第五章 简单期权的连续时间模型定价

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1、第五章 简单期权的连续时间模型定价第五章简单期权的连续时间模型定价本章内容提要布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展随机过程介绍马尔科夫过程、维纳过程、伊藤过程股票价格的行为模式伊藤引理本章内容提要8B-S公式的基本假设B-S微分方程的推导风险中性定价原理B-S定价公式布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展Myron Scholes和Fischer Black发表题为“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文，提出了一个连续时间模型条件下复杂的期权定价公式布莱克-斯克尔斯公式，即B-S期权定价公式推导出基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须

2、满足的随机微分方程，推导出了股票的欧式看涨期权和看跌期权的定价公式布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展Robert Merton也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论，在若干方面（例如当存在红利支付时）做了重要推广。所以，B-S公式也被称为布莱克-斯克尔斯-默顿（或B-S-M）公式布莱克-斯克尔斯期权定价模型为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种基于基础资产价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础随机过程介绍股票价格的变化过程符合什么样的规律涉及到随机过程的内容如果某变量的值随着时间以不确定的方式变化，则称该变量遵循某种随机过程（Stochastic Process

3、）假设 是随机试验的样本空间，T是时间集，对于每一个 ，都有随机变量 与之对应，则称依赖于 的一族随机变量 ， 为随机过程随机过程分类可以根据状态和时间是否连续把随机过程进行如下分类 连续型随机过程 离散型随机过程 连续型随机序列 离散型随机序列 从严格意义上讲，股票价格的变动属于离散型随机序列，但在大多数应用中，我们可以把它近似为连续型随机过程。马尔科夫过程马尔科夫过程（Markov process）是一种特殊的随机过程，它认为变量的未来预测只与当前情况有关，而与变量过去的历史和从过去到现在的演变方式无关人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。例如一股票现在的价格为7100，则这个时间之前的任

4、意时间的价格与这只股票未来的价格预测无关，未来预测只与现在的价格100有关维纳过程标准的维纳过程一个随机过程z，定义它在一个微小时间间隔 之间的变化为 如果z遵循满足以下两个性质： 其中 是服从标准正态分布的随机变量 z是独立增量过程那么z遵循漂移率为0方差率为1的标准维纳过程 维纳过程标准的维纳过程（时接近于真实的维纳过程一般的维纳过程一般维纳过程表示为其中 表示漂移率的期望值， 表示方差率的期望值， 和 都是常数， 是标准维纳过程伊藤过程（Ito Process）伊藤过程的漂移率和方差率都随着时间的变化而变化股票价格的行为模式一个合理的描述股价运动的形式是上式被称为几何布朗运动离散处理伊藤

5、引理伊藤引理描述了衍生证券价格和基础资产价格以及时间变量之间所满足的关系将股票价格行为模式假设带入B-S公式的基本假设股票价格遵循“几何布朗运动”的随机过程不存在交易费用和税收交易连续进行，股票高度可分，股票不支付红利不存在无风险套利机会投资者可以在期权生命期内以无风险利率r无限量借入或贷出资金允许卖空标的证券以欧式期权为前提B-S微分方程的推导思路1、期权（或其他衍生品）价格与股票价格受同一种不确定性的影响2、可以构造一个包含该期权与股票的资产组合来消除这一不确定性3、在无套利机会条件下，这一无风险的资产组合的收益率必定为无风险利率rB-S微分方程的推导过程构造无风险组合： -1份期权 （卖

6、空一份期权）+ 份股票 （买入数量为 的股票）该资产组合的价值在无套利机会的条件下，该组合必定取得无风险收益这就是Black-Scholes微分方程风险中性定价原理Black-Scholes微分方程不包括股票的预期收益率利用这一特性可以假设：在衍生证券定价中，所有投资者都是风险中性的所有投资者都是风险中性条件下，所有证券的预期收益率均为无风险利率r，所有现金流都应该使用无风险利率贴现。这就是风险中性定价原理。欧式看涨期权的B-S定价公式欧式看涨期权其中隐含波动率上式给出了期权价格与五个基本参数(标的资产的价格、执行价格、无风险利率、到期时间、波动率)之间的定量关系，只要将现实中的前四个变量及期

7、权价格带入公式中，便可得到一个波动率，这样的得到的波动率叫做隐含波动率。欧式看跌期权的B-S定价公式欧式看跌期权相关符号含义同上有红利支付欧式期权的B-S定价公式支付固定红利的股票的欧式看涨和看跌期权的价格假设I等于期权有效期内所有红利支付的无风险现值只要用S-I代替不支付红利的股票的欧式看涨和看跌期权的定价公式中的S即可1.*有红利支付欧式期权的B-S定价公式支付固定红利率q的股票的欧式看涨和看跌期权的价格有红利支付的美式看涨期权对于有红利支付的美式看涨期权，存在提前执行的可能通过逐个考察每个除权日 时提前执行美式看涨期权是否合理来近似求解期权的价格判断美式期权提前执行不合理的条件是：除权日的红利支付美式看跌期权对于美式看跌期权，虽然收益的存在使提前执行的可能性不大，但仍不能排除这种可能。因此它的期权价格仍不同于欧式看跌期权，也只能用较复杂的数值方法求解参考书目1 约翰霍尔著，张陶伟译：期权、期货和其他衍生品（第三版），华夏出版社2000年2 邵宇著：微观金融学及其数学基础，清华大学出版社，2003年3 郑振龙著：金融工程，高等教育出版社，2003年*