复变函数与积分变换-第五章-留数(下).ppt

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1、 5.3 留数在计算积分上的应用 22 14 2 z z zz eze d z d z iz 22 1Im ( ) 2 zz zzI e zd z e z z d zi 例 1 设 C 取正向圆周 2z. ， 计算积分 I m . z C I e z d z 解 : 0 1 2 0 4 | 4 2 z ziei 例 2 3 s i n . ( 1 ) C zzI d z zz 设 C 取正向圆周 2z. ， 计算积分 32 33 s i n ( 1 ) s i n s i n 2 R e , 0 R e , 1 ( 1 ) ( 1 ) z zz I d z zz z z z z i s s z

2、 z z z 解 : 3 s in2 0 + 1 zzi z z 2 1 s in 1 i 这虽然是一种沿实轴上区间 0 , 2 的定积分，我们 将通过适当的变换把它化为解析函数的 积分。 1、计算形如 的积分 2 0 ( c o s , s i n ) d 令 ize ，则 id z i e d i z d , 即 dzd, iz 2 2 1 1 1 1 c o s ( ) ( ) ; 2 2 2 1 1 1 1 s i n ( ) ( ) ; 2 2 2 ii ii z e e z zz z e e z i i z i z ize 将 02 映 射 为 1z 。故 222 01 1 1 1

3、( c o s , s i n ) ( , ) . 22 z zzd d z z i z i z 例 3 计算 积分 2 20 2 1 12 c o s I d ( p ) . p c o s p 解 ： 令 iz e , 则 2 2 2 2 1 1 1 c o s 2 , 22 iie e z z 故 2 2 1 2 11 () 12 11 1 2 ( ) 2 z z z I d z iz p z p z 4 2 1 1 . 2 ( 1 ) ( ) z z dz i z p z z p 被积函数有三个极点 10z , p , , p 其中 0z 是二阶 极 点， zp 和 1z p 是一阶

4、极点。 (1) 若 1p ，则被积函数在 1z 内部只有两个孤立奇 点 0z 和 zp ，由留数定理 44 22 11 2 R e , 0 R e , 2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( ) zz I i s s p i z p z z p i z p z z p 4 2 20 1 2 l i m 2 ( 1 ) ( ) z dz iz d z i z p z z p 4 2 1 l i m ( ) 2 ( 1 ) ( ) zp z zp i z p z z p 24 2 2 2 11 2 2 2 ( 1 ) pp i i p i p p 2 2 2 1 p . p (2) 若 1p

5、，则被积函数在 1z 内部只有两个孤立 奇点 0z 和 1 z p ，而 zp 这时已在单位圆外。 由留数定理 44 22 1 1 1 2 R e , 0 R e , 2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( ) zz I i s s i z p z z p i z p z z p p 24 2 2 2 11 2 2 2 ( 1 ) pp i i p i p p 22 2 . ( 1 ) pp 2、计算形如 的积分 ()f x dx 若 )( )( )( xQ xP xf m n ( 有理函数 ) ， 其中 )( xP n 是 n 次多项 式， )( xQ m 是 m 次多项式且 2 nm

6、，且 )( xf 在实轴 上 无奇点 定义： I m 0 ( ) ( )2 R e , . ( ) ( ) k nn k zmm P x P zd x i s z Q x Q z 由此得到 ： 平面上的奇点在）为（其中， 0Im)z(R.2,1kz k 例 4 因被积函数是偶函数 , 故 当 ab 时， 2 2 2 2 2 () ( )( ) z fz z a z b 在实轴上没有奇点 , 42m , n . f ( z ) 有四个一阶 极点 : z a i , z b i , 但在上 半平面只有两个 : z a i , z b i . 解 2 2 2 2 2 1 . 2 ( ) ( ) x

7、I d x x a x b 2 2 2 2 20 0 , 0 ) . ( ) ( ) x I d x a b x a x b 计 算 实 积 分 （ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 R e , R e , 2 ( ) ( ) ( ) ( ) zz I i s a i s b i z a z b z a z b 22 ( ) ( )2 2 2 2 | | ( ) ( ) ( ) ( ) z a i z b i zz i z a i z b z a z b i 2 2 2 22 ( ) 2 ( ) abi i a b i b a . 2 ( ) ab 2 2 2 2 1 2 R e

8、, 2 ( ) zI i s a i za 2 2 () z a i z i z a i 3 2 | () z a i z a ii z a i .4 a 当 ab 时， 2 2 2 2 () () z fz za 在实轴上没有奇点 , 在上半 平面 只有一 个 二阶 极点 : z a i . 3、计算形如 的积分 ( ) ( 0 )ixf x e d x 若 )( )( )( xQ xP xf m n ( 有理函数 ) ， 其中 )( xP n 是 n 次多项 式， )( xQ m 是 m 次多项式且 1 nm ，且 )( xf 在实轴 上无奇点 定义： I m 0 ( ) ( ) 2 R

9、e , . ( ) ( ) k i x i znn k zmm P x P z e d x i s e z Q x Q z 由此得到 ： 平面上的奇点在）为（其中， 0Im)z(R.2,1kz k 定义： 因为 ( ) ( )c o s R e ( ) ( ) ixnn mm P x P xx d x e d x Q x Q x 特别地 ： 此公式 还可 以用于 计算 有理函数乘三角函数的两类 积 分 () cos () n m Px x d x Qx 和 () s i n . () n m Px x d x Qx 定义： ( ) ( )s i n I m . ( ) ( ) ixnn mm

10、P x P xx d x e d x Q x Q x 例 5 定义： 计算积分 220 s i n ( 0 ) . xxI d x a xa 解 : 22 x s i n x xa 是 偶 函数 , 故 有 定义： 2 2 2 2 11 22 ixx s i n x x e I d x I m d x x a x a 定义： 函数 22 izzeza 在上半平面有一个一阶 极点 z a i , 定义： 22 1 I m 2 R e , 2 izze i s a i za 定义： 1I m ( ) . 22 i e e 220 x s in xI dx xa 2- c os 2 10 xxI dx xx 例 6 计 算 20 c os ( ) . +1a axI dx x 计 算例 7