《wjzh211导数概念》PPT课件

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1、重点重点及几何解释及几何解释导数与微分导数与微分四则运算法则四则运算法则高阶导数高阶导数难点难点导数的实质，用定义求导，链式法则导数的实质，用定义求导，链式法则第二章第二章 导数与微分导数与微分第二章第二章 导数与微分导数与微分 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。化时，函数大体上变化多少。微分学微分学导数导数描述函数变化描述函数变化快慢快

2、慢微分微分描述函数变化描述函数变化程度程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数从微观上研究函数)一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 一、一、引例引例1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tt svt)()(00tfttf t 而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t vt so0()f ttt 0速度反映

3、了路程对时间变化的速度反映了路程对时间变化的快慢程度快慢程度.0()f tt )()(0tftf0tt)()(00tfttf 0 tlim0ttlim一、一、引例引例1.变速直线运动的瞬时速度问题变速直线运动的瞬时速度问题2.1 导数的概念导数的概念 物体在时刻物体在时刻 t0 的瞬时速度定义为的瞬时速度定义为tsvtvtt 000limlim)(ttsttst )()(lim000 2.切线问题切线问题Toxy)(xfy CNM 0 xx切线切线MT的斜率为的斜率为:.)()(lim000 xxfxxfkx .,00 NMTMN就就有有只只要要).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为

4、为割割线线MNToxy)(xfy CNM 极限位置即极限位置即0 xx 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.如图如图,00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2.切线的斜率问题切线的斜率问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系二、导数的定

5、义二、导数的定义 定义定义:设函数设函数 y=f(x)在点在点x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义,当当自变量自变量x在在x0处取得增量处取得增量 x(点点x0+x仍在该邻域内仍在该邻域内)时时,相应地函数取得增量相应地函数取得增量 y=f(x0+x)f(x0);如果当如果当 x0时时,y与与 x之比的极限存在之比的极限存在,则称函数则称函数 y=f(x)在在点点x0处可导处可导,此极限值称为函数此极限值称为函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数,并记为并记为f(x0),即即xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000 也可记作也可记作:.)(,|000 xxxxxxdx

6、xdfdxdyy 1.1.函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数)()(0 xfxfy0 xxx;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000注注 函数函数f(x)在点在点x0处可导也可说成处可导也可说成函数函数f(x)在点在点x0处具有导数处具有导数 或或导数存在导数存在.2)导数定义可取不同的形式导数定义可取不同的形式0000000()()()()()limlimhxxf xhf xf xf xf xhxx 若若 不存在不存在,则称则称y=f(x)在在

7、x0点不可导点不可导.其中当其中当 时时 ,称称y=f(x)在在x0点的导数为无穷大点的导数为无穷大.xyx0limxyx0lim3)若若f(x)在在(a,b)内每一点可导内每一点可导,函数函数f(x)在在(a,b)内可导内可导.4)函数函数f(x)在在(a,b)内可导内可导,即即 对应着对应着f(x)的一个确的一个确 定的导数值定的导数值,这样就构成了一个新的函数这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做原这个函数叫做原 来函数来函数y=f(x)的的导函数导函数简称简称导数导数.记作记作),(baxdxxdfdxdyxfy)(,),(,即即xxfxxfyx )()(lim0 .)()(lim)(

8、0hxfhxfxfh 或或 .如果函数如果函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,且且f+(a)和和 f-(b)都存在都存在,就说就说.2.2.单侧导数单侧导数f(x)在在x0点的导数点的导数:0000()()()lim;hf xhf xfxh000()()lim;hf xhf xh000()()lim;hf xhf xh f(x)在在x0点的点的左导数左导数:0()fx000()()limxxf xf xxx f(x)在在x0点的点的右导数右导数:0()fx000()()limxxf xf xxx例例1:讨论函数讨论函数 f(x)=|x|在在 x=0 处的可导性处的可导性.如

9、如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.例例1 1.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf 0(0)(0)limhfhfh0limhhh,1 0(0)(0)limhfhfh0limhhh.1 ),0()0(ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy用定义求导数用定义求导数(三步法三步法)步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 求求比比值值.lim)3(0 xyyx 求极限

10、求极限2.求导数举例求导数举例求导步骤求导步骤 1)求增量求增量y=f(x+x)-)-f(x)；2)求比值求比值 3)求极限求极限xyxyx0lim注注:1)在求导函数的过程中视在求导函数的过程中视x为变量为变量(),而而x认为是常量认为是常量.2)求函数在某一点的导数求函数在某一点的导数,可先求导函数可先求导函数,再代值再代值;也可先代值也可先代值,按定义求出某点处的导数值按定义求出某点处的导数值.0,0 xx例例2 2.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即例例3 3.)(sin)(sin,si

11、n)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 02cos()sin22limhxhxxhxh22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x 4(sin)xx4cosxx.22.cos)(sinxx 即即例例4 4.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解()nx 0()limnnhxhxh!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx 例如例如,)(x12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 例例5 5.)1,0()(的的导导数数求求函函数

12、数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即特别地特别地.)(xxee 例例6 6.)1,0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 01limlogahxhhxhxahxhx)1(loglim10 exalog1 axln1 axxaln1)(log 即即特别地特别地.1)(lnxx 例例5:求函数求函数 y=a x 的导数的导数(a0,a 1).ln)(aaaxx .)(xxee 例例6:求函数求函数 y=loga x 的导数的导数(a0,a 1).axxaln1)(log

13、 .1)(lnxx 例例7.7.设设)(0 xf 存在存在,求极限求极限.2)()(lim000hhxfhxfh一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系oxy)(xfy 0 xT M三、导数的几何意义三、导数的几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf物理意义物理意义:变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度.lim)(0dtdststvt 过点过

14、点M(x0,y0)的切线方程与法线方程的切线方程与法线方程.过点过点 M(x0,y0)且与切线垂直的直线且与切线垂直的直线叫曲线叫曲线 y=f(x)在点在点M M处的法线处的法线.且且有有限限时时若若0)(0 xf切线方程为切线方程为).)(000 xxxfyy 法线方程为法线方程为).()(1000 xxxfyy 时时当当0)(0 xf切线方程为切线方程为)(0 xfy 法线方程为法线方程为0 xx 时时当当 )(0 xf切线方程为切线方程为0 xx 法线方程为法线方程为)(0 xfy 例例 在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为 2yxy=0例例 在点在点(0,0)处的切线方程为处

15、的切线方程为 2xyx=03yx.,)2,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 例例8 8解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1(xx2121 xx.4 所求切线方程为所求切线方程为),21(42 xy.044 yx即即法线方程为法线方程为),21(412 xy.01582 yx即即一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系

16、四、函数可导性与连续性的关系,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxy 定理定理:若函数若函数 f(x)在点在点x0处可导处可导,则则f(x)在点在点x0处连续处连续.证证)0(0 x xxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连连续续在在点点函函数数xxf注意注意:1)该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立,即连续函数不一定存在导数即连续函数不一定存在导数.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导2)2)若若 f(x)在在x0 0点不连续，则点不连续，则 f(x)在在x0 0点必不可导。点必不

17、可导。连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例2xy xy 例如例如,00)(2 xxxxxf 1.若函数若函数 f(x)在点在点x0处连续处连续,且且f-(x0)和和 f+(x0)均均存在存在,但但 f-(x0)f+(x0),则称点则称点x0为为f(x)的的角点角点.由于由于,f-(0)=0,f+(0)=1.故故f(x)在点在点x=0处不可导处不可导,x=0为为f(x)的的角点角点.例如例如,)(3xxf 3xy 2.若函数若函数 f(x)在点在点x0处连续处连续,但但f(x0)=(不可导不可导),则称则称f(x)在点在点x0处有处有无穷导数无穷导数.即即f(x)在在x=0处有处有无穷导

18、数无穷导数.3.若函数若函数 f(x)在点在点x0处连续处连续,但但f(x0)=(不可导不可导),且两个单侧导数符号相反且两个单侧导数符号相反,则称点则称点x0为函数为函数f(x)的的尖点尖点.)(xfy 例如例如,)1()(32 xxf 即即x=1处为函数处为函数 f(x)和和 g(x)的的尖点尖点.,)1(1)(32 xxg和和)(xgy 4.若函数若函数 f(x)在点在点x0处连续处连续,但但f(x0)不存在不存在(不可不可导导),也不为无穷大也不为无穷大,如摆动不定情况如摆动不定情况.例例9 9:讨论函数讨论函数 0001sin)(xxxxxf在在=0处的连续性与可导性处的连续性与可导

19、性.)(xfy 解解,1sin是是有有界界函函数数x01sinlim0 xxx0)(lim)0(0 xffx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf,0,00,1sin)(xxxxxf.0处连续，但不可导在 x011/1/xy小结小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可

20、导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题 由导数的定义知由导数的定义知,f(x0)是一个具体的数值是一个具体的数值,f(x)是由于在某区间是由于在某区间 I 上每一点都可导而定义在上每一点都可导而定义在 I 上的一上的一个新函数个新函数,即即 x I,有唯一值有唯一值 f(x)与之对应与之对应.所以所以 两者的两者的区别区别是是:一个是数值一个是数值,另一个是函数另一个是函数.两者的两者

21、的联系联系是是:在某点在某点x0处的导数处的导数f(x0)即是导函即是导函数数f(x)在在x0处的函数值处的函数值.函数函数f(x0)在某点在某点x0 处的导数处的导数f(x0)与导函数与导函数f(x)有什么区别与联系？有什么区别与联系？思考题解答思考题解答)()(0 xfxf与.)()(00 xxxfxf 显然显然导数导数f(x0)就是导函数就是导函数f(x)在点在点x0处的函数值处的函数值.即即函数函数 f(x)在点在点x0处的处的 导函数导函数f(x)简称为简称为导数导数,而而f(x0)称为称为函数函数 f(x)在点在点x0处处的导数的导数或或导数导数f(x)在点在点x0处的值处的值.5)区别区别 )()()(00 xfxfxf、)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例例如例如,0,0,)(2 xxxxxfxy2xy 0 xy .0处连续，但不可导在x例例8 8 函数函数y=|x|,y=|x|,在在x=0 x=0点处连续，但在点处连续，但在x=0 x=0处不可导。处不可导。)()(31xxxf在在x=0 x=0处的连续性处的连续性 可导性可导性例例9 9 考虑函数考虑函数例例1010 函数函数0001sin)(xxxxxfy在在x=0 x=0处的连续性处的连续性 可导性可导性