2.1概率及概率空间

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1、1概率及概率空间概率及概率空间22.1 2.1 概率的定义概率的定义1.频率频率 3 概率的性质概率的性质2 概率的定义概率的定义3定义：定义：随机事件随机事件:在一定条件下，对随机现象进行一次实在一定条件下，对随机现象进行一次实 验的每一个可能结果；验的每一个可能结果；必然事件必然事件:在一定条件下必然要发生的事件，记在一定条件下必然要发生的事件，记作作 ；不可能事件不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件，记在一定条件下不可能发生的事件，记作作。基本事件基本事件:在随机实验中，不能分解的事件；在随机实验中，不能分解的事件；随随 机机 事事 件件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个基

2、本事件在试验中出现返回主目录1.概率的概念410 包含关系 事件间的关系与运算事件间的关系与运算20 事件的并 30 事件的交 50 互不相容事件60 逆事件 SABBABABABA=BABA返回主目录5SAB20 事件的并 30 事件的交BABASAB返回主目录6SBSA40 互不相容事件50 逆事件 BA=BABAABA返回主目录7随机事件的运算规律AAAAAA,交换律:ABBAABBA,结合律:CBACBACBACBA分配律:CABACBACABACBA 反演律（De Morgan定律）:AAAA,返回主目录82.1.1 频频 率率 1.随机事件的发生可能性有大小之分随机事件的发生可能性

3、有大小之分 投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小令小令出现点数，出现点数，出现偶数点，则出现偶数点，则B比比A更更容易出现。容易出现。2.频率的定义频率的定义 定义定义 如果在如果在n次重复试验中事件次重复试验中事件A发生了发生了nA次，则称次，则称nA/n为事件为事件A在在n次试验中发生的频率，记为次试验中发生的频率，记为fn(A)，即，即fn(A)频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。.Ann9 大量次的观察，发现事件发

4、生的频率具有稳定性。3.频率具有稳定频率具有稳定性性 例例1 抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。实 验 者NnHfn(H)蒲 丰404020480.5070K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005。n无穷大 m/n稳定值10频 率 稳 定 值 概率 事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质概率的定义返回主目录114.4.频率的性质频率的性质(1)0fn(A)1;(2)fn()=1；(3)若若A1，A2，An 是两两互不相容的事件，则是两两互不相容的事件，则11()().nnnknkkkfAf

5、A1.1.2 概率的定义概率的定义 简单说来，随机事件简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数发生可能性大小的度量（数值），称为值），称为A发生的概率，记作发生的概率，记作P(A)12 1.概率的一般（公理化）定义概率的一般（公理化）定义 定义定义 设设E是随机试验，是随机试验，是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于E的的每一事件每一事件A对应于一个实数对应于一个实数P(A)，称，称P(A)为事件为事件A的概的概率，若率，若P(A)满足下列三个条件：满足下列三个条件：(1)0P(A)1;(2)P()=1；(3)对于两两互不相容的事件对于两两互不相容的事件A1，A2，有，有11)()(kk

6、kkAPAP 以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列可加性。可加性。利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。13性质性质1()0.P 因为因为,由可列可加性由可列可加性()()()(),PPPP 0()1,P 故故()0.P 性质性质2 若若A1，A2，An为两两互不相容的事件，则为两两互不相容的事件，则 11()().nniiiiPAP A 由可列可加性有由可列可加性有 11()()niniPAP AA1()()()np Ap Ap 1()().np Ap A 2.概率的性质概率的性质14则则

7、P(BA)=P(B)P(A).证明证明 由于由于 B=A(BA)且且 A.(BA)=,P(B)=P(A)+P(BA),于是于是 P(BA)=P(B)P(A).推论推论1 (B-A)=P(B)-P(AB).推论推论2 若若A B,则则P(B)P(A).性质性质3 设设A，B是两事件，若是两事件，若A B,AB15性质性质4 对于任一事件对于任一事件A，有，有()1().P AP A,AA因因,AA则有则有1()()(),PP AP A 于是有于是有()1().P AP A AA16 性质性质5 设任意两个事件设任意两个事件A、B，则，则 P(A B)=P(A)+P(B)P(AB)证明证明 由右图

8、可知由右图可知 A B=A (B-AB)且且 由概率可加性及性质得由概率可加性及性质得 P(A B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB）A(B-AB)=，AB B 推论推论1.P(AB)P(A)+P(B).推论推论2.设随机事件设随机事件A1,A2,A3,则则)()()()()()()()(321323121321321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP1A2A317推论推论3 设设A1，A2，An 是是 n 个随机事件，个随机事件，则则nnjinnkjijniiniikjiiAAAPAApAPAP1111)()()()(112(1)().nnP AAA 18

9、 例例 1 设事件设事件A、B、AB的概率分别为的概率分别为p、q、r，求求P（AB）,P（A ），），P（B），），P（）BABA 解解（1）因为）因为P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB），所以），所以 P（AB）=p+q-r（2）因为）因为A =A-AB且且AB A，故，故BP（A qrrqppABPAPB)()()()同理可求出同理可求出P（prBA)（3）因）因 =，所以，所以 BABArBApBAP1)(1)(19 1.适用的范围广；2.提供了估算概率的方法；3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法。概率统计定义的优点：概率统计定义的优点：1.要确定某事件的概率，就必须进行大

10、量实验，这在实际中难以办到；2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率的稳定值。返回主目录古典概型概率统计定义的不足：概率统计定义的不足：20n 当涉及随机变量时，我们必须首先定义概率空间；也就是说，我们需要设定一个框架来对偶然性和相应概率进行定义而不用担心一致性问题。n 概率的定义具有一致性，具有两个条件：（1）（2）概率的一致性问题概率的一致性问题返回主目录古典概型()0()P AA()1AdP A21n在实际工作中，我们会经常考察有条件的随机事件，即在一些信息已知的情况下，某一随机现象的变化。n例如，央行加息后股票价格或债券价格的涨落情况、国家的税收政策发生变化后投资回报将如何变动

11、等等，都是典型的条件随机现象，这就是我们在此拟要考察的条件事件和条件概率问题。在后面有关鞅的定义和讨论中，人们会看到条件概率和条件期望更多的作用。条件概率条件概率22在初等概率论中，我们已经学过，当事件B发生时事件A的概率为 P(A/B)=P(AB)/P(B),P(B)0简称事件B关于事件A的条件概率。其中，A/B表示条件事件。然而，上述公式并不全面，因为当事件B已知后，B的逆 也成为已知信息，人们自然也会关心在已知 情况下事件A的概率，即P(A/)。即使求出P(A/)，也仍存在美中不足的地方，因为信息的最完备形式是代数，所以只有在考察了由B与生成的代数(B )下事件A的概率后，才可能对B发生

12、以后事件A发生的可能性有更深刻、更全面的认识和了解。为此，需定义和计算P(A/(B )。BBBBB23 2425设设(,F,P)为概率空间，为概率空间，A F,B F，且，且P(B)0。利用公式利用公式P(A/B)=P(AB)/P(B)可知，可知，PB=P(/B)是是由事件由事件B和概率测度和概率测度P诱导出来的、定义在可测空诱导出来的、定义在可测空间间(,F)上的概率测度，于是得到一个新的概率空上的概率测度，于是得到一个新的概率空间间(,F,PB)。对。对(,F,PB)上的随机变量上的随机变量 关于概率关于概率测度测度PB求积分。若该积分存在，则称此积分为已知求积分。若该积分存在，则称此积分

13、为已知事件事件B发生条件下发生条件下 的条件期望，记为的条件期望，记为E(|B)，即，即E(/B)=(w)dPB=P(dw/B)条件期望条件期望 262.2 概率空间概率空间样本空间的概念样本空间的概念 我们知道：如果某个实验在相同条件下可以重复进行，每次实验的结果不止一个，而且事前不能确定，我们就称为随机试验；（1）随机试验的每个可能结果称为事件；（2）不可能再分的事件称为基本事件，常用只包含一个元素的单点集来表示；（3）由若干基本事件组成的事件称为复合事件，一般用包含若干个元素的集合表示。所有基本事件对应的元素的全体组成的集合称为样本空间，样本空间，记作；样本空间中的每一个元素称为样本点。

14、27样本空间是一个必然事件，其逆事件是一个空集样本空间是一个必然事件，其逆事件是一个空集。样本空间可以是一个离散的集合；如抛一枚硬币，分别样本空间可以是一个离散的集合；如抛一枚硬币，分别用用1和和2表示正面和反面的事件，则样本空间表示正面和反面的事件，则样本空间=1,2是由有限个离散点组成的集合。是由有限个离散点组成的集合。样本空间也可以是一个连续的区间或空间。考察样本空间也可以是一个连续的区间或空间。考察2004年年我国大学生的就业比率，其基本事件为我国大学生的就业比率，其基本事件为0,1区间中每区间中每一个有理数组成的集合，于是样本空间可用区间一个有理数组成的集合，于是样本空间可用区间0,

15、1中所有有理数组成的集合表示，是含有无限个样本点的中所有有理数组成的集合表示，是含有无限个样本点的集合；集合；考察某三支股票未来价格（分别设为考察某三支股票未来价格（分别设为p1，p2，p3）的）的变化情况，其基本事件为变化情况，其基本事件为(p1，p2，p3)，其中，其中p10，p20，p30，于是样本空间，于是样本空间=(p1，p2，p3)|0 p1 +，0 p2 +，0 p3 +是一个含是一个含有无限点的连续三维空间。有无限点的连续三维空间。样本空间的表示样本空间的表示28为了保证考察问题的完备性，避免运算、推理过程出现矛为了保证考察问题的完备性，避免运算、推理过程出现矛盾，就需要所考察

16、事件的集合的构成必须遵循一定规则，盾，就需要所考察事件的集合的构成必须遵循一定规则，于是引出了于是引出了代数的概念。简单来讲，代数的概念。简单来讲，代数就是根代数就是根据考察和评价的需要从据考察和评价的需要从的子集中挑选出的集合（即事的子集中挑选出的集合（即事件），并由这些集合按照一定规则构成的集合簇，具体件），并由这些集合按照一定规则构成的集合簇，具体定义为：定义为：定义定义1 设设为样本空间，为样本空间，F是由是由的一些子集（或事件）的一些子集（或事件）组成的集合簇，若组成的集合簇，若F满足下列条件：满足下列条件：(i)F，即，即F包含了空间包含了空间本身；本身；(ii)若若AF，则，则A

17、的逆事件的逆事件F，即如果事件，即如果事件A（A为为的一个子集）属于的一个子集）属于F，则则A的补集也属于的补集也属于F；(iii)若若AiF，i=1,2,+，则，则 AiF，即如果，即如果的的可列子集属于可列子集属于F，则这些可列子集的并集也属于，则这些可列子集的并集也属于F。则称则称F 为一个为一个代数。代数。代数的概念代数的概念 29显然，显然，代数不止一个。对于一个给定的样本空间代数不止一个。对于一个给定的样本空间，其最小的其最小的代数是由空集代数是由空集和和构成的，而最大的构成的，而最大的代数则由代数则由的幂集，即的幂集，即的所有子集构成。最大的的所有子集构成。最大的代代数由数由的的

18、2个子集组成。个子集组成。令令G为为任一子集簇，所有包含任一子集簇，所有包含G的的代数的交是包含代数的交是包含G的最小的的最小的代数，称为由代数，称为由G生成的生成的代数，记为代数，记为(G)。由实数集由实数集R1中的所有子集中的所有子集(a，b组成的集合蔟而生成的组成的集合蔟而生成的代数是包含所有代数是包含所有R1区间族的最小区间族的最小代数，称为代数，称为Borel代数，记作代数，记作B(R1)。B(R1)包含了包含了R1所有开集和闭所有开集和闭集，也可以看作是从集，也可以看作是从R1的区间开始经过一系列所有可能的区间开始经过一系列所有可能的有限和可列集合的并、交、补等运算而获得的。的有限

19、和可列集合的并、交、补等运算而获得的。对于一般的对于一般的n维维Eulid空间空间Rn，可类似得到，可类似得到Rn的的Borel代代数，记作数，记作B(Rn)，只不过，只不过Rn的区间应为的区间应为(a,b=（x1,x2,xn）|ai xibi,a=(a1,a2,an),b=(b1,b2,bn),i=1,2,.代数的概念（续）代数的概念（续）30F为为的的代数表明，代数表明，F中的元素，即由中的元素，即由中元素构成中元素构成的、并属于的、并属于F的事件，是可测的，于是我们将的事件，是可测的，于是我们将F中的所中的所有元素称为可测集，将有元素称为可测集，将与其可测集簇与其可测集簇代数代数F组成的

20、组成的一对（一对（,F）称为一个可测空间。）称为一个可测空间。对可测空间（对可测空间（,F），我们需要知道），我们需要知道F中的可测集即事中的可测集即事件出现的可能性大小，也就是需要对件出现的可能性大小，也就是需要对F中的事件进行评中的事件进行评价和测度。为避免出现矛盾的情况，测度方式也需要按价和测度。为避免出现矛盾的情况，测度方式也需要按照一定的规则进行，于是，有照一定的规则进行，于是，有定义定义2 对可测空间（对可测空间（,F），在），在F上定义一个函数上定义一个函数：F R1称为一个测度，若满足：称为一个测度，若满足：(i)()=0；(ii)AF，0(A)+；(iii)AiF，i=1,2

21、,+，且，且Ai Aj=（），则），则(Ai)=(Ai)。可测空间的概念与表示可测空间的概念与表示ji 1i1i31 对随机事件的测度，人们普遍习惯于用概率测度，对随机事件的测度，人们普遍习惯于用概率测度，记为记为P。概率测度。概率测度P满足满足P()=1，P()=0，并，并对于对于 A F，皆有，皆有0 P(A)1。于是，样本空间于是，样本空间、的需要测度的的需要测度的代数代数F与与定义在定义在F上的测度方式、即概率测度上的测度方式、即概率测度P：F0,1构成的三元体构成的三元体(,F,P)，称为概率空间。，称为概率空间。为保持概率空间的完备性，我们常常假设为保持概率空间的完备性，我们常常假

22、设F 包含包含了了的所有对的所有对P可忽略的子集，此时称可忽略的子集，此时称(,F,P)是是完备的概率空间。所谓对完备的概率空间。所谓对P可忽略的子集，是指对可忽略的子集，是指对A F，P(A)=0，则称包含于，则称包含于A的子集为对的子集为对P可忽可忽略的子集。略的子集。完备的概率空间及其表示完备的概率空间及其表示32为清楚起见，我们将本节定义概率空间的基本思路用图示方为清楚起见，我们将本节定义概率空间的基本思路用图示方法表示出来：法表示出来：完备的概率空间及其表示（续）完备的概率空间及其表示（续）考察对象与范围（样本空间）拟评价的事件集合（代数F）评价方法（概率测度P）可测空间（，F）概率空间(,F,P)