资产市场不确定性风险资产

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1、 不确定性不确定性一一.一般理论一般理论1.1.偏好偏好简单赌局简单赌局:令令A=aA=a1 1,a,an n 是结果集，是结果集，那么，那么，G Gs s简单赌局的集合（在简单赌局的集合（在A A上的）上的）由如下式子给出由如下式子给出:G Gs s=p=p0 0oaoa1 1,p,pn noaoan n|p|pi i0,p0,pi i=1=1赌局的结果是赌局赌局的结果是赌局,称为复合赌局称为复合赌局.G G代表一切赌局的集合代表一切赌局的集合.公理公理G1:G1:完备性完备性.g,gG,.g,gG,要么要么g ggg要么要么ggg.g.公理公理G2:G2:传递性传递性.g,g,g”G,.g

2、,g,g”G,如果如果g gg.gg.gg”.g”.则则g gg”.g”.A A的结果是一个退化的赌局的结果是一个退化的赌局,可以排序可以排序.不妨设不妨设a a1 1 a a2 2 a an n.公理公理G3:G3:连续性连续性.gG,0,1,.gG,0,1,g g oaoa1 1,(1-)oa,(1-)oan n 公理公理G4:G4:单调性单调性.,0,1,.,0,1,如果如果oaoa1 1,(1-)oa,(1-)oan n oa oa1 1,(1-)oa(1-)oan n,则则公理公理G5:G5:替代性替代性.g=pg=p0 0ogog1 1,p,pk kogogk k h=ph=p0

3、0ohoh1 1,p,pk kohohk k g,h G,g,h G,如果如果h hi i g gi i.则则h h g.g.g=oag=oa1 1,(1-)oh,(1-)ohh=oah=oa1 1,(1-)oa,(1-)oa2 2 结果为结果为a a1 1的有效概率为的有效概率为+(1-),+(1-),a a2 2的有效概率为的有效概率为 (1-)(1-).(1-)(1-).复合赌局引致复合赌局引致a ai的唯一有效概率的唯一有效概率.g Gg G,p pi i代表代表g g分派给分派给a ai i的有效概率的有效概率,g g引致了简单赌局引致了简单赌局pp0 0oaoa1 1,p,pn n

4、oaoan n G Gs s.公理公理G6:G6:简化成一个简单赌局简化成一个简单赌局对于对于g G,g G,如果如果pp0 0oaoa1 1,p,pn noaoan n 是由是由 g g引致的简单赌局引致的简单赌局,则则pp0 0oaoa1 1,p,pn noaoan n g.g.效用函数效用函数预期效用的性质预期效用的性质:p:p0 0oaoa1 1,p,pn noaoan n 是由是由 g g引致的简单赌局引致的简单赌局,对于对于g G,g G,如果存在如果存在u(g)=pu(g)=pi iu(au(ai i).).效用函数效用函数u:GRu:GR具有期望效用的性质具有期望效用的性质.消

5、费者的目标是期望效用最大化消费者的目标是期望效用最大化.VNMVNM效用函数存在性定理效用函数存在性定理:对属于对属于G G内的赌局的偏好满足公理内的赌局的偏好满足公理G1-6,G1-6,那么存在一个代表关于那么存在一个代表关于G G的偏好的效用的偏好的效用函数函数u:GR,u:GR,使使u u具有期望效用性质具有期望效用性质.证明证明:(1)(1)公理公理G3:G3:连续性连续性.gG,0,1,.gG,0,1,g goaoa1 1,(1-)oa,(1-)oan n 公理公理G4:G4:单调性单调性.0,1,.0,1,如果如果g goaoa1 1,(1-)oa,(1-)oan n,则则 ,=,

6、=,是唯一的是唯一的.令令=u(g),g=u(g),gu(g)oau(g)oa1 1,(1-u(g)oa,(1-u(g)oan n(2)(2)公理公理G1:G1:完备性完备性.g,gG,.g,gG,要么要么g ggg要么要么ggg.g.设设g gg,g,由由(1)(1)的结论和公理的结论和公理G2,G2,u(g)oau(g)oa1 1,(1-u(g)oa,(1-u(g)oan n u(g)oau(g)oa1 1,(1-u(g)oa,(1-u(g)oan n 由公理由公理G3,u(g)u(g).G3,u(g)u(g).存在一个代表关于存在一个代表关于G G的偏好的效用的偏好的效用函数函数u:GR

7、u:GR(3)g(3)gu(g)oau(g)oa1 1,(1-u(g)oa,(1-u(g)oan n a ai iu(au(ai i)oa)oa1 1,(1-u(a,(1-u(ai i)oa)oan n 设设q qi i=u(a=u(ai i)oa)oa1 1,(1-u(a,(1-u(ai i)oa)oan n q qi i a ai i,公理公理G5G5g=pg=p1 1oqoq1 1,p,pn noqoqn n pp1 1oaoa1 1,p,pn noaoan n=g=gs s.gg分派给分派给a a1 1的有效概率为的有效概率为ppi iu(au(ai i).).gg分派给分派给a an

8、 n的有效概率为的有效概率为ppi i1-u(a1-u(ai i).).g gs s=p=pi iu(au(ai i)oa)oa1 1,(p,(pi i1-1-u(au(ai i)oa)oan n 公理公理G6,gG6,g g gs s,公理公理G2,gG2,gs s g gs s,g gs s ppi iu(au(ai i)oa)oa1 1,(p,(pi i1-u(a1-u(ai i)oa)oan n g gs su(gu(gs s)oa)oa1 1,(1-u(g,(1-u(gs s)oa)oan n 由由(1)(1)的结论的结论u(gu(gs s)=p)=pi iu(au(ai i).).

9、g g引致的引致的g gs s,g gg gs s,u(g)=u(g,u(g)=u(gs s)=)=ppi iu(au(ai i).u).u具有期望效用性质具有期望效用性质.VNMVNM效用函数对正映射转换是唯一的效用函数对正映射转换是唯一的.假设假设VNMVNM效用函数效用函数u u代表了偏好关系代表了偏好关系,VNMVNM效用函数效用函数v v代表了相同的偏好关系代表了相同的偏好关系,当且仅当当且仅当,gG,0,v=+u.,gG,0,v=+u.证明证明:充分性充分性.g,gG,g.g,gG,ggg u(g)u(g)u(g)u(g)v(g)=+u(g)v(g)=+u(g)+u(g)=v(g)

10、+u(g)=v(g)/5/5/必要性必要性.令令A=aA=a1 1,a,an n g=pg=p1 1oaoa1 1,p,pn noaoan n a a1 1 a an n,a,a1 1a an n.u u代表了偏好关系代表了偏好关系u(au(a1 1)u(a)u(an n),u(a),u(a1 1)u(a)u(an n).).公理公理G3,G3,唯一唯一i i 0,1,0,1,u(au(ai i)=)=i i u(a u(a1 1)+(1-)+(1-i i)u(a)u(an n).).当且仅当当且仅当a ai i a an n.i i0.0.u u具有期望效用性质具有期望效用性质.u(au(a

11、i i)=u()=u(i i o a o a1 1,(1-,(1-i i)oa)oan n).).a ai i i i o a o a1 1,(1-,(1-i i)oa)oan n.vv也代表了偏好关系也代表了偏好关系 v(a v(ai i)=v()=v(i i o a o a1 1,(1-,(1-i i)oa)oan n).).vv也具有期望效用性质也具有期望效用性质.v(av(ai i)=)=i i v(a v(a1 1)+(1-)+(1-i i)v(a)v(an n).).u(au(a1 1)-u(a)-u(ai i)/u(a)/u(ai i)-u(a)-u(an n)=(1-=(1-i

12、 i)/)/i i=v(a=v(a1 1)-v(a)-v(ai i)/v(a)/v(ai i)-v(a)-v(an n)v(av(ai i)=+u(a)=+u(ai i)=u(a=u(a1 1)v(a)v(an n)-v(a)-v(a1 1)u(a)u(an n)/u(a/u(a1 1)-u(a)-u(an n)=v(a=v(a1 1)-v(a)-v(an n)/u(a)/u(a1 1)-u(a)-u(an n)0)0对于对于g G,g G,如果如果pp0 0oaoa1 1,p,pn noaoan n 是由是由 g g引致的简单赌局引致的简单赌局,v(g)=pv(g)=pi iv(av(ai

13、i)=p)=pi i+u(a+u(ai i)=+p=+pi i u(a u(ai i)=+u(g)=+u(g)3.3.风险厌恶风险厌恶1)1)对于非负财富水平上的赌局对于非负财富水平上的赌局,设设u u是个是个人的一个人的一个VNMVNM效用函数效用函数,那么对于简单赌那么对于简单赌局局g=pg=p0 0owow1 1,p,pn nowown n,该个人可被认为该个人可被认为是是:(1)(1)如果如果uE(g)u(g),uE(g)u(g),他对他对g g是风险厌恶的是风险厌恶的;(2)(2)如果如果uE(g)=u(g),uE(g)=u(g),他对他对g g是风险中性的是风险中性的;(3)(3)

14、如果如果uE(g)u(g),uE(g)u(g),他对他对g g是风险偏爱的是风险偏爱的;2)2)当且仅当行为者的当且仅当行为者的VNMVNM效用函数分别在财效用函数分别在财富的适当定义域上是严格凹的富的适当定义域上是严格凹的 线性的线性的 严严格凸的格凸的,他才在赌局的一些子集上是风险他才在赌局的一些子集上是风险厌恶厌恶 风险中性风险中性 风险偏爱的风险偏爱的.3)3)确定性等价物与风险升水确定性等价物与风险升水:在财富水平上在财富水平上,任何简单赌局的确定性等价物是一定量的任何简单赌局的确定性等价物是一定量的财富财富CE-CE-他被确定性地提供他被确定性地提供,使使u(g)=u(CE).u(

15、g)=u(CE).风险升水是一定量的财富风险升水是一定量的财富P,P,使使u(g)=u(E(g)-P).u(g)=u(E(g)-P).P=E(g)-CE.P=E(g)-CE.4)4)绝对风险厌恶的阿罗绝对风险厌恶的阿罗-帕拉特测度帕拉特测度R Ra a(w)=-u”(w)/u(w).(w)=-u”(w)/u(w).R Ra a(w)(w)为正为正,负负,零时零时,行为者分别是行为者分别是风险厌恶风险厌恶 风险中性风险中性 风险偏爱的风险偏爱的.效用函数正的单调转换效用函数正的单调转换,使测度不变使测度不变.W Wu(W)u(W)u(W)=Wu(W)=Wu(W)=Wu(W)=W2 2u(W)=W

16、u(W)=W1 1二二.二维二维1.1.或有消费或有消费某人开始拥有某人开始拥有3500035000美元资产美元资产,有可能有可能损失损失1000010000美元美元,损失发生的概率为损失发生的概率为0.01.0.01.g g0 0=0.99o35000,0.01o25000=0.99o35000,0.01o25000完全保险完全保险,投报金额为投报金额为1000010000美元美元,保险保险费为费为100100美元美元.g g1 1=0.99o34900,0.01o34900=0.99o34900,0.01o34900投报金额为投报金额为K,K,保险费为保险费为KK美元美元.g g2 2=0

17、.99o35000-K,0.01o25000+K-K=0.99o35000-K,0.01o25000+K-KC Cg gc cb b350003500035000-K35000-K2500025000 25000+K-K25000+K-Kc cg g/c cb b=-/(1-)=-/(1-)效用函数效用函数u(cu(c1 1,c,c2 2,1 1,2 2)=)=1 1u(cu(c1 1)+)+2 2u(cu(c2 2)u(cu(c1 1,c,c2 2,1 1,2 2)=)=1 1c c1 1+2 2c c2 2u(cu(c1 1,c,c2 2,1 1,2 2)=c)=c1 111c c2 22

18、2lnu(clnu(c1 1,c,c2 2,1 1,2 2)=1 1ln(cln(c1 1)+)+2 2ln(cln(c2 2)MRSMRS1212=-(=-(1 1 u(c u(c1 1)/)/c c1 1)/)/(2 2 u(c u(c2 2)/)/c c2 2)3.3.均衡条件均衡条件MRSMRS1212=-(=-(1 1 u(c u(c1 1)/)/c c1 1)/)/(2 2 u(c u(c1 1)/)/c c1 1)=-/(1-)=-/(1-)公平保险公平保险,保险公司的期望利润保险公司的期望利润P=K-K=0=P=K-K=0=u(c u(c1 1)/)/c c1 1=u(cu(c

19、2 2)/)/c c2 2消费者风险厌恶消费者风险厌恶,货币的边际效用递货币的边际效用递减减cc1 1=c=c2 2 c c0 0-K=c-K=c0 0-S+K-K-S+K-KK=S K=S 完全保险完全保险三三.风险资产投资风险资产投资1.1.决策决策初始财富初始财富w,w,风险资产好状态概率为风险资产好状态概率为,收益率为收益率为r rg g,坏状态概率为坏状态概率为1-,1-,收益收益率为率为r rb b.风险资产投资风险资产投资x x美元美元.EU(x)=u(w+rEU(x)=u(w+rg gx)+(1-)u(w+rx)+(1-)u(w+rb bx)x)EU(x)=u(w+rEU(x)

20、=u(w+rg gx)rx)rg g +(1-)u(w+r+(1-)u(w+rb bx)rx)rb bEU”(x)=u”(w+rEU”(x)=u”(w+rg gx)rx)rg g2 2 +(1-)u”(w+r+(1-)u”(w+rb bx)rx)rb b2 2EU(x)=0 xEU(x)=0 x*投资者风险厌恶投资者风险厌恶,EU”(x)0,x,EU”(x)0,u0,u2 20.0.0.w ww w2.2.无风险资产报酬率为无风险资产报酬率为rf,风险资产在风险资产在s s状态下概率为状态下概率为s s,报酬率为报酬率为m ms s;风险资产组合的报酬率为风险资产组合的报酬率为r rm m=s

21、 sm ms s,方差为方差为2 2m m=s s(m(ms s-r-rm m)2 2;x x份额投资于风险资产份额投资于风险资产,(1-x),(1-x)份额份额投资于无风险资产投资于无风险资产.r rx x=x r=x rm m+(1-x)r+(1-x)rf f2 2x x=x=x2 2 2 2m mx x=x=x m m x=x=x x/m mr rx x=r=rf f+(r+(rm m-r-rf f)/)/m m)x xr rm mr rf fm mw ww wr rx x=r=rf f+(r+(rm m-r-rf f)/)/m m)x xr rm mr rf fm mw ww wMRS

22、MRS1212=-u=-u1 1/u/u2 2=(r=(rm m-r-rf f)/)/m m=P=Pr r*3.3.均衡均衡r rx x*x x*w ww wr ry y*y y*4.4.组合选择组合选择r rx xx xr ry yy y二二.风险的测度风险的测度1.1.只有一种风险资产的情形只有一种风险资产的情形,风险资产的风险资产的风险值就是它的标准差风险值就是它的标准差.存在多种风险资存在多种风险资产的情形产的情形,标准差就不是对该资产风险值标准差就不是对该资产风险值的合适测度的合适测度.2.2.消费者的效用取决于全部财富的均值消费者的效用取决于全部财富的均值和方差和方差,而不是任何单

23、一资产的均值和而不是任何单一资产的均值和方差方差.某人愿意为最后增加的那一份风某人愿意为最后增加的那一份风险资产所支付的数量险资产所支付的数量,取决于该份资产取决于该份资产与资产组合内其它资产的相互影响与资产组合内其它资产的相互影响.资产资产A:10,50%;-5,50%.A:10,50%;-5,50%.资产资产B:-5,50%;10,50%.B:-5,50%;10,50%.A A=B B=2.5=2.5 A A=B B=7.5=-1=7.5=-1组合份额组合份额1/2.1/2.=1/2=1/2A A+1/2+1/2B B2 2=D(1/2r=D(1/2rA A+1/2r+1/2rB B)=1

24、/4(D(r=1/4(D(rA A)+D(r)+D(rB B)+2)+2A AB B)=0=0资产的风险值取决于它与其它资产的关系资产的风险值取决于它与其它资产的关系.3.3.一种股票的风险一种股票的风险i i=资产资产i i的风险程度的风险程度/股票市场的风险程度股票市场的风险程度=cov(r=cov(ri i,r,rm m)/Var(r)/Var(rm m)iiii=i i1.1.三三.风险资产的市场均衡风险资产的市场均衡资产资产i i的风险的风险=i i m m风险价格风险价格P=(rP=(rm m-r-rf f)/)/m m风险对收益的调整值风险对收益的调整值=i im m(r(rm

25、m-r-rf f)/)/m m=i i(r(rm m-r-rf f)资产资产i i和和j,j,期望收益为期望收益为r ri i和和r rj j,值为值为i i和和j j.经过对风险调整后的收益分别经过对风险调整后的收益分别为为r ri i-i i(r(rm m-r-rf f)和和r rj j-j j(r(rm m-r-rf f)假设风险资产市场无套利假设风险资产市场无套利r ri i-i i(r(rm m-r-rf f)=r)=rj j-j j(r(rm m-r-rf f)=r)=rf fr ri i=r=rf f+i i(r(rm m-r-rf f)资本资产定价模型资本资产定价模型CAPM.CAPM.r rr rf fr rm m1 1资本市场线资本市场线