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1、最佳平方逼近多项式n本节内容本节内容1.内积空间2.两类特殊的函数族3.函数的最佳平方逼近4.举例5.MATLAB程序实现5.2 5.2 最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式1.1.内积空间内积空间权函数：权函数：考虑到 在区间a,b上各点的函数值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区间a,b上的非负函数 满足条件：()f x()x1）存在；|()(0,1,)bnaxx n 2）对非负的连续函数 ，若则在a,b上，即 不恒为0。()g x()()0,bag xx dx()0g x()x 就称 为a,b上的权函数。它的物理意义可以解释为密度函数。()x1.1.内积空间内积空间内积：内积：设 是a
2、,b上的权函数，则称积分 为函数 与 在a,b上的内积,有下列性质：(),(),()f x g xC a bx(,)()()()baf gx f x g x dx()f x()g x1）2）为常数;3）4）当且仅当 时，(,)(,);f gg f(,)(,),Cf gC f gC1212(,)(,)(,);ffgf gfg(,)0,f f 0f(,)0f f 。1.1.内积空间内积空间内积空间：内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积空间。如在连续函数空间 上定义了内积就形成了一个内积空间。,C a b向量的模：向量的模：在n维欧氏空间 中，内积就是两向量的数量积，即nR1(,)nTkkkx
3、yx yx y向量的模（范数)的定义为：12221(,)()nkkfx xf1.1.内积空间内积空间欧式范数：欧式范数：若 ,则量(),f xC a b22(,)()baffffx dx称为 的欧式范数。()f x 对任何 ,有以下结论：（1），又称柯西-施瓦茨不等式；（2），又称三角不等式；（3），又称平行四边形定律。,f gC a b22(,)f gfg222fgfg222222222()fgfgfg2 2.两类特殊的函数族两类特殊的函数族正交：正交：若 为a,b上的权函数且满足则称 与 在a,b上带权正交。(),(),()f xg xC a bx(,)()()()0baf gx f x
4、g x dx()f x()g x正交函数族：正交函数族：若函数族满足关系 ),(,),(),(10 xxxn0,(,)()()()0,bjkjkakjkxxx dxAjk 则称 是a,b上带权 的正交函数族；若 ，则称为标准正交函数族。()x()x1kA 2 2.两类特殊的函数族两类特殊的函数族 可以证明，三角函数族满足上述条件，是在 上的正交函数族。1,cos,sin,cos2,sin2,xxxx,线性无关：线性无关：若函数 在区间a,b上连续，如果 )(,),(),(110 xxxn 0)()()()(11221100 xaxaxaxann当且仅当 时成立，则称0110naaa 在a,b上
5、是线性无关的。)(,),(),(110 xxxn 2 2.两类特殊的函数族两类特殊的函数族线性无关函数族：线性无关函数族：若函数族中的任何有限个 线性无关，则称 为线性无关函数族。()(0,1,2,)kxkkk充要条件：充要条件：在a,b上线性无关的充要条件是它的Gramer行列式 ，其中011(),(),()nxxx10nG0001011011111011101111(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnGG 3 3.函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近最佳平方逼近函数：最佳平方逼近函数：对于 及 中的一个子集 若存在 使下式成立:(),f xC a b
6、,C a b01Span,n)(xs22222inf()inf()()()bassfsfs xx f xs xdx则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数，其中 是一组线性无关函数族，函数()sx()f x,C a bk0 01 1()()()()n ns xaxaxax。3 3.函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近对函数对函数s s*(x)(x)的求解：的求解：等价于求以下多元函数 banjjjndxxfxaxaaaI2010)()()(),(的最小值。令 则0(0,1,),kIkna02()()()()0(0,1,)nbjjkajkIxaxf xx dxkna引入内积定义，可得0(,)(,)
7、0(0,1,)njkjkjafkn 即0(,)(,)(0,1,)nkjjkjafkn 3 3.函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近0(,)(,)(0,1,)nkjjkjafkn 上式是关于 的线性方程组，称为法方程。用矩阵形式可表示为01,na aa0001010010111111101111(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafaf 简记为 。其中Ha d01(,),Tnaa aa01(,),(,)(0,1,2,)Tnkkdd dddfkn3 3.函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近 由于 线性无关，故其系数矩阵H的行列式非奇异，即
8、，该法方程有唯一解为 则最佳平方逼近函数为n,10 0),(10 nG*(0,1,2,)kkaakn)()()()(*1*10*0*xaxaxaxsnn 令 ，则平方误差)()(*xsxf22*220(,)(,)(,)(,)nkkkfs fsf fs ffaf3 3.函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近 特别地，取 ，求其最佳平方逼近多项式 。此时，1,0)(,1)(,)(Cxfxxxkk1,nnHSpanxxnnxaxaaxs*1*0*)(101(,)1k jjkxdxkj 10(,)()kkkdff x x dx3 3.函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近00010101110111121
9、(,)(,)(,)111(,)(,)(,)232(,)(,)(,)1111221nnnnnnnHnnnn 又称为希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵。则方程 的唯一解即为所求多项式s*(x)的系数。Had*(0,1,2,)kkaakn4 4.举例举例1.求 在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式。3()1f xx解：取 01(,),(,)(0,1,2,)Tnkkdd dddfkn 1,0)(,1)(,)(Cxfxxxkk由得5883.01),(1114.11)1,(10311030dxxxxfddxxfd则由 H ad00011011(,)(,)(,)(,)H 101(,)1k jjkxdxkj 4 4.
10、举例举例得5883.01114.13/12/12/1110aa3912.09158.010aa解得：故所求一次最佳平方逼近多项式为：xxs3912.09158.0)(*110.9261 0.4142px所求最佳一次逼近多项式为：4 4.举例举例3()1f xx10.92610.4142pxxxs3912.09158.0)(*14 4.举例举例5883.01),(1114.11)1,(10311030dxxxxfddxxfdMatlab 求定积分（int函数）d 0=(2*2(1/2)/5-(6*ellipticF(asin(1/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2),-(3/2+(3(
11、1/2)*i)/2)/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)*(-1/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)/5+(6*(3/2+(3(1/2)*i)/2)*(2/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)*(-1/2+(3(1/2)*i)/2)/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)*(1/2+(3(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)*ellipticF(asin(2/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2),-(3/2+(3(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)*(-1/(2*(-1/2+(3(1/2)
12、*i)/2)*(1/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)/54 4.举例举例5883.01),(1114.11)1,(10311030dxxxxfddxxfd4 4.举例举例4 4.举例举例二次4 4.举例举例三次4 4.举例举例四次4 4.举例举例4 4.举例举例)()(*xsxf4 4.举例举例22*220(,)(,)(,)(,)nkkkfs fsf fs ffaf*(0,1,2,)kkaakn4 4.举例举例5.MATLAB5.MATLAB编程实现编程实现function A=ZJPFBJ(f,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(f);f=f/varfor i=1:n+1 C(1,i)=(power(b,i)-power(a,i)/i;f=f*var;d(i,1)=int(sym(f),var,a,b);endfor i=2:n+1 C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+i);f2=power(a,n+i);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endA=Cd;A=real(double(A);end5.MATLAB5.MATLAB编程实现编程实现程序结果输出计算结果输出5.MATLAB5.MATLAB编程实现编程实现程序结果输出计算结果输出 程序正确 简化计算谢谢
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