导数概念及基本函数的导数.ppt

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1、 一、复习目标 了解导数概念的某些实际背景 (瞬时速度 , 加速度 , 光滑曲线 切线的斜率等 ), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义 , 理解导数的概念 , 熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有 理数 ), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数 , 并能熟练应用它们求 有关导数 . 二、重点解析 导数概念比较抽象 , 其定义、方法一般不太熟悉 , 因此对导 数概念的理解是学习中的一个难点 . 本节要重点掌握根据导数 定义求简单函数的导数的方法 . 一方面 , 根据导数定义求导可 进一步理解导数的概念 , 另一方面 , 许多法则都是由导数定

2、义 导出的 . 导函数 (导数 )是一个特殊的函数 , 它的引出和定义始终贯穿 着函数思想 , 首先定义函数 y=f(x) 在点 x0 处可导 , 且在 x0 处有 唯一的导数 f(x0), 然后定义函数 y=f(x) 在开区间 (a, b) 内可导 , 因而对于 开区间 (a, b) 内每一个确定的值 , 都对应着一个确定 的导数 f(x0). 据函数定义 , 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新 函数 , 即导数 . 三、知识要点 1.导数的概念 对于函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x0 处有增量 Dx, 那么函数 y 相应的有增量 Dy=f(x0+Dx)-f(x0), 比值

3、 叫做函数 y=f(x) 在 x0 到 x0+Dx 之间的平均变化率 , 即 = . Dx Dy Dx Dy Dx f(x0+Dx)-f(x0) Dx Dy 如果当 Dx0 时 , 有极限 , 就说函数 y=f(x) 在 点 x0 处可导 , 并把这个极限叫做 f(x) 在点 x0 处的导数 (或变化率 ), 记作 : f(x0) 或 y | x=x0, 即 : Dx f(x0+Dx)-f(x0) f(x0)=lim =lim . Dx0 Dx Dy Dx0 f(x)=y=lim =lim . Dx f(x+Dx)-f(x) Dx0 Dx Dy Dx0 函数 y=f(x) 的导数 f(x),

4、就是当 Dx0 时 , 函数的增量 Dy 与 自变量的增量 Dx 的比 的极限 , 即 : Dx Dy 求函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数的步骤 : (2)求平均变化率 : = ; Dx f(x0+Dx)-f(x0) Dx Dy (1)求函数的增量 : Dy=f(x0+Dx)-f(x0); (3) 取极限 : 得导数 f(x0)=lim . Dx Dy Dx0 如果函数 f(x) 在开区间 (a, b) 内 每一点都可导 , 就说 f(x) 在开 区间 (a, b) 内可导 . 这时 , 对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值 x0, 都对应着一个确定的导数 f(x0), 这样就在

5、开区间 (a, b) 内构 成一个新的函数 , 我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间 (a, b)内 的 导函数 , 记作 f(x) 或 y(需指明自变量 x 时记作 yx), 即 : 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0) 处的切线的斜率 k, 即 : k=tan=f(x0). 相 应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0). 2.导数的意义 (1)几何意义 : (2)物理意义 : 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体 的运动方程为 S=s(t) 时 , 物体运动在 时刻 t0 时的

6、瞬时速度 v, 即 : v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数 , 则 v(t0)表示物体在 时刻 t=t0 时的 加速度 . f(x)=y=lim =lim . Dx f(x+Dx)-f(x) Dx0 Dx Dy Dx0 导函数也简称导数 . 当 x0(a, b) 时 , 函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 等于 函数 f(x) 在 开区间 (a, b)内的导数 f(x) 在点 x0 处的函 数值 . 如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导 , 那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连 续 , 但要注意连续不一定可导 . 3.几种常见函数的导数 (1)c=0(c 为

7、常数 ), (xn)=nxn-1(nQ); (2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx; (4)(ex)=ex, (ax)=axlna. (3)(lnx)= , (logax)= logae; 1 x 1 x 典型例题 1 已知函数 f(x)= (1)确定 a, b 的值 , 使 f(x) 在 x=0 处连续、可导 ; (2)求曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0) 处的切线方程 . x2+x+1, x 0, ax+b, x0. 解 : (1)要使 f(x) 在 x=0 处连续 , 则需 lim f(x) =lim f(x)=f(0). x0 - x0 + 而 lim f(

8、x) =lim(x2+x+1)=1, f(0)=1, x0 - x0 - lim f(x) =lim(ax+b)=b, x0 + x0 + 故当 b=1 时 , 可使 f(x) 在 x=0 处连续 . 又 lim =lim Dx Dy (0+Dx)2+(0+Dx)+1-(02+0+1) Dx0 - Dx0 - Dx =lim (Dx+1)=1, Dx0 - Dx0 + lim =lim Dx Dy a(0+Dx)+b-(02+0+1) Dx Dx0 + =lim aDx+b-1 Dx Dx0 + =a+lim b-1 Dx Dx0 + 故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时 , f(

9、x) 在 x=0 处可导 . 综上所述 , 当 b=1, aR 时 , f(x) 在 x=0 处连续 , 当 a=b=1 时 , f(x) 在 x=0 处可导 . (2)由 (1)知 , f(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0) 处的切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0. 典型例题 2 若 f(x) 在 R 上可导 , (1)求 f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数的关系 ; (2)证明 : 若 f(x) 为偶函数 , 则 f(x) 为奇函数 . (1)解 : 设 f(-x)=g(x), 则 =-f(-a).

10、 f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数互为相反数 . (2)证 : f(x) 为偶函数 , f(x) 为奇函数 . g(a)=lim Dx0 g(a+Dx)-g(a) Dx =lim Dx0 f(-a-Dx)-f(-a) Dx =-lim -Dx0 f(-a-Dx)-f(-a) -Dx =lim Dx0 f(x-Dx)-f(x) Dx =-lim -Dx0 f(x-Dx)-f(x) -Dx =-f(x), Dx0 f(-x+Dx)-f(-x) Dx f(-x)=lim 注 : 本题亦可利用复合函数的求导法则解决 . 典型例题 3 已知曲线 C: y=x3-3x2

11、+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相 切于点 (x0, y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标 . 解 : 由已知直线 l 过原点且其斜率 k= , x0 y0 点 (x0, y0) 在曲线 C 上 , y0=x03-3x02+2x0. =x02-3x0+2. x0 y0 又 y=3x2-6x+2, 在 点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0. x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= ( x00). 3 2 这时 y0=- , k=- . 3 8 1 4 直线 l 的方程为 y=- x,

12、 1 4 切点坐标是 ( , - ). 3 8 3 2 注 有关曲线的切线问题 , 可考虑利用导数的几何意义 . 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的 , 因此斜率也是唯一的 (若存在 的话 ), 采用斜率相等这一重要关系 , 往往都可解决这类问题 . 典型例题 4 求曲线 y=2- x2 与 y= x3-2 的交点处切线的夹角 (用弧度数 作答 ). 1 2 1 4 解 : 由 y=2- x2 与 y= x3-2联立方程组解得交点坐标为 P(2, 0). 1 2 1 4 y=2- x2 的导函数为 y=-x, 1 2 它在 P 处的切线斜率 k1=-2, 同理 , 曲线 y= x3-2 在

13、P 处的切线斜率 k2=3, 1 4 由夹角公式 tan=| |=1 得 k2-k1 1+k 2k1 4 = . 故两曲线的交点处切线的夹角为 . 4 课后练习 1 已知函数 f(x)= 判断 f(x) 在 x=1 处是否可导 . (x 2+1), x 1, (x+1), x1. 1 2 1 2 Dx Dy lim lim , Dx Dy Dx0 - Dx0 + 解 : lim =lim Dx Dy Dx0 - (1+Dx) 2+1- (12+1) Dx0 - Dx 1 2 1 2 lim =lim Dx Dy Dx0 + Dx0 + (1+Dx+1)- (12+1) Dx 1 2 1 2 =

14、1, = , 1 2 f(x) 在 x=1 处不可导 . 注 判定分段函数在“分界点处”的导数是否存在 , 要验证 其左、右极限是否存在且相等 , 如果存在且相等 , 那么这点的 导数存在 , 否则不存在 . =lim (1+ Dx) 1 2 Dx0 - =lim 1 2 Dx0 + Dx Dx Dx0 Dx Dy 从而 lim 不存在 . 课后练习 2 若函数 f(x)=|x|, (1)试判断 f(x) 在 x=0 处是否可导 ; (2)当 x0 时 , 求 f(x) 的导数 . 解 : (1) Dy=f(0+Dx)-f(0)=|Dx|, Dx Dy Dx0 - Dx0 + lim lim

15、, Dx Dy Dx0 Dx Dy 从而 lim 不存在 . 故函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导 . (2)当 x0 时 , 可使 x+Dx0. f(x)=lim =lim Dx f(x+Dx)-f(x) Dx0 Dx |x+Dx|-|x| Dx0 =lim Dx (x+Dx)-x Dx0 =1. 同理可得 , 当 x0 时 , f(x)=-1. = . Dx |Dx| Dx Dy 当 Dx0 时 , =1, lim =1, Dx0 Dx Dy Dx Dy 注 函数在一点连续 , 但不一定可导 ; 函数在一点可导 , 直观 反映是函数的图象在这一点是平滑的 . 课后练习 3 一质

16、点作直线运动 , 它所经过的路程 S(单位 : m)和时间 t(单 位 : s)的关系是 S=3t2+t+1. (1)求 2, 2.01 这段时间内质点的平 均速度 ; (2)当 t=2 时的瞬时速度 . 解 : (1) DS=32.012+2.01+1-(322+2+1) =0.1303. = 0.1303 0.01 v= Dt DS =13.03(m/s). (2) DS=3(t+Dt)2+(t+Dt)+1-(3t2+t+1) =3Dt2+(1+6t)Dt, Dt DS = 3Dt2+(1+6t)Dt Dt =3Dt+1+6t. v=lim Dt DS Dt0 =lim(3Dt+1+6t)

17、 Dt0 =6t+1. v | t=2=13. 即当 t=2 时 , 质点运动的瞬时速度为 13m/s. 注 (2)亦可直接对函数求导后解决 . 课后练习 4 如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行 , 求切点 坐标与切线方程 . 解 : 切线与直线 y=4x+3 平行 , 切线斜率为 4. 又 切线在 x0 处斜率为 y | x=x0 3x02+1=4. x0=1. 当 x0=1 时 , y0=-8; 当 x0=-1 时 , y0=-12. 切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8. =(x3+x-10)

18、| x=x0 =3x02+1. 课后练习 5 已知曲线 S: y=x3-6x2-x+6. (1)求 S 上斜率最小的切线方程 ; (2)证明 : S 关于切点对称 . (1)解 : 由已知 y=3x2-12x-1, 当 x=2 时 , y 最小 , 最小值为 -13. S 上斜率最小的切线的斜率为 -13, 切点为 (2, -12). 切线方程为 y+12=-13(x-2), 即 13x+y-14=0. (2)证 : 设 (x0, y0)S, (x, y) 是 (x0, y0) 关于 (2, -12) 的对称点 , 则 x0=4-x, y0=-24-y. (x0, y0)S, -24-y=(4

19、-x)3-6(4-x)2-(4-x )+6. 整理得 y=x3-6x2-x+6. (x, y)S. 曲线 S 关于切点 (2, -12) 对称 . 课后练习 6 设直线 l1 与曲线 y= x 相切于 P, 直线 l2 过 P 且垂直 l1, 若 l2 交 x 轴于 Q 点 , 又作 PK 垂直 x 轴于 K 点 , 求 KQ 的长 . 解 : 设 P(x0, y0), 则 kl1=y | x=x0 = . 2 x 0 1 直线 l2 垂直 l1, kl 2=-2 x0. l2: y-y0=-2 x0(x-x0). 令 y=0, 则 -y0=-2 x0(xQ-x0), 即 - x0=-2 x0(xQ-x0). 解得 xQ= +x0. 1 2 又易得 xK=x0, |KQ|=|xQ-xK|= , 1 2 即 KQ 的长为 . 1 2