高等数学微积分方程课件

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1、高等数学微积分方程高等数学微积分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的,()()g y dyf x dx设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个只是数之积，其中一个只是x 的函数，另一个

2、只是的函数，另一个只是y 的函数的函数高等数学微积分方程高等数学微积分方程例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为为所所求求通通解解xCey 二、典型例题二、典型例题高等数学微积分方程例例2 2 求0 xyy的通解 解解 方程变形为方程变形为 xyxydd,分离变量得分离变量得 xxyydd 0y,两两边边积积分分得得 xxyydd,求求积积分分得得 1221|lnCxy,所所以以 21122121eee|xCCxy,即即 22111122e ee(e)xxCCyCC ,方方

3、程程通通解解为为221exCy（C为为任任意意常常数数）.高等数学微积分方程例例 3 3 设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落，所所受受空空气气阻阻力力与与速速度度成成正正比比，降降落落伞伞离离开开塔塔顶顶)0(t时时的的速速度度为为零零求求降降落落伞伞下下落落速速度度与与时时间间 t的的函函数数关关系系.解解 设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为)(tv时伞所受空气阻力为时伞所受空气阻力为 kv（负号表示阻力与运动方向相反，（负号表示阻力与运动方向相反，k为常数）另外，为常数）另外，伞在下降过程中还受重力伞在下降过程中还受重力mgP 作用，故由牛顿第二定律作用，故由牛顿第二定律得得kvm

4、gtvmdd且有初始条件：且有初始条件：0|0tv于是，所给问题归于是，所给问题归结为求解初值问题结为求解初值问题 0d,d|0,tvmmgkvtv高等数学微积分方程kv R mg P 对对上上述述方方程程分分离离变变量量得得 mtkvmgvdd,可可得得 1|ln1Cmtkvmgk ，整整理理得得 1e1ekCtmkkCCkmgv .高等数学微积分方程由由初初始始条条件件得得00emgCk，即即kmgC，故故所所求求特特解解为为 )e1(tmkkmgv .高等数学微积分方程1.1.微分方程通解中的任意常数微分方程通解中的任意常数 C最终可表示为最终可表示为2sin,e1CC(12,C C为任

5、意实数为任意实数)，3lnC3(C为实数，为实数，03C)等形式吗？等形式吗？2.2.微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），通解的图形是一族积分曲线，问通解中的积分曲线是否通解的图形是一族积分曲线，问通解中的积分曲线是否相互平行相互平行(注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的点处切线斜率点处切线斜率相同相同)思考思考:高等数学微积分方程课堂练习：求解初值问题课堂练习：求解初值问题1)0(1sinyyxy解：令1,uxy1dudydxdx，1sinduudx 21 sin1 sincosduudxduuu2s

6、ecsec tanuduuudutansecxuuC解得，tan1sec1xxyxyC(0)11.yC 代入，得高等数学微积分方程.0)()(2通通解解求求方方程程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则()()()0f u ydxg u duydx,0)()()(duugdxxuuguf,0)()()(duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解高等数学微积分方程()()0 x yxx yyee dxeedy(1)(1)0 xyyxe edxeedy11yxyxeedydxee 积分得：积分得：ln|1|ln|1|lnyxe

7、eC 求下列方程的通解求下列方程的通解解：解：高等数学微积分方程求下列方程的通解求下列方程的通解(lnln)xyyyxy()ln()d xyyxydx解：解：lnlnu xyduududxudxxuuxln|ln|lnlnuxC高等数学微积分方程例例 3 3 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间t变变化化的的规规律律.解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰衰变变系系数数 MdtdMdtMdM ,dtMdM00MMt 代入代入,lnlnCtM ,tCeM

8、 即即00CeM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律高等数学微积分方程例例 4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小水从它的底部小孔流出孔流出,小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图).开始开始时容器内盛满了水时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器求水从小孔流出过程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时随时间间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262.0ghSdtdVQ 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度高等数学

9、微积分方程cm100horhdhh)1(,262.0dtghdV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262.0dtgh 1 S,cm2高等数学微积分方程dhhh)200(2 ,262.0dtgh 即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量,)200(262.03dhhhgdt ,)523400(262.053Chhgt ,100|0 th,101514262.05 g

10、C).310107(265.45335hhgt 所求规律为所求规律为高等数学微积分方程解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1.02CO2CO2CO%03.0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻

11、时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03.02000 dt),(2000txdt 高等数学微积分方程2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03.0200012000 dtdx),(2000txdt ),03.0(61 xdtdx,03.061tCex ,1.0|0 tx,07.0 C,07.003.061tex ,056.007.003.0|16 ext6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056.02CO高等数学微积分方程分离变量法步骤分离变量法步骤:1、分离变量、

12、分离变量;2、两端积分、两端积分-隐式通解隐式通解.三、小结三、小结作业：作业：1(1、3、4)、4(2、3)高等数学微积分方程思考题思考题求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 高等数学微积分方程思考题解答思考题解答,02cos2cos yxyxdxdy,02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy,2cos2Cx 为所求解为所求解.高等数学微积分方程一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解:1 1、0tansectansec22 xdyyydxx；2 2、0)()(dyeedxeeyyxxyx；3 3、0)1(32

13、 xdxdyy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、xdxyydyxsincossincos,40 xy；2 2、0sin)1(cos ydyeydxx,40 xy.练练 习习 题题高等数学微积分方程三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动,这外力这外力和时间成正比和时间成正比,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比.在在10 t秒时秒时,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50,外力为外力为2/4秒秒厘米厘米克克,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?四、小船从

14、河边四、小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸(两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直,设河宽设河宽h为为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比(比例比例k系系数数为为).).求小船的航行路求小船的航行路线线.高等数学微积分方程练习题答案练习题答案一一、1 1、Cyx tantan；2 2、Ceeyx )1)(1(；3 3、Cxy 433)1(4.二二、1 1、xycoscos2；2 2、yexcos221 .三三、3.269 v厘厘米米/秒秒.四四、取取 0 0 为为原原点点,河河岸岸朝朝顺顺水水方方向向为为轴轴x,轴轴y指指向向对对 岸岸,则则所所求求航航线线为为)312(32yyhakx .