泰勒公式及其应用90433

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1、泰勒公式及其应用1 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项 式函数，这种化繁为简的功能。常见函数的展开式：ex = 1+x+存.+ n +冷xn+1x3Sin x = x+3!x 55!x2n+1-.+ ( 1)n+(2n+1)!o(x2n+2)x2x 4x 6x2ncosx=1+ .+ ( 1)n+ o(x2n)-2!4!6!(2 n)! x2x3xnln(1+ x) =x -+ -+ + (-1)n-1+ O(Xn )23n(1+ x)mm(m-1)m(m-1)? (m - n +1)=1 + mx +x2 xn +o(xn)2!n!=1 +

2、x + x 2 +1 x. +xn +o(xn) .3.1 利用泰勒公式求极限xex 1 x sin x例1求极限limloSin x x cos x分析此为0型极限，若用罗比达法求解，则很麻烦，这时可将COSx和sinx, ex分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：x -1 - x - - sin x =2x2 x31 + x + o( x3)-1-26x- -(x-+ o(x3)2 6x3 +6x4x3+ o(x3) =+ o(x3),126于是x3x2sin x-x cos x = x -+ o(x 3) - x(1-+ o(x 3)62x3=_3+o( x 3)xxe x -1 -

3、 x - sm x lim2sinx-xcosxx 0x3+ o(x 3)1=6 = 12，+ o(x 3)32. 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例33判断广义积分八8-2云）dx的收敛性。5解：x +1 + Jx -1 -2 ；x = J(-2),1利用泰勒公式将、.1 +上，d-展开:X111 1 2(2 -1) 1 =12x2!x2o(),x2111-(- -1) 112 21二 1 - +2x2i + o(丄),2!x 2x 2111 ( -1) 1112 211+ + o() +1 -2x2!x2x22x111 + 耳1 + o(丄)-22 x2!x 2x 21+ o()，因此 l

4、im3x2I x +1 + ；x-1 - 2x | =1X +8I-1134 x 2由于f + 851丄收敛,34x2所以 j+8 (: x +1 + xx -1 2X)dx的收敛53. 判断(0,4)是否是 /(x) = ex +e-x +2cosx 的拐点?解：f( x) = ex -e - x - 2sin x, f (0)f(x) = ex -e -x -2cosx, f (0) = 0/，(x) = ex -e -x + 2sin x, f，(0) = 0f(4) (x) = ex -e-x -2cosx, f (0) = 4 丰 0因为n = 4 ,所以(0,4)不是f (x) =

5、 ex +e-x +2cosx的拐点。4. 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式：f (x )f n (x )f (x) = f (x ) + 广(x )(x - x ) +詁(x - x )2+詁(x - x )n0002!0n!0可以求得。例36求函数f (x) = ex的需级数展开式.解：由于fn(x) = ex, fn(0) =1 ,(nl,2,3)所以的拉格朗日余项为R (x) = n刁xn+1，(0 的 1)显见|R n ( x)l 币+1!|x|n+1它对任何实数x,都有e|x|lim xy (n +1)!| x|n+1= 0因而l

6、imR (x) = 0，所以有x-8 nex=1+ x + - x + 2!1+ xn +n!,x 三(8, +8)。5 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用f (x)麦克劳林展开得到 函数的近似计算式为2!f (x) f (0) + f (0)x +其误差是余项R (x).n6 计算 lg11 的值, 准确到10 -5lgll = lg(10+1) = 1 + lg(l+ jo ) = 1 +1n10ln(1+ 仍因为ln(1+ x) = x - 乂 + 兰23xnxn+1(-l)n-1+(-1) nn(n +1)(140 x) n+10 0

7、 -1, 要使|(-1)n10-(n+1)0(n +1)(1+) n+1 ln1010|10-n+l2(n +1)105-(n+1) = 104-n取n = 4，故1 11 1 1lg11 1 +(-+)1.04139ln10 10 200 3000 400007.估计下列近似公式的绝对误差：X 1 + x 王 1 +-, x e0,12 8(-1)n-1(2 n - 3)!2 n n!x n +(-1)n(2 n-1) !2n+1 (n +1)!1(1 x)-n- 2 xn+1,0 0 1当 n = 2 时，| R (x)|二十 |(1+0 x)-5 x3 | W (1+0)-22233!1

8、6168. 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值1如果f(x)泰勒公式已知，其通项中的加项(x - x )n的系数正是 f (n)(x )，从而可反过来求高阶导0n!0数数值， 而不必再依次求导.例 2.9 设 f ( x) = x 2 ln(1+ x),求 f (n)(0),( n 三 3)x2 x3xn由 ln(1+ x)得泰勒公式：ln(1+ x) = x + + (-1)n-1+ o(xn)23nx2 x3xn可得：f(x) = x2x + + (-1)n-1+o(xn), (x0)23nx 4xn二 x3 + +(-1)n-3+o(xn ) , (x f 0)2n-2所以f (n )(0) = nU2n-2n-3nn(n - 1)f (x) = z(z- y)n-1 + z(z- y)n-2(x- z) +z(z- y)n-3(x- z)2n 1! 2!n(n -1 2)n(n -1)2.1+z (x - z)n-1 +.(x - z)nn!(n -1)!若 z = y，有 f (x) = (x- y)n-ix + (n- 1)y,nz-y若 z 丰 y，有 f (x) = z(x - y)n - y(x - z)n