控制系统的状态空间模型

《控制系统的状态空间模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《控制系统的状态空间模型（92页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、厦门大学机电系厦门大学机电系现代控制理论现代控制理论第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式1状态空间的线性变换状态空间的线性变换2离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式3时变和非线性系统的状态空间表达式时变和非线性系统的状态空间表达式4 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型1 在经典控制理论中，对一个线性定常系统的，可在经典控制理论中，对一个线性定常系统的，可用常微分方程或传递函数加以描述。将某个变量作为用常微分方程或传递函

2、数加以描述。将某个变量作为输出，和输出联系起来。输出，和输出联系起来。在现代控制理论中，系统的动态特性由状态变量在现代控制理论中，系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。动状态。buxaxaxax012 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型2如图所示如图所示R-L-C电路，其中电压电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容为电路的输入量，电

3、容上的电压上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间为电路的输出量，求该网络输入与输出之间的关系。的关系。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出:()()()Ri()()()()()ccci tutdi ttLUtu tdtdUtCi tdt解 以、作为中间变量，列写该回路的微分方程，则选)(,21tuxixc212211)()(xtuxxCtuxxLxRc 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型3)(1)(11212211tuxyxCxtuLxLxLRxc21212110)(01011

4、-xxytuLxxCLLRxx向量的形式为：写成矩阵整理得到：整理得到：x)(xxCytBuA 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型4例例1 设有一质量弹簧阻尼系统。设有一质量弹簧阻尼系统。F(t)为输入力，为输入力，y(t)为质量为质量块的输出位移。块的输出位移。)()()(.)()(.)()(2tFtkytyftymdtydmtyftkytF 解：解：)()()(.)()(.)()(2tFtkytyftymdtydmtyftkytF 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控

5、制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型5)()(1txty选)()(2txty)2).(1)()()()1.(.).()(21tFmtymktymftxtytx121221)(1xytFmxmfxmkxxx则有：1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型621212101)(1010 xxytFmxxmfmkxx写成矩阵的形式：x)(xxCytBuA 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型7x)(xxCytBuA输入方程:系统的输入量与

6、中间变量之间的函数关系系统的输入量与中间变量之间的函数关系输出方程:系统的输出量与中间变量之间的函数关系系统的输出量与中间变量之间的函数关系 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型8状态空间表示法的基本概念状态变量状态变量状态向量状态向量状态空间状态空间状态方程状态方程l状态：表征系统运动的信息和行为l状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量由状态变量构成的向量x1(t)x2(t):xn(t)以各状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴组成的几维空间。由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的

7、一阶微分方程组。T123()(),(),().()nXtx tx tx tx t 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型9状态空间表达式状态空间表达式 状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为的完整描述。DuCxyBuAxtx)(y:输出向量 u:输入向量 A:系数矩阵 B:控制矩阵（输入矩阵）C:输出矩阵D:直接矩阵 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型10rmrrmmrnrrnnnmnnmmnnnnn

8、nrmndbddbddddDcccccccccCbbbbbbbbbBaaaaaaaaaAyyyyuuuuxxxx211222111211211222111211211222111211211222111211212121,1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型11状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图一、模拟结构图一、模拟结构图 用来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，用来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。对建立系统的状态空间表达式很有帮助。1状状态态空空间间

9、 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型12二、绘制步骤二、绘制步骤1、根据所给的输出方程，画出相应的加法器、比例器和状态变、根据所给的输出方程，画出相应的加法器、比例器和状态变量；量；2、积分器的数目应等于状态变量个数，将他们画在适当的位置，、积分器的数目应等于状态变量个数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量每个积分器的输出表示相应的某个状态变量3、最后根据所给的状态方程用箭头将这些元件连接起来。、最后根据所给的状态方程用箭头将这些元件连接起来。1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第

10、一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型13例：画出一阶标量微分方程 的系统模拟结构框图：buaxx 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型14例1-3：画出三阶微分方程 的模拟框图：上式可改成：xaxaxabux012 其模拟结构图如下：buxaxaxax012 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型15同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。1状状态态空空间间 2 3 4厦

11、门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型16状态空间表达式的建立（系统的实现）状态空间表达式的建立（系统的实现）用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。建立表达式的三个方法如下：1由系统框图（传递函数方块图）来建立；2从系统的物理或化学的机理出发进行推导；3由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型17（一）从系统方块图出发建立状态空间表达式（一）从系统方块图出发建立状态空间表达式 3 3、根据、根据

12、系统的实系统的实际连结，际连结，写出相应写出相应的状态空的状态空间表达式间表达式2.把每个把每个积分器的积分器的输出选作输出选作为一个状为一个状态变量态变量xi1.1.将系统将系统框图的各框图的各个环节变个环节变换成相应换成相应的模拟结的模拟结构图构图 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型18例例1-4 系统传递函数方块图如图所示，输入为系统传递函数方块图如图所示，输入为u，输，输出为出为y。试求其状态空间表达式。试求其状态空间表达式。1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制

13、系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型19从图可知1111141313322222233111xyuTKxTKKxTxxTKxTxxTKx状态方程输出方程 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型20 xyuTKxTTKKTKTTKx0010010100011114122233 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型21 建立小车-倒立摆系统的状态空间模型。假设小车和摆仅在一个平面内运动，忽略磨擦及空气阻力。解：建立小车水平方向上建立平

14、衡方程ulydtdmdtydM)sin(2222）（1sincos)(2umlmlymM 在垂直方向上，建立小球的平衡方程sincosmgma)2(sincossincoscos22mgmlmlym （二）从系统的机理出发建立状态空间表达式（二）从系统的机理出发建立状态空间表达式 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型22mgmlymumlymM )(假设 很小，。因此，上面两个式子可化简为：和1cos,0sinuMlMlgMmuMMmgy1)(1 选择状态变量：4321,xxyxyx建立状态空间表达式 1状状态态

15、空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型234321432143210001/10/100/)(0010000/000010 xxxxyuMlMxxxxMlgMmMmgxxxx4321432143210001101001100100001000010 xxxxyuxxxxxxxx设 M=1，m，l=1 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式ubububyayayaymm

16、mmnnn0)1(1)(01)1(1)(.（以输入函数不含有导数项情况为例）ubyayayaynnn001)1(1)(.1.选状态变量 x 选各阶导数)1(21.,nnyxyxyx 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型2、建立关于 x 的方程方程ubxxxxaaaaxxxxnnnnnn01211210121000100000000010ubxaxaxaubyayayayyxxxxxxxnnnnnnnnn0121100)1(110)()(12121,1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章

17、第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型CXxxxyn.0.01213、系统输出方程 1210100000000010nnaaaaA0000bB0001C0000D 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型能控标准型A的对角线上方的元素均为1，最后一行为微分方程各阶导数的系数，其余为0，这样的矩阵叫做友阵。B阵的特征：最下边一行元素为单位阵，其余为0。系统的A B具有上述特征时，系统为能控标准型。122111010000001000000000,0000101nnnnnAbaaaaac 1状状态态空空间间

18、 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型 系统的方程为 ，求系统的状态空间表达式。uyyyy616116 能控标准型 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型系统的模拟结构图能控性：是控制作用u(t)支配系统x(t)的能力 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型不能控系统不能控系统 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控

19、制系统的状态空间模型31（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式 n 阶常系数微分方程（单入单出）ubububyayayaymmmmnnn0)1(1)(01)1(1)(.首先将n 阶常系数微分方程通过拉氏变换转换为传递函数：微分方程拉氏变换传递函数 G(s)1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型32110110,1()1()(.)()().()()nnnnnnnmnmZsUsSaSaSZsaSZsaZsUs设110110(.)()()()()/()(.)()()mmmmnnn

20、b Sb SbY sZ sG sY s U sSa SaZ s U s 110110(.)()()()()/()(.)()()mmmmnnnbSb SbY s ZsGsY s UsSa SaZs Us 110110,1()1()(.)()().()()nnnnnnnmnmZsUsSaSaSZsaSZsaZsUs设)2(.)()(012211bSbSbSbsZsYnnnn(1)一、直接法一、直接法 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型33拉氏反变换拉氏反变换1210)1(1)(,.,.nnnnnzxzxzxuzaz

21、az110110,1()1()(.)()().()()nnnnnnnmnmZsUsSaSaSZsaSZsaZsUs设1210)1(1)(,.,.nnnnnzxzxzxuzazaz(1)uxxxaaaxxxnnn1001000102111021 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型34112,nnxz xz xz其 中)2(.)()(012211bSbSbSbsZsYnnnn)()(.)()()(012211sZbsSZbsZSbsZSbsYnnnn拉氏反变换nnxxxbbbCxy21110zbzbzbzbynnn

22、n01)2(2)1(1.1021121.xbxbxbxbynnnn所以由于 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型35nnxxxbbbCxy2111001021121)()()(asasbsbsbsUsYsGnnnnnnnuxxxaaaBuAxxnn10010001021110能控标准型 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型3610642231494)(2323SSSSSSsG解：解：（1）解决分母比分子高一阶10642322)(23

23、2SSSSSsG将分母最高次幂变为1)(5322321)(2)()()(53223212)(232232suSSSSSsusYsusYSSSSSsG 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型37（2）直接应用公式)(221123100235100010221321321tuxxxyuxxxxxx即 y=Cx+DuD为直接矩阵，输入对输出的直接作用 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型38二、串联法二、串联法1219884)(23sssS

24、sG已知系统的传递函数求其状态空间表达式。48431111219884)(23sssssssssG解：系统模拟框图如下：1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型39分别写出每个一阶环节的状态方程1111xyuxx 222223xyuxx 333333484uxyuxx 消去中间变量23233122114843xxyxxxxxxuxx3221uyuy 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型40321321321840001410031001

25、xxxyuxxxxxx则状态空间表达式为：系统的模拟框图为：1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型41二、并联法二、并联法)()()()()()(21nssssMsGsUsY),2,1(niinnscscsc2211ci 可通过拉氏变换求留数niiisc1)()(1sUscsYniii)(limicssGisi 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型42输入与状态变量的关系输出与状态变量的关系)2()()()1()(1)(1sxcsYs

26、Ussxiniiii)()(1sUscsYniii将 拆分为2部分分别进行拉氏逆变换，求解状态空间表达式 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型43由)1()(1)(sUssxii反变换：uxxuxxuxxuxxnnniii.222111得)()()(sUsxssxiii 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型44由)1()(1)(sUssxii反变换：uxxuxxuxxuxxnnniii.222111得即：)()()(sUsxssxi

27、iiuxxxxxxnnn111212121 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型45)2()()(1niiisxcsYnnniiixxxccctxcty21211,)()(输出方程拉氏逆变换 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型46)()()()()()(21nssssMsGsUsYnnniiixxxccctxcty21211,)()(uxxxxxxnnn111212121 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系

28、 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型47解耦系统图形解耦系统图形特点：n个子系统互不相关，都是独立的，即解耦系统 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型4861166)(23ssssG3,6,33,2,1321321cccuxxxxxx111300020001321321321363xxxy33261361166)(23sssssssG 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型49多输入、多输出系统微分方程的实现多

29、输入、多输出系统微分方程的实现 一双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为：现采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解：对每一个方程积分：1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型50多输入、多输出系统微分方程的实现多输入、多输出系统微分方程的实现 1状状态态空空间间 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型51状态空间表达式？状态空间表达式？2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间

30、模型控制系统的状态空间模型52传递函数和状态空间模型间的转换)()()(sUsYsG现代控制理论：现代控制理论：引入了状态变量，采用状态空间来表述系统的输入引入了状态变量，采用状态空间来表述系统的输入输出之间的关系。输出之间的关系。G(s)ABCD?经典控制理论：经典控制理论：传递函数为单输入单输出线性定常系统，在零初始传递函数为单输入单输出线性定常系统，在零初始条件下：条件下：状态空间表状态空间表达式唯一么达式唯一么?2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型53如图所示如图所示R-L-C电路，其

31、中电压电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容为电路的输入量，电容上的电压上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间为电路的输出量，求该网络输入与输出之间的关系。的关系。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出:()()()Ri()()()()()ccci tutdi ttLUtu tdtdUtCi tdt解 以、作为中间变量，列写该回路的微分方程，则选)(,21tuxixc21212110)(01011xxytuLxxCLLRxx 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间

32、模型54如图所示如图所示R-L-C电路，其中电压电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容为电路的输入量，电容上的电压上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间为电路的输出量，求该网络输入与输出之间的关系。的关系。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出:()()()Ri()()()()()ccci tutdi ttLUtu tdtdUtCi tdt解 以、作为中间变量，列写该回路的微分方程uLCuLCdtduLRdtudccc1122将下式代入上式：uLCxLRxLCuxxxuxuxccc1-1-,2122121 则选择 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1

33、3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型5521212101)(10-1-10 xxytuLxxLRLCxx为：因此，状态空间表达式21212110)(01011xxytuLxxCLLRxxccuxux21,状态变量选择cuxix21,状态变量选择 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型56状态空间模型的转换传递函数传递函数G(s)DC,B,(A,)D,C,B,A(?A,B,C,Duxyxx 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4

34、厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型57xxxx1T,T则令uxxBA对于uxxuxxTuxxxBATBTATBATT111：同乘uxuxuxyDCDCTDC1DD CTC TBBTATA11，由此得到：)DC,B,(A,)D,C,B,A(T 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型58例题：考虑以下状态空间模型xyuxx2110011321选变换矩阵1-1-11-T则1-11-1-21T1-，通过变换得到：2/32/11-11-1-2121CT

35、C1-1-11-10011-1-11-TBB21/12/32/72/11-11-1-1-3-211-1-11-21TATA11 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型状态空间表达式转换为约旦标准型这里的问题是如何将 变换为：59有重根时无重根时 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型1.系统特征值系统预备知识系统特征值就是系统矩阵 的特征值，也即特征方程的根：方阵 A 且有 n 个特征值系统特征值

36、的不变性60 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型一个 维矢量 ：经过以 作为变换阵的变换，得到一个新的矢量矢量 经过线性变换后，方向不变，仅长度变化 倍，则称 为 的对应于 （特征值）的特征向量，此时有系统矩阵 A 的特征向量61P35 例1-9 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型62系统当 A 阵的特征值无重根时，将系统转换成约旦标准型的转换矩阵 T 由 A 的特征矢量 构成，即 证明)

37、,(21nPPPAAT),(2211nnPPPnnPPP00),(2121nT0021nATT11有重根P38 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型63由状态空间表达式求传递函数阵 G(s)DuCxyBuAxx 拉氏变换：)()()()()()()()()()()()()(1sBuAsIsxsBusxAsIsBusAxssxsDusCxsYsBusAxssxG(s)ABCD?2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制

38、系统的状态空间模型64)()()()()()()(1sBuAsIsxsBusxAsIsBusAxssx由上式得：由于)()()(1sDusBuAsICDuCxsY1()()()Y sG sC sIABDu s意义：建立现代与经典的关系，从现代的状态方程的ABCD可求出传递函数G(s)则)()()()()()()(1sBuAsIsxsBusxAsIsBusAxssx)()()()()()()(1sBuAsIsxsBusxAsIsBusAxssx 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型651010

39、B=020110 001ACD例 1.7 已 知0101000202sssIAss 解：解：例求传递函数 2状状态态空空间间的的线线性性变变换换 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型6611AsIAsIAsI201100102ssss102011011(1)(2)02ssssss 1100101011()0110110022ssG sss多输入多输多输入多输出系统的传出系统的传递函数递函数 P44 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模

40、型67状态空间模型的转换传递函数传递函数G(s)DC,B,(A,)D,C,B,A(T 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型68等价的状态空间模型是否有相同的传递函数？)DC,B,(A,)D,C,B,A(T假设：DBAsICsG1)(则：DTBTATsICTsG111)(根据转换关系：DBTTATsITC111)(DBAsIC1)(sG 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型69系统的特征方程和特

41、征根1()G sC SIABDsIACBDsIAC sIA BsIA DsIA系统的特征方程为|sI-A|=0 传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。系统进行非奇异变换（线性变换），特征值不变 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型离散系统的状态空间表达式对比连续系统连续系统用微分方程来表示，采用拉普拉斯变换传递函数进行分析。离散系统离散系统用差分方程来描述，用Z变换脉冲传递函数进行分析。离散系统的状态空间表达式可离散系统的状态空间表达式可通过差分方程或脉冲传递函数通过差分方程或脉冲传递函数 7

42、0 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型 离散系统的信号采用数字形式，输入和输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制系统属离散系统。71 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型差分方程和脉冲传递函数线性定常离散系统可用 n 次差分方程表示：01110111)()()(azazazbzbzbzbzuzYzGnnnmmmm脉冲传递函数：)()(),()(1TzxkxZzxzmkxZm，由设);,1,0

43、()()1()()()1()(0101mnnkkTubTnkubTmkubkTyaTnkyaTnkymmn72 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型状态方程的建立1、由差分方程设 T=1,输入仅有 u(kT)项，b0=1,则整个方程可以写为：y(k+n)+an-1y(k+n-1)+a0y(k)=u(k)设 x1(k)=y(k),x2(k)=y(k+1),x3(k)=y(k+2).xn(k)=y(k+n-1)x1(k+1)=y(k+1)=x2(k)x2(k+1)=y(k+2)=x3(k)xn-1

44、(k+1)=y(k+n-1)=xn(k)xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-an-1xn(k)+u(k)73 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型)1()1()1()1(121kxkxkxkxnn)(1000)()()()(100001000010121110kukxkxkxkxaaannn)()()(001)()(211kxkxkxkxkyn)()()()()()()()()()1(kukDkxkCkykukHkxkGkx向量矩阵形式74 3离离散散系系统统的

45、的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型离散系统方块图离散系统方块图75 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型矢量矩阵形式的离散状态空间表达式为：式中 的求法，类似于节中式(34)求 的计算公式，即：76 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型例：已知离散系统的差分方程为试写出其状态方程和输出方程。112233(1)(

46、)0100(1)001()0()6521(1)()x kx kx kx ku kx kx k 解：)()()(001)()(321kxkxkxkxky)()(6)1(5)2(2)3(kukykykyky77 3离离散散系系统统的的状状态态空空间间 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型例1.10 已知输入如下123()()()623()()x ky kx kx kx k则，输出为：)(6)1(2)2(3)(6)1(5)2(2)3(kukukukykykyky78 4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系

47、第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型 线性定常系统，其特征是它的状态空间表达式中的A、B、C、D 等矩阵的元素固定不变，与输入、输出或者时间无关。线性时变系统有：时变系统和非线性系统的状态空间表达式79 4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型非线性系统 非线性的动态特性是用如下的n个一阶微分方程组描述的：用矢量矩阵表示，则为：80式中，为矢量函数；4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型 如果

48、我们只局限于考察输入 偏离 为 时，对应于它，也偏离 也偏离 时的行为，则可以通过对系统的一次近似而予以线性化。为此，将 附近作泰勒级数展开：4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型它们分别是n x n，n x r，m x n，n x r维矩阵，其相应定义如下：4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型令 将 这些微增量分别用 表示，则线性化后的表达式就成了一般线性表达式了，即例1-12 P52 4时时变变非非线线性性

49、系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型84 利用MATLAB进行系统模型间的互相转换01021121)()()(asasbsbsbsUsYsGnnnnnnn系统的传递函数为;1;001210121aaaadenbbbbnumnnnn按照顺序输入分子分母的系数采用tf2ss命令实现由 G(s)到 ABCD的转换),(2,dennumsstfDCBA 4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型8510561010)(23sssssG得到如下结

50、果例如),(2,;10561;101000dennumsstfDCBAdennum执行以下m文件 4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型86对于给定的状态空间表达式;1;001210121aaaadenbbbbnumnnnnnum和den为分子分母的系数矩阵函数 ss2tf 命令实现由 ABCD到 G(s)的转换),(2,iuDCBAtfssdennumDuCxyBuAxtx)(4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间

51、模型872213213210011202505255100010 xxxyuxxxxxx求由以下状态空间模型所表示的传递函数执行以下m文件 得到如下结果A=0 1 0;0 0 1;-5-25-5;B=0;25;-120;C=1 0 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型882 不同状态空间之间的互相转换)DC,B,(A,)D,C,B,A(T(1)构建第一个状态空间 sys1=ss(A,B,C,D)(2)转换第二个状态空间 sys2=ss2ss(sy

52、s1,T)或者 aa,bb,cc,dd =ss2ss(a,b,c,d,T)方法 4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型89例题：考虑以下状态空间模型xyuxx2110011321选变换矩阵1-1-11-T编写如下m文件：A=1 2;-3-1 B=1 0;0 1C=1 2D=0 0T=-1 1;-1-1sys1=ss(A,B,C,D)sys2=ss2ss(sys1,T)得到：4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型本章小结本章小结状态空间表达式概念、模拟结构图1由微分方程转换为状态方程由状态方程求传递函数G(s)2状态方程之间的转换3由差分方程求状态方程490 4时时变变非非线线性性系系统统 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第一章第一章 控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型91思考题：1.状态变量的个数如何确定？2.系统矩阵一定是非奇异阵么？3.传递函数矩阵的意义?