习解法解法2,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思考思考:(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d)(2222yLy
10、xyxyxId)(d)(2213332a(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:BALyxyxyxId)(d)(22则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d)(2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0:t332aICoyxABLD机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin)cos1(:taytaxLDyaLxo计算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上半圆周,0,)(222yayax提示提示:LxxyyexyeId)2cos(dsinLxyd2Lxyd2BAyxDdd0ax20d0022dsin2tta0:t2a沿逆时针方向.ABABL(3).机动 目录 上页 下页 返回 结束
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