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1、第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考2一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:,)(00的范围的范围不出不出点点点点中的一中的一为为定义于区域定义于区域设函数设函数DzzDzDzfw ,)(.)(00的导数的导数在在这个极限值称为这个极限值称为可导可导在在那末就称那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记作记作 ,)()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 3在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzz
2、z.)()(,0000都趋于同一个数都趋于同一个数比值比值时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域即即zzfzzfzDzz .)(,)(可导可导在区域内在区域内就称就称我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数DzfDzf4例例1 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 5例例3 是否可导？是否可导？问问yixzf2)(zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0，轴的直线趋向于轴的直线趋向于
3、沿着平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 y6xyoz0 yyixyixz 2lim0,1lim0 xxx，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0,22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 72.可导与连续可导与连续:函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但但函数函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证 ,0可导的定义可导的定义根据在根据在 z,0,0 ,|0 时时使得当使得当 z,)()()(000 zfzzfzzf有
4、有)()()()(000zfzzfzzfz 令令8,0)(lim 0 zz 则则 )()(00zfzzf 因为因为,)()(lim 000zfzzfz 所以所以 .)(0连续连续在在即即zzf证毕证毕 ,)()(0zzzzf 93.求导法则求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来到复变函数中来,且证
5、明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:.,0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn 10 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )().()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)(,)()(,)(1)()7(wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中114.微分的概念微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变复
6、变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.)()(,)(,0)(lim ,)()()()(,)(000000线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)(,)()(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数定义定义12.)(,00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz特别地特别地,)(时时当当zzf zwdd zzf )(0,z ,d)()(d00zzfzzf
7、w 0dd)(0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)(,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf13二、解析函数的概念二、解析函数的概念1.解析函数的定义解析函数的定义.)(,)(000解析解析在在那末称那末称导导的邻域内处处可的邻域内处处可及及在在如果函数如果函数zzfzzzf).()(.)(,)(全纯函数或正则函数全纯函数或正则函数个解析函数个解析函数内的一内的一区域区域是是或称或称内解析内解析区域区域在在则称则称内每一点解析内每一点解析区域区域在在如果函数如果函数DzfD
8、zfDzf142.奇点的定义奇点的定义.)(,)(00的奇点的奇点为为那末称那末称不解析不解析在在如果函数如果函数zfzzzf根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等不等价价的概念的概念.即函数在一点处可导即函数在一点处可导,不一定在该点不一定在该点处解析处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.15例例4 .)(2)(,)(22的解析性的解析性和和研究函数研究函数zzhyixzgzzf 解解由本节
9、例由本节例1和例和例3知知:;)(2在复平面内是解析的在复平面内是解析的zzf ;2)(处处不解析处处不解析yixzg ,)(2的解析性的解析性下面讨论下面讨论zzh zzhzzh )()(00zzzz 202016zzzzzzz 0000)(,00zzzzz ,0)1(0 z.0)()(lim000 zzhzzhz,0)2(0 z ,)(0000zxxkyyzz趋于趋于沿直线沿直线令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 1117 ,的任意性的任意性由于由于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz .,0 )(2
10、析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义不可导不可导而在其他点都而在其他点都处可导处可导仅在仅在因此因此 zzzh18例例5.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 解解 ,0 1 处处可导处处可导在复平面内除在复平面内除因为因为 zzw ,1dd 2zzw 且且 ,0 外处处解析外处处解析在复平面内除在复平面内除所以所以 zw .0 为它的奇点为它的奇点 z19例例6.)Re()(的可导性与解析性的可导性与解析性研究函数研究函数zzzf 解解,0)1(zzfzfz )0()0(lim0,0)Re(lim0 zzzz .0 )Re()(处可导处可导在在故故 zzzzf,0
11、)2(zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()(20)Re()Re()Re(zzzzzzz ,yixz 令令zzfzzf )()(,xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因为因为,)()(lim 00 xzzzfzzfxy 21 .)()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz .,0 )(析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义可导可导而在其他点都不而在其他点都不处可导处可导仅在仅在因此因此 zzf ,)(,0 不可导不可导时时即当即当zfz 课堂练习课堂练习.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 答案答案处处不可导处处不
12、可导,处处不解析处处不解析.22定理定理 .)()()()1(内解析内解析在在除去分母为零的点除去分母为零的点和、差、积、商和、差、积、商的的与与内解析的两个函数内解析的两个函数在区域在区域DzgzfD.)(,)(,.)(,)()2(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明以上定理的证明,可利用求导法则可利用求导法则.23根据定理可知根据定理可知:(1)所有多项式在复
13、平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.,)()()2(它的奇点它的奇点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的区域内是解析零的点的区域内是解析在不含分母为在不含分母为任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzP24三、小结与思考三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法求导方法.注意注意:复变函数的导数定义与一元实变函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求它们的一些求导公式与求导法则也一样导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限然而复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关,这表明它在这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多一点可导的条件比实变函数严格得多.25思考题思考题?)(00解析有无区别解析有无区别可导与在可导与在在点在点复变函数复变函数zzzf26思考题答案思考题答案 ,)(00可导可导解析必在解析必在在点在点zzzf反之不对反之不对.,0 )(02处可导处可导在在例如例如 zzzf .0 0处不解析处不解析但在但在 z放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.
西安交大复变函数课件21解析函数的概念
