《D44特殊函数积分》PPT课件

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1、3 基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例特殊函数的不定积分本节内容:第四四章 3.1 3.1 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.将下列真分式分解为部分分式:.)22()1()2(22xx

2、xx解解:(1)用拼凑法222222)1()1(1xxxx)1(122xx22)1(1x22)1(xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 222)1(1)1(xx)1(22xx22)1(1x22)1(xx21x211x22)1(1x(2)赋值法(P.170.例3)1x51B机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入等式两端分别令2,1,0 x522DA56442DCA原式 令可得)22()1(22xxxx22)1()1(22xxDCxxBxAxxDCxxxBxxxA222)1)()22()22)(1(0210DCA251A258,251DC)22(258)1(51)1(25122xxxxx四种典

3、型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:CaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xqxpxNxMd.32xqxpxNxMnd)(.42)1,04(2nqp变分子为)2(2pxM2pMN 递推公式 nauu)(d22分母配方)(d2qpxx有理函数的原函数一点是初等函数 例例2.222)(daxxCaxaarctan213机动 目录 上页 下页 返回 结束)(21222axxa)8172.()1(d222例Pxxxxxxxxxd)1(1d11d12222x1解解:已知21x211x22)1(1x222)1(1xx 原式xarc

4、tanCxxxarctan1212Cxxxxarctan2312112例例3.求.d3222xxxx解解:原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx)32ln(212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式）例5171.()22()1(d22Pxxxxx)22(258)1(51)1(25122xxxxx解解:已知)22()1(22xxxxxxxxxxxxd)22(8251)1(d51)1(d2512211511ln251xxxxxxd227)22(25122111511l

5、n251xx1)1()1d(25722)22d(501222xxxxxx11511ln251xxCxxx)1arctan(257)22ln(5012例例5.求求.d)22(222xxxx解解:原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x2212xxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求求解解:原式xxd14)1(2x)1(2 x211d4xx2arctan2211xx2

6、1221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0(x例例7.求求.d)cos1(sinsin1xxxx解解:令,2tanxt 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122,2arctan tx 设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式,

7、xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则xsin212ttxcos2211ttxdttd122例例7.d)cos1(sinsin1xxxx,2tanxt 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2121tt212tt)1(2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21例例8 1）求求.)0(cossind2222baxbxax解解:原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan

8、(1xbabaC说明说明:通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便.的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.2）求）例（13174.dsin1sin22Pxxx解解 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxdsin11sin122xxxxxdtansecsecd222xxx2tan21)d(tan2)tan2(1)tan2d(21xxxCxx)tan2arctan(21例例9.求.d3cossinxxx解解:xx3cossin)3sin()3sin(21xxxx原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束)2sin4(sin21xxxx

9、xd)2sin4(sin21x4cos4121Cx 2cos21Cxx4cos812cos41.dcossinxnxmx.dsinsinxnxmx.dcoscosxnxmx例例10.1）求.dcossinxxxnm机动 目录 上页 下页 返回 结束.dsin5xx解解:原式=22)cos1(x.)(cosd)coscos21(42xxxxcosx3cos32.cos515Cx)(cosdx)2cos2cos21(241xx 2）求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd

10、)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.3 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp例例11.求.21d3xx解解:令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33

11、221uuu1lnC3223)2(x323x321ln3xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.求.d3xxx解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求.d11xxxx解解:令,1xxt则,112tx22)1(d2dtttx原式原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxd11)132例例1

12、4 求下列积分:)1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52)1(2 x)1d(x2212xx Cx21arcsin5机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,思考与练习思考与练习求下列积分:)0(d.1662axxaxxxxcossind.23解解:1.23233)()(d31x

13、ax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612.原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.求不定积分解解:.d1)1(122xxx令,sintx,sin1122txttxdcosd 原式ttttdcos)sin1(cos2ttdsin112tttandtan2112tttand)tan2(112221Ct)tan2arctan(21Cxx212arctan21机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttttdtansecs

14、ec2221x21xt4.求不定积分解：解：)1.179.(.d)1(126Pxxx令,1xt 则,1tx ttxd1d2,故xxxd)1(126161t)11(2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctanCxxxx1arctan1315135机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.作业作业P178 1,5,9,12,13,14,18,19,21第五节 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积

15、分法换元积分法xxfd)(第一类换元法第一类换元法tttfd)()(第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)(tx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.分部积分法分部积分法vuxvud使用原则:1)由v易求出 v;2)xvud比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为.vxvu d机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.需要注意的问题

16、需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx,)10(dsin122kxxk例例1.求.d1xx解解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF连续,)1()1()1(FFF得21211121CC221121CC记作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,)1(221Cx,)1(221Cx利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设 解解:)(xF为)(xf的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxFxf有有且,1)0(F,0)(xF求.)(xf由题设,)()(xfxF则,2sin)()(2xxFxF故xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos1即CxxxF4sin)(412,1)0(F,1)0(2FC0)(xF,因此14sin)(41xxxF故)()(xFxf14sin2sin412xxx又机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P179 2，4，5，10，11，19，21，22，24第五节 目录 上页 下页 返回 结束