高等数学第8章zD81向量及运算

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1、数量关系数量关系 第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八八章 目录 上页 下页 返回 结束 表示法:向量的模:向量的大小,21MM记作一

2、、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,a或.a或记作 e 或e.或 a.00或，记作目录 上页 下页 返回 结束 规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,

3、则称此 k 个向量共面.记作a;目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba)(aaba ba cba目录 上页 下页 返回 结束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas目录 上页 下页 返回 结束 2.向量的减法向量的减法三角不等式ab)(ab有时特别当,ab aa)(aababaabababa0baba目录 上页 下页 返回 结束 可见aa 1;1aa3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一

4、个数,规定:时，0,0时,0时总之:运算律:结合律分配律因此，同向与aa 与 a 的乘积是一个新向量,记作.a;aa，反向与aa;aa.0aaa)(aa)(aa)(aaba)(ba,0a若ae则有单位向量.1aaaeaa 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)证证:“”.,取 且再证数 的唯一性.则,0故.即abab设 abba反向时取负号,a,b 同向时取正号则 b 与 a 同向,设又有 b a,0)(aaa baab.ab故,0a而目录 上页 下页 返回 结束“”则,0 时当例例1.设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0 时当ba,0

5、时当,aAB,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD目录 上页 下页 返回 结束 xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 O,坐标面 卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念O面xOy面yOzzOx面目录 上页 下页 返回 结束 在直角坐标系下xyz向径 11坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点

6、A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组),(zyx 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR),0(zyB(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0);rOr)0,(yxAM),0,(zxC目录 上页 下页 返回 结束 坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzO目录 上页 下页 返回 结束 2.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M,),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量,),(zyxxOyzMNBCA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,任

7、意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA记记,ixOA,jyOB rkzjyix称为向量,kzOC kzjyixrikjr.,的坐标称为向量 rzyx目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算则),(zzyyxxbababa),(zyxaaaxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb baa,0 时当aab ab目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解以向量为未知元的线性方程组解解:2 3,得)10,1,7(代入得)16,2,11(ayx35byx2

8、3.211,212），（），（其中babax32)3(21bxy目录 上页 下页 返回 结束 例例3.已知两点在AB所在直线上求一点 M,使解解:设 M 的坐标为,),(zyx如图所示ABMo11AB,),(111zyxA),(222zyxB及实数,1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(M目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:由得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点,于是得x,221xx y,221yy z221zz),(zyx11),(2121

9、21zzyyxxxyz中点公式中点公式:ABMoABM目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx则有222OROQOPxOyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与,),(222zyxB,rOM作NMON BABAOAOBBA),(zyxr 设OMr OMr OROQOP目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求证以)3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4(321MMM证证:

10、1M2M3M21MM 2)47(2)31(2)12(1432MM 2)75(2)12(2)23(631MM 2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点目录 上页 下页 返回 结束 例例5.在 z 轴上求与两点)7,1,4(A等距解解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B.),0,0(914M思考思考:(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.目录 上页 下页 返回 结束

11、(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?)7,1,4(A)2,5,3(B提示提示:(1)设动点为,)0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2)设动点为,),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6.已知两点),3,1,7()5,0,4(BA和解解:141)2,1,3(142,141,143BABA求AB的单位向量 e.e目录 上页 下页 返回 结束 Oyzx2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O,OAB称 =AOB(0 )为向量 的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹

12、角.与三坐标轴的夹角,为其方向角方向角.cos222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.,aOA 作,bOB,baba,0),(zyxr给定r称),(ba记作),(ab或rxr目录 上页 下页 返回 结束 Oyzxrcos222zyxxcos222zyxycos222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:)cos,cos,(cosrxryrzrrer:的单位向量向量 r目录 上页 下页 返回 结束 例例7.已知两点)2,2,2(1M和,)0,3,1(2M的模、方向余弦和方向角.解解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22c

13、os,32,34321MM(21MM21MM目录 上页 下页 返回 结束 例例8.设点 A 位于第一卦限,解解:已知角依次为,43求点 A 的坐标.,4,3则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限,故,21cos于是6,cos,coscos)3,23,3(故点 A 的坐标为.)3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,6AO且OA第二节 OAeAO6,21,2221目录 上页 下页 返回 结束 uOuuaa)(Prj或记作M3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影第二节 Oua则 a 在轴 u 上的投影为 例如,),(zyxaaaa 在坐标轴上的投影分别为 设 a 与 u 轴正

14、向的夹角为,M,即 cos)(aaucosazyxaaa,投影的性质投影的性质2)uuaa)()(1)uuubaba)()()(为实数)MM目录 上页 下页 返回 结束 例例9.第二节 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为 OA,且,aOA 求OA 在 OM 方向上的投影.解解:如图所示,记 MOA=,cosAOMOMOA313a作业作业 P12 3,5,13,14,15,18,19acosPrjOAOAOM目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题解解:因1.设求向量在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量.13xa在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为,853kjim,742kjinkjip45pnma34pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji15713jjay7目录 上页 下页 返回 结束 2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为11,3 对角线的长为解：解：为边的平mnnm,|,|nm|nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim