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1、第四节第四节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化定理实对称矩阵的特征值必为实数定理实对称矩阵的特征值必为实数.证明证明:1(),0.ijn nnAaxXAXXXx设为实对称矩阵的特征值为对应的特征向量 即一、对称矩阵的性质表示的共轭复数,nTijnAAAAAaA表示的共轭复矩阵,由于是实对称矩阵,所以1nxXXx表示的共轭复向量,AXX于是由,TTTXA XXX所以,AXXAXX可得即取共轭.TTTXAX得取可转置()0.TXX所以,TAAA由,TTAXXXX即得,TTXXXX故0,所以因此即
2、是实数,.00XX由可知有至少不一量等于个分11 1111 10,0,(,)0Tnnnnxx xxXXxxx xx xx不放设则因此12121212 ,.Apppp设是实对称矩阵的两个特征值分别是对应的特征向量 若则与正交定理证明证明,21222111 AppApp,AAAT 对对称称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT .0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp.021 ppT1 ,.TAnPP APP APDDDA正交矩阵是对设为阶实对称矩阵 则必有使其中且的主对角线上的元素是的全部角形矩阵特征值定
3、理 ,AnAk设为阶实对称矩阵是的重特征值则:定理(2)k将它们,后,得到的个相互正交的单位正交特单位化化征向量.(1);k必有个线性无关的特征向量根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其详细步骤为：为对角矩阵，其详细步骤为：二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化1.11()|(),(),.iskiiijsiiAfEAijkn求的特征值:其中而且,i正交对每个求特位征向量单1212,iiiiikiiiikk然后再将正交化 单位化,得到个相互正交的单位特征向量2.120,(1,2,);iiiiikEA Xis即求的基础解系3.1211122,(,)s
4、kTskksPP APP AP 个个个则为正交矩阵 而且121112121(,)skksskP解解123220(1)()21 20214201,4,2.fEAA得的特征值例例 设实对称阵设实对称阵求正交矩阵求正交矩阵P将将A对角化对角化020212022A11(2),()01EA X对于求解齐次线性方程组11011201202012021000EAEA因为1323,12xxxx 得到同解方程组 3122,2,1,xxx 令得到231323 1单位化后得21,2 1故得到方程组的基础解系为224,()0,EA X对于求解齐次线性方程组222,1 得到基础解系2232.313单位化后得到33,()
5、,20EA X对于求解齐次线性方程组312,2 得到基础解系3132323 单位化后得到1231221333122(3)(,)333212333,142TPPP APP AP 为正交矩阵 且有1 1 11 1 11 1 1APA设求正交矩阵将对角化.例子212111(1)()|111111(3)00(),3.fEAA解得到的特征值二重11(2)0,()0,EA X对于解方程组123,xxx 得到同解方程组为1111111111000111000EAA 2300,11xx 令12111,001得到基础解系12121211111,1|2602单位化得到12211122111,121(,)11,(,)201 将正交化223,()0,EA X对于解311,1 得到基础解系为3111,31 单位化得到123(3)(,)P 1003P AP且有111263111,26321063
线性代数44实对称矩阵对角化ppt课件
