第2章平差数学模型1

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1、2022-12-231 在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。2022-12-232如图三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两

2、个内角的大小就可以了 要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素中的6个不同的元素，至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两点都是已知点，为确定三角

3、形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。2022-12-233 我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为。必要观测元素的个数用t表示，称为 一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。假设对模型中的几何量总共观测n个，,显然无法确定模型的解；,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现。，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫。2022-12-234 现在模型中有r个多余观测量，因此，一定也

4、存在着r个这样的函数关系式。每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式，在测量平差中称为。0180321LLL0sinsin2211LSLS2022-12-235我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫。0180321LLLiiiVLL求改正数V消除矛盾产生矛盾多余观测平差V称为观测值的改正数“观测值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值2022-12-236本节详细介绍平差的和常见的平差及其建立方法。是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。下面简述各种经典平差方法的线性

5、函数模型及其建立方法。如果有n个观测值 ，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程:或 令：则：上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。：找出观测值真值之间应该满足的 r 个关系式。1nL0)(LF11010rrnnrALA LL)(0AALW0WA2022-12-237 如果有n个观测值 ，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程。现又增设了 个独立量作为未知参数，且,每增加一个参数应增加一个条件方程，因此，共需列出个条件方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为。一般而言，其一般形式为 如果条件方程是线性的，其形式为 将 代入上式，并令

6、 则得 上式为附有参数的条件平差的函数模型。找出观测值真值之间或观测值与参数真值之间应该满足的 C 个关系式。0),(1XLFc01011cuucnncAXBLA LL)(0AALW0111cuucnncWXBA1nL2022-12-238 选择几何模型中t个独立量为平差参数 ，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。（见例子）一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参 数，u=t，则 总 共 应 列 出c=r+u=n个函数关系式，其一般形式为 或

7、：将 代入上式，并令 则：上式就是间接平差的函数模型。1uX)(1XFLn111nttnndXBL LLdLl111nttnnlXB 将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n个这种函数关系式。2022-12-239 如果在某平差问题中，选取ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必定是t个独立参数的函数，即在u个参数之间存在着s个 函 数 关 系 式。方 程 的 总 数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的s个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。其函数模型的一般形式为：线性形

8、式的函数模型为 因：并令：则上式可写为：这就是附有条件的间接平差的函数模型。其中第二式称为限制条件方程。)(1XFLn0)(1XS111nuunndXBL011suusWXC LLdLl111nuunnlXB011suusWXC2022-12-2310 附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题，若增选了u个参数，不论ut，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加1个方程，故方程的总数为r+u个。如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式，则应列出s个形如（2-2-20）的限制条件方程，除此之外再列出 c=r+u-s一般条件方程，形成如下的函数模型：考虑到，则：这就是附有条件的条件平差的函数模型01011cuucnncAXBLA011suusWXC LL0111cuucnncWXBA011suusWXC