圆锥曲线的发展历史.ppt

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1、圆锥曲线 北京市第十五中学 凌艺国 2012/12/10 1 圆锥曲线的形成 用一个平面截圆锥面所得的曲线形成 圆锥曲线 2012/12/10 2 圆锥曲线的历史 两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了 大量的成果。 古希腊数学家 阿波罗尼（ Apollonius)(约公元前 262-前 190） 采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。著有 圆锥曲线 一书，全书共八卷，含 487个命题，古希腊几何的登峰造极之 作 . 用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是 圆 ；把平面渐渐倾斜， 得到 椭圆 ；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时， 得到 抛物线 ；当平面再倾斜一些就可

2、以得到 双曲线 。 阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学 中关于圆锥曲线的全部性质和结果。 2012/12/10 3 圆锥曲线的历史 在阿波罗尼的 圆锥曲线 问世后的 13个世纪里，整个数 学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。 11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程， 12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲 线的研究仍然没有突破。 直到 16世纪，有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研 究。 德国天文学家 开普勒 （ Kepler,15711630）继承了哥白尼 的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实； 意大利物理学家 伽利略 （ G

3、alileo,15641642）得出物体斜 抛运动的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆 锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。 2012/12/10 4 圆锥曲线与天文学 天文从圆开始 地心说的起源很早，最初 由古希腊学者 欧多克斯 提出，经 亚里 士多德 完善 以地球为中心，以太阳、月亮及其他星球的圆形轨迹为边际的球 体式宇宙体系 这种模型经常出现与实际观察数据不符 中国古代的 盖天说 与 浑天说 都是地心说 。 2012/12/10 5 圆锥曲线与天文学 公元 150年左右，天文学家 托勒密 （ Claudius Ptolemy） 对这体系进行了修改，引进更多的圆，当

4、一个圆在旋转的 同时，圆心也在绕另外一个圆周运动，这个数学模型延续 了 1000多年 2012/12/10 6 圆锥曲线与天文学 16世纪，天文学家哥白尼提出了新的天体模型：日心说 . 以太阳为中心，通过这一改变，可以把复杂的圆周的总数 从 77个减少到 31个，当仍然用圆作为天体运行的轨迹模 型，其计算结果并不完全符合观测到的事实 . 2012/12/10 7 1600年，天才观察家第谷邀请 开普勒（ Kepler） 称为他的助手 两 人经常争吵，同时多次和解，共事 18个月， 第谷去世，开普勒接受了第谷一生所有的观测 数据 开普 勒凭借其过人的数学才能与坚忍不拔的毅 力，经过多年的艰苦探索

5、后，提出了影响巨大 的三个定律 2012/12/10 8 圆锥曲线 与天文学 开 普 勒三定律 1. 行星的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 . 2. 太阳与行星的连线在相等时间内扫过相等的面积 . 3. 行星在轨道上运行一周所需时间的平方与轨道主轴的立 方成正比 = 2012/12/10 9 圆锥曲线与天文学 开普勒被誉为“天空的立法者”。 通过对数据的整理而获得的，是否有更一般的 定理？ 1684年 8月， 哈雷 访问 牛顿 ， 哈雷 问：如果太 阳的引力与行星离太阳距离的平方成反比，行 星运行的曲线会是什么样的呢？ 牛顿 马上回答： 会是一个椭圆 两年后， 自然哲学的数学原理 ，其核

6、心是 牛顿三大运动定律及万有引力定律 2012/12/10 10 圆锥曲线与天文学 怎样由万有引力定律推到出开普勒第三定律？ 向心力 ： = ，其中 m是物体质量， v是速度， r是圆周长 假设 ： 物体 做 匀速 圆周 运动 ， = = = = 万有引力定律 = = = 即 = 2012/12/10 11 圆锥曲线与天文学 数学之用有时需要等待漫长的时间，圆锥曲线 的历史为此提供了一个极为典型的例证 . 2012/12/10 12 1579年蒙蒂（ Guidobaldo del Monte,15451607）椭圆定义为：到两个焦 点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了 过去对圆锥曲线的定义

7、。不过，这对圆锥曲线 性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的 定理或新的证明方法。 2012/12/10 13 椭圆的光学 性质 从椭圆一个焦点 发出的光，经过椭圆 反射后，反射光线都 汇聚到椭圆的另一个 焦点上。 2012/12/10 14 双曲线的光学 性质 从双曲线一个焦点发 出的光，经过双曲线反射 后，反射光线的反向延长 线都汇聚到双曲线的另一 个焦点上 2012/12/10 15 抛物线的光学 性质 从抛物线的焦点发出的光， 经过抛物线反射后，反射光 线都平行于抛物线的对称轴。 一束平行光垂直于抛物线的 准线，向抛物线的开口射进 来，经抛物线反射后，反射 光线汇聚在抛物线的焦点。

8、2012/12/10 16 格雷戈里 反射望远镜 格雷戈里 (Gregory) （ 16381675），苏格兰数学家， 1663年，在论文 光学的进展 中，提出了他设计的反 射望远镜的方案 两 个反射镜和一个透镜 主镜是一个中间带小孔的抛物面镜，附属的第二个反射镜 是凹形椭圆面镜 2012/12/10 17 牛顿 反射望远镜 1668年， 牛顿发明了一个与格雷戈里不同的 反射望远镜 把第二个反射镜换成了平面镜，这面镜的反光 面正好和望远镜的主轴成 45 制造工艺简单，可达到很高精度 现在仍在天文爱好者中流行 2012/12/10 18 卡塞格林 反射望远镜 1672年，卡塞格林发明了另一种天文

9、望远镜，他的设计 方案极为巧妙 主镜仍是抛物面，但第二个反射镜换成了一个双曲面的凸 面镜，这两个反射镜的焦点重合，这样光线经抛物面反射 后汇聚到双曲面的一个焦点，在汇聚前右由双曲面反射到 双曲面的另一个焦点，在哪里聚焦成像。在成像处附近正 是镜筒底部的小窗口，在那里安置目镜。 2012/12/10 19 天文望远镜 解析几何的诞生推动了天文望远镜设计的发展 有了解析几何，人们就不必再猜测某种曲面反 射镜的光学性质，而是在这种反射镜实际制造 出来之前就可以用代数方法计算出其光学性质。 椭圆抛物面反射镜、双曲抛物面反射镜与抛物 面反射镜结合 2012/12/10 20 杰尼西亚的耳朵 西西里岛上舒

10、古拉帝国暴君杰尼西亚往往把囚 徒关在一个山洞里，囚徒们多次密谋逃跑，但 秘密的计划总是被杰尼西亚所发现。起初，囚 徒们以为狱友中有内奸，他们互相指责、怀疑， 但始终没有发现任何一个囚徒在告密。 后来，又关进了个囚徒，这个囚徒有些数学知 识，在囚徒们又一次密谋逃跑时，这个数学家 囚徒却劝告别白费力气徒劳了，他告诉大家， 这个囚禁囚徒的山洞有古怪，洞壁是类椭球形 的， 囚徒们被关押在椭圆的一个焦点附近 ，他 们的密谋的话都被处于 另一个焦点处的密探 听 到而报告给上司，所以，没人能够逃出生天。 于是，囚徒们把这个山洞诅咒为“ 杰尼西亚的 耳朵 ”。 2012/12/10 21 电影放映机 电影放映

11、机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是 旋转椭圆面（椭圆绕两焦点所在的线旋转一周所 得曲面，它具有与椭圆相同的光学性质），为了 使片门（电影胶片通过的地方）出获得最强的光 线，可将灯丝 F2与片门 F1置于椭圆的两个焦点处。 2012/12/10 22 高压氙气灯 各种激光材料需要在外界强光的刺激下，才能 发出激光。 外界光源常选用高压氙气灯。但如何把氙气发 出来的光，最大限度地集中到激光材料上去吗？ 利用椭圆，用反光性能非常好的材料做成一个 椭圆形柱面的聚光器，然后把棒状激光材料和 氙灯，分别放在椭圆的两个焦点处，使氙灯发 出来的光，经过椭圆形柱面的反射，更好地集 中在激光材料上，从而得到更好的激发 2012/12/10 23 双叶旋转双曲面 双曲线绕着两个焦点的连线在空间旋转一周，得到的曲面 叫做 双叶旋转双曲面 摄影用的照明灯 摄影要求照明灯提供足够的亮度，同时又尽可能地均匀柔和。 摄影用的灯反光面做出双叶旋转双曲面的形状，并把灯丝恰 好位于焦点上 2012/12/10 24 抛物面的应用 抛物线绕它的对称轴旋转所成的曲面叫做抛物面 手电筒、汽车前灯、探照灯 太阳能热水器、阿基米德 卫星通信像碗一样的接受或发射天线 2012/12/10 25