导数的计算(一).ppt

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1、一、复习 1.导数的几何意义 导数的物理物理意义 2.求函数的导数的方法是 : ( 1 ) ( ) ( ) ;y f x x f x 求 函 数 的 增 量 ( 2 ) : ( ) ( ) ; y f x x f x xx 求 函 数 的 增 量 与 自 变 量 的 增 量 的 比 值 0 ( 3 ) ( ) l im . x yy f x x 求 极 限 ， 得 导 函 数 说明 :上面的方 法中把 x换 x0 即为求函数在 点 x0处的 导数 . 几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则 二、几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式 . 1. 函

2、数 y=f(x)=c (c为常数 ) xxfy )(.2 2)(.3 xxfy 3)(.4 xxfy xxfy 1)(.5 xxfy )(.6 1.函数 y = f (x) =c 的导数 y=c y x O ，因 0 x cc x xfxxf x y .00limlim 00 xx x yy所以 y=0表示函数 y=x图象上每一点处的切线的斜率都为 0. 若 y=c表示路程关于时间的函数 ,则 y=0则为某物体的 瞬时速度始终为 0,即一直处于静止状态 . 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 2.函数 y= f (x)=x 的导数 ，因为 1 x xxx x xfxxf x y .11li

3、mlim 00 xx x yy所以 y=x y x O y=1表示函数 y=x图象上每 一点处的切线斜率都为 1. 若 y=x表示路程关于时间的函数 ,则 y=1可以解释为某 物体做瞬时速度为 1的匀速运动 . 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 探究 在同一平面直角坐标系中 ,画出函数 y=2x,y=3x,y=4x的图 象 ,并根据导数定义 ,求它们的导数 . (1)从图象上看 ,它们的导数分别表示什么 ? (2)这三个函数中 ,哪一个增加得最 快 ?哪一个增加得最慢 ? (3)函数 y=kx(k0)增 (减 )的快 慢与什么有关 ? 2 1 -1 -2 -2 -1 1 2 x y y=

4、x y=2x y=3x y=4x 函数 y= f (x)= kx 的导数 x xfxxf x y 因为 .limlim 00 kk x yy xx 所以 ，kx kxxkkx x kxxxk 3.函数 y = f (x) = x2 的导数 x xxx x xfxxf x y 22 因为 x xxxxx 222 2 xx 2 .22limlim 00 xxxxyy xx 所以 y=x2 y x O y =2x表示函数 y=x2图象上点 (x,y)处切线的斜 率为 2x,说明随着 x的变化 ,切线的斜率也在变化 . 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看 ,y=2x 表明 : 当 x0时 ,随着 x

5、的增加 ,y=x2增加得越来越快 . 若 y=x2表示路程关于时间的函数 ,则 y=2x可 以解释为某物体作变速运动 ,它在时刻 x的瞬时速 度为 2x. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 4.函数 y = f (x) = 的导数 x 1 x xxx x xfxxf x y 11 因为 ，xxxxxxx xxx 2 1 .11limlim 22 00 xxxxx yy xx 所以 探究 画出函数 的图象 .根据图象 ,描述它的变化情况 ,并 求出曲线在点 (1,1)处的切线方程 . x y 1 2 1 -1 -2 -2 -1 1 2 x y 5.函数 y = f (x) = 的导数 x

6、x xxx x xfxxf x y 因为 xxxx xxxxxx ，xxx 1 . 2 11limlim 00 xxxxx yy xx 所以 小结 1.若 f (x)=c（ c为常数） , 则 f (x)=0 ； 2.若 f (x)=x, 则 f (x)=1 ； 3.若 f (x)=x2 ,则 f (x)=2x ； ；则若 21,1.4 xxfxxf . 2 1,.5 x xfxxf 则若 )(1 是常数 xx 这个公式称为幂函数的导数公式 . 事实上 可以是任意实数 . )()( Qxxfy 1/ xy 推广 : 基本初等函数的导数公式 1. 2. ( ) 3. 4. 5. l n 6. 7

7、. 8. nR a n n - 1 x x x x a 若f(x)=c，则f (x)=0 若f ( x ) = x ，则f ( x ) = n x 若f(x)=sinx，则f (x)=cosx 若f(x)=cosx，则f (x)=-sinx 若f ( x ) = a ，则f ( x ) = a 若f ( x ) = e ，则f ( x ) = e 1 若f(x)=log x，则f (x)= xlna 1 若f(x)=lnx，则f (x)= x 练习： 1 求下列幂函数的导数 3 5 3 2 5 )4( )3( 1 )2( 1 xy xy x y xy ）（ ).2(,2)2( 3 fxy 求已

8、知 ).1(,)1( 2 f x x y 求已知 2: 导数的运算法则 : 法则 1:两个函数的和 (差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的 和 (差 ),即 : ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 法则 2:两个函数的积的导数 ,等于第一个函数的导数乘第二个 函数 ,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x 法则 3:两个函数的积的导数 ,等于第一个函数的导数乘第二个 函数 ,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方 .即 : 2 ( ) ( ) (

9、) ( ) ( ) ( ( ) 0 ) () () f x f x g x f x g x gx gx gx 例 . 求函数 y=x3-2x2+3的导数 . 推论 : )()( / xcfxcf 例 8.日常生活中的饮用 水通常是经过净化的 ,随 着水纯净度的提高 ,所需 净化费用不断增加 .已知 将 1吨水净化到纯净度 为 x%时所需费用 (元 ): , 求净化到下列纯净度时 , 所 需净化费用的瞬时变 化 率 :(1)90%,(2)98 %. )10080(1005284)( xxxc 1.已知曲线 C： f(x)=x3 求曲线 C上横坐标为 1的点处的切线方程 2.求过点（ 2,0）与曲

10、线 相切的切线 方程 xy 1 3.已知 P（ -1， 1）， Q（ 2， 4）是曲线 y=x2上的两点，求与直线 PQ平行的曲线 y=x2的切线方程。 看几个例子 : 2l o g 2. y x 例3 . 已知 x ，求曲线在点 处的切线方程 12 ( 2 ) 2 2 l n 2 yx c o s 5 . 6 yx x 例4 . 已知 ，求曲线在点 处的切线方程 3 1 5() 2 2 6 yx 4 1 ( 1 ) . ; ( 2) . . y x y x x 例5 ：求下列函数的导数 54yx 1 23 2 yx 练习 :求下列函数的导数 : 2 2 12 ( 1 ) ; ( 2) ; 1 ( 3 ) ta n ; y xx x y x yx 答案 : ;41)1( 32 xxy ;)1( 1)2( 22 2 x xy ;c o s1)3( 2 xy 四、小结 : 知识点 : 基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 能力要求： （ 1）熟记这些公式、法则； （ 2）会求简单函数的导数； （ 3）会求曲线在某点处的切线方程。 课后思考 : 如何求函数 的导数 ? )52s i n (2 xxy