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1、习题3.11将区间等分，并取的右端点为，试写出在区间a ,b上的Riemann和。2用定积分的定义求下列积分的值：（1）设，对作任意分划，取，计算；（2）计算积分 。3设有一直的金属丝位于轴上从处，其上各点处的密度与成正比，比例系数为，试用定积分表示该金属丝的质量.4在坐标原点放置一个电量为的点电荷产生一个静电场，另一个带电量为的点电荷在该电场力的作用下沿轴从移动到处，试用积分式表达该电场力所作的功.5若是上的单调函数，证明.6设，若改变f在有限个点处的值，而构成新函数，即当时，证明，且.7设，非负且不恒等于0，证明.8比较下列积分的大小：（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 。9证明下列不
2、等式：（1）；（2）；（3）；（4）。10设，证明不等式：，式中等号当且仅当在a, b上成比例时成立。（提示：设为任意实数，对在上积分）。11设，证明： 。12设在区间a, b上非负连续，证明： 。习题3.21用Newton-Leibniz公式计算下列定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）设，求.2设，试用Lagrange中值定理证明存在，使得 .3对下列各函数求指定的导数：（1），求;（2），求;（3），求;（4），求;（5），其中为连续函数，求;（6）， 求.4求下列函数的单调区间和极值点:（1）;（2）;（3）.5当时，连续且满足，求.6计算下列极限：（1）； （2）；（3）
3、； （4）。7设在上连续，证明函数在上严格递增。8求下列不定积分：（1）； （2）； （3） （为正整数）； （4）；（5）； （6）。9.设，（1）求函数；（2）讨论函数的连续性和可导性.10.设在区间上可积，证明函数在上连续.11.设在区间上连续，求证：（1），（2）在区间内有且仅有一个实根.习题3.31.利用换元积分法（）计算下列不定积分：（1）（为常数，）；（2） ；（3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）；（10）； （11）； （12）；（13） ； （14）； （15）；（16）； （17）； （18）；（19）； （20）； （21）；（22）； （23）
4、； （24）；（25）； （26）； （27）；（28）； （29）；（30）。2.利用换元积分法（）计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）；（10）； （11）； （12）；（13） 。 3.求下列定积分的值：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）。4将积分变换为区间上的积分.5设在上连续，利用定积分的换元法证明：（1）如果为奇函数，那么；（2）如果为偶函数，那么；（3）计算.6设为连续的周期函数，其周期为，利用定积分的换元法证明：（为任意常数）.7利用分部积分法计算下列不定积分：（1）； （2）
5、；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）； （11）； （12）（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18）；（19）； （20）.8求下列定积分的值：（1） ; （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）.9求下列积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.10证明下列递推公式：（1）设，则；（2）设，则。11设是区间上的连续函数，证明：，并计算积分 .12证明：（1）；（2） （其中连续）。13已知，计算.14设在上连续，,证明：.15设为正整数，利用的展开式证明：
6、。16设为连续函数，其中，证明：（1）对一切实数连续；（2）对，及，当充分小时，有.17计算下列和式的极限：（1）；（2）；（3）。18用三角函数恒等式将下列被积函数表示为余弦函数之和（Lagrange三角求和公式），证明Dirichlet积分：19将下列被积函数表示为第18题的被积函数之和，证明ejer积分：20设在上连续，为正整数，证明： 。21（1）设，试证： ；（2）设在上连续，试证：.习题3.41求下列各曲线所围成的平面图形的面积：（1） 与 ；（2） 与 ；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）的内部与的内部的公共部分；（8） ;（9）的内部与的内部的公共部分.2求抛物线与它在点及
7、处的切线所围图形的面积.3图中曲线为，求阴影部分面积和的最大值和最小值.4直线把椭圆分成两块，设小块面积为，大块面积为，求之值.5求下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转所产生的旋转体的体积：（1），绕轴与轴；（2）（）绕轴， （）绕轴， （）绕直线；（3）绕轴；（4），（）绕轴，（）绕轴。6求下列几何图形的体积：（1）求截锥体体积，其上、下底为半轴长分别等于A、B和a、b的椭圆，高为h.（2）设圆柱底半径为a，底面方程为求通过x轴的平面从圆柱上截下的弓形体的体积.7高为h，底为b的等腰三角形薄板，垂直地插入水中，底与水面齐平.试计算薄板一侧所受的静水压力.8在弹性限度内，已知1kg的力能使弹簧伸长
8、1cm，问：把弹簧拉长10cm，需作功多少？9修建天桥桥墩时需先围囹.先围一直径为20m，深为27m的圆柱形围囹，今欲抽尽围囹中的水，需作功多少？10一金字塔的底为正方形，边长200m，高140m，所用石料的比重为2500kg/m3，问建造时克服重力作功多少？11一比重为0.1，边长为a的正方体浮于水面，若将其全部按入水中，需作功多少？12证明极坐标系表示的平面图形绕极轴旋转所得旋转体的体积：。以此求出心脏线所围图形绕极轴施转的旋转体的体积.13设曲线位于间的弧段与x轴所围图形绕x轴旋转的施转体体积为，问a为何值时，使。习题3.61判定下列无穷积分的敛散性，如果收敛，计算它的值：（1）； （2）（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）.（11）（n为正整数）； （12）2判定下列无界函数积分的敛散性，如果收敛，计算它的值：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.3当k取何值时，反常积分收敛？又k为何值时它发散？4利用各种判别法，讨论下列无穷积分的敛散性：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.5利用各种判别法，讨论下列反常积分的敛散性：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.
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