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1、问题 研究在能量最小原 则下，血管分支处 粗细血管半径比例 和分叉角度 机体提供能量维持血液在血管中的流动， 能量的去处： 给血管壁供给营养 克服血液流动的阻力 消耗能量取决于血管的几何形状 在长期进化中动物血管的几何形状已经 达到能量最小原则 分析 1. 几何假设 一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面。 （在同一平面内消耗的能量是最小的，在三维的或者是扭曲的 平面上消耗的能量可能会比较大。） 2. 物理假设 血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动， 血管壁是没有弹性的。决定阻力的大小 3. 生理假设 血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加， 管壁厚度 d近似与血管
2、半径 r成正比。 越粗的血管内表面积越大，管壁越粗吸收的能量就越多。 决定吸收能量的大小 模型假设 q q1 q1 A B B C H L l l1 r r1 考虑血管分支 AC、 CB与 CB q=2q1 黏性流体在刚性管道中运动 Hagen Poiseuille equation 【 给一个超链接跳到介绍 Poiseuille这个人那一 页 】 8k 令 体积流率 【单位时 间通过特 定表面积 的流体体 积】 4 8 rpq l 血管两端压 力差（ AC） 黏性系数 【取决于 管壁和相 应流体的 黏度】 血管的半径 血管的长度 -（ 1） 模型建立 泊肃叶（ Jean-Louis-Mari
3、e Poi-seuille， 1799 1869） 法国生理学家。他在巴黎综合工科学校毕业后，又攻读医学，长期研究血液在血管内的流 动。在求学时代即已发明血压计用以测量狗主动脉的血压。 他发表过 一系列关于血液在动脉和静脉内流动的论文 （最早一篇发表于 1819年）。其中 1840 1841年发表的论文小管径内液体流动的实验研究对流体力学的发展起了重要作用。他 在文中指出， 流量与单位长度上的压力降并与管径的四次方成正比。 这定律后称为泊肃叶定律。 由于德国工程师 G.H.L.哈根在 1839年曾得到同样的结果， W.奥斯特瓦尔德在 1925年建议称该定律 为 哈根泊肃叶定律 。 【此处跳转到
4、介绍定理的那一页】 泊肃叶和哈根的经验定律是 G.G.斯托克斯于 1845年建立的关于粘性流体运动基本理论的重 要实验证明。现在流体力学中常把粘性流体在圆管道中的流动称为泊肃叶流动。 医学上把小血管 管壁近处流速较慢的流层称为泊肃叶层。 1913年，英国 R.M.迪利和 P.H.帕尔建议将动力粘度的 单位依泊肃叶的名字命名为泊 (poise),1泊 1达因 秒 /厘米 2。 1969年国际计量委员会建议的国 际单位制 (SI)中 ,动力粘度单位改用帕斯卡 秒 ,1帕斯卡 秒 =10泊。 泊肃叶定律（ Poiseuilles law） 也称为帕醉定律、哈根 -泊肃叶定律（ Hagen-Poise
5、uilles law）、哈根 -帕醉方程 （ Hagen-Poiseuilles equation），是描述流体流经细管（如血管和导尿管等）所产生的压力损 失，压力损失和体积流率、动黏度和管长的乘积成正比，和管径的四次方成反比例。 此定律适用于不可压缩、不具有加速度、层流稳定且长于管径的牛顿流体。泊肃叶定律是 让 泊肃叶于 1838年和戈特希尔夫 哈根于 1838和 1839年分别实验独立发现的，并于 1840年和 1846年发表。【通过实验发现的经验公式】 泊肃叶定律的应用前提有三： 假设液体是不可压缩流体； 假设液体是牛顿流体，即它的粘滞系数不随流速而改变； 假设液体的流动是层流，而不是湍
6、流，即管的直径不能太大。 克服阻力消耗能量： 【为了维持血管两端的压力差】 由公式（ 1）可以推得： 8 48 lq p lr 带入公式，化简 2 1 4 8 qlE q p r 单位面积 的压力 体积流率 -（ 2） 模型建立 提供营养消耗能量： 管壁内表面积： 2rl 21,2 lbrE 管壁体积： 2 2 2 ( r d ) ( 2 )V r l d r d l 管壁厚度 d与 r成正比 q q1 q1 A B B C H L l l1 r r1 1/ , / s i nl L H t g l H 模型建立 机体为血液提供的总能量 =克服阻力消耗的能量 +提供营养消耗能量 将公式（ 1）
7、、（ 2）相加： 2 4 2 41 2 1 1 1 1( / ) ( / ) 2E E E k q r b r l k q r b r l 24 1 24 1 1 1 ( , , ) ( / ) ( / t a n ) ( / ) 2 / s i n E r r k q r b r L H k q r b r H 对应较粗 的血管 对应较细 的血管 模型建立 24 1 24 1 1 1 ( , , ) ( / ) ( / t a n ) ( / ) 2 / s i n E r r k q r b r L H k q r b r H 0 0 1 r E r E 0/4 0/4 5 1 2 1 1
8、 1 521 rkqrb rkqrb 1 4 1 4r r 模型求解 0E 4 1 co s 2 r r 4 4c o s 2 由于 12 0011 .2 6 / 1 .3 2 , 3 7 4 9rr 另验证 2 2 0 E 2 2 0 E r 2 2 1 0E r 模型求解 模型改进 1. 几何假设 一条粗血管和两条细血管在分支 点对称地处于同一平面。 2. 物理假设 血液流动近似于粘性流体在 刚性管道中的运动。 3. 生理假设 血液给血管壁的能量随管壁 的内表面积和体积的增加而增加， 管壁厚度 d近似与血管半径 r成正 比。 一条粗血管和两条细血管在分 支点不对称分布。 那么假设单位时间在
9、粗细血管 中的血液流量分别为 q,q1,q2,则： 12q q q 模型求解 克服阻力消耗能量： 222 12 1 1 24 4 4 12 () qqqE k l l lr r r 提供营养消耗能量： 2 1 1 2 2( ) , 1 2E b r l r l r l 1 2 1 2 , t a n t a n ( t a n t a n ) c osk k HHl L l 模型求解 求 1 2 1 2( , , , , )E r r r 的最小值 1 2 0 0 0 E r E r E r 1 2 5 1 2 5 1 1 1 1 2 5 2 2 2 4 / 0 4 / 0 4 / 0 b r
10、 k q r b r k q r b r k q r 44 22 12 ( ) ( ) 1rr rr 12q q q 模型求解 1 2 0 0 E E 22 12 1 1 22 21 2 2 22 12 12 12 (r / r) (r / r) 1 c o s 2 (r / r) (r / r) (r / r) 1 c o s 2 (r / r) 1 (r / r) (r / r) c o s ( ) 2 (r / r) (r / r) 另验证 2 2 0 E 2 2 0 E r 2 2 1 0E r 模型验证 若记动物大动脉的半径为 Rmax，最细的毛细血管的半径为 Rmin，设 从大动脉
11、到最细的毛细血管有 n次分叉，那么得到： m ax 4 m i n 4 nR R 对狗进行测量得到： 5m a x m i n 1 0 0 0 4RR 54n 12 2 5 3 0n 所以狗的血管总数大约有 225230 模型验证 血管分支数学模型 的解剖学考证及分析 .p d f 11 . 2 6 / 1 . 3 2rr 模型验证 0 0 0 03 7 4 9 , 7 4 2 9 8 模型验证 问题存在的原因： 实际上人体血管分支很少对称，腹主动脉末端向左右骼总动脉分 支所形成的的两个角度存在显著性差异； 分支的三条血管很少在同一平面，而是一个立体几何的三维结构 关系 血管的三维立体结构、不
12、对称性 模型拓展 同样的研究方法也用于研究人体其他的结构上，比如胆管【因为 都可以简化为黏性流体在刚性管道中的运动】 人体胆管优化问题 初探 . p d f 模型发展 1926年， C.D.Murray根据达尔文进化论的观点，提出了血液在血管中传输耗能最小 的原则，进而提出了血管网络的最优化模型，即：在流体体积固定的前提下，当流 体阻力最小时，心血管直径存在最优比例关系，公式表达为： 3 3 30 1 2d d d 式中： d0,d1,d2分别表示母管及两个子管直径，特殊情况下 d1=d2，可以得到： 1 / 301/2dd 上述结论是基于管内流体为层流流态的假设得到的， ReRec=2000，在对称的分叉网路中，母管和子管的直径最优比为： 3 / 701/2dd 它们的夹角最优值为 1.307rad，约为 74.919度，结论和生理学家 Uyling于 1977年研 究肺部支气管网络和动脉血管网络的结论一致。 模型扩展 应力表示作用于表面上的力除以表面面积，可以分解为与表面相切的分量即剪应力，垂直于表 面的分量即正应力 模型扩展
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