2023届吉林省吉林市永吉实验高级中学高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

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1、2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（）A.B.C.D.2中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被

2、称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A.6B.C.12D.3若函数在定义域上的值域为，则（ ）A.B.C.D.4已知偶函数在区间单调递减，则满足的x取值范围是A.B.C.D.5素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式（是素数）,法国数学家马丁梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于（参考数据：）（）A.B.C.D.6设函数，则函数的零点个数是A.4B.3C.2D.17函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则

3、（）A.16B.8C.4D.28已知直线l经过两点，则直线l的斜率是（）A.B.C.3D.9函数y=8x2-（m-1）x+m-7在区间（-，-上单调递减，则m的取值范围为（）A.B.C.D.10把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象， 则（ ）A.B.C.D.11函数与（且）在同一坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.12四边形中，且，则四边形是（ ）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形二、填空题（本大题共4小题，共20分）13设，则_.14已知，且，则的最小值为_.15已知函数，是定义在区间上的奇函数，则_.16在某高传染性病毒流行期

4、间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是_(填写序号)平均数；标准差；平均数且极差小于或等于2；平均数且标准差；众数等于1且极差小于或等于4三、解答题（本大题共6小题，共70分）17设两个向量，满足，.（1）若，求、的夹角；（2）若、夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.18已知函数.（1）在给定的坐标系中，作出函数的图象；（2）写出函数的单调区间（不需要证明）；（3）若函数的图象与直线有4个交点，求实数的取值范围.19已知，

5、（1）求和的值（2）求以及的值20如图，四棱锥的底面为矩形，.（1）证明：平面平面.（2）若，求点到平面的距离.21已知函数.（1）若且的最小值为，求不等式的解集；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.22如图，有一块半径为4的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，连接OC两点，OC与OB所形成的夹角为.（1）写出这个梯形周长y和的函数解析式，并写出它的定义域；（2）求周长y的最大值以及此时梯形的面积.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、A【解析】结合函数的图象及值域分析，当时，存在唯一的非零实数满足，然后利用一

6、元二次不等式的性质即可得结论.【详解】解：因为，所以由函数的图象可知其值域为，又时，值域为；时，值域为，所以的值域为时有两个解，令，则，若存在唯一的非零实数满足，则当时，与一一对应，要使也一一对应，则，任意，即，因为，所以不等式等价于，即，因，所以，所以，又，所以正实数的取值范围为.故选：A.2、B【解析】根据海伦秦九韶公式和基本不等式直接计算即可.【详解】由题意得：，当且仅当，即时取等号，故选：B3、A【解析】的对称轴为，且，然后可得答案.【详解】因为的对称轴为，且所以若函数在定义域上的值域为，则故选：A4、D【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，解不等式可得x的取值范围，即可

7、得答案【详解】根据题意，偶函数在区间单调递减，则在上为增函数，则，解可得：，即x的取值范围是；故选D【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性综合应用，注意将转化为关于x不等式，属于基础题5、C【解析】根据两数远远大于1, 的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.【详解】因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,因此有.故选C【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.6、B【解析】函数的零点个数就是函数的图象和函数的图象的交点个数，分别画出函数的图象和函数的图象,如图，由图知，它们的交点个数是，函数的零点个数是,故选B.【方法点睛】已

8、知函数零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .7、A【解析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.【详解】当时，所以函数的图像恒过定点记，则有，解得所以.故选：A8、B【解析】直接由斜率公式计算可得.【详

9、解】由题意可得直线l的斜率.故选：B.9、A【解析】求出函数的对称轴，得到关于m的不等式，解出即可【详解】函数的对称轴是,若函数在区间上单调递减，则，解得：m0，故选A【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键10、C【解析】根据三角函数的周期变换和平移变换的原理即可得解.【详解】解：把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得的函数图像，再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，所以.故选：C.11、B【解析】分析一次函数的单调性，可判断AD选项，然后由指数函数的单调性求得的范围，结合直线与轴的交点与点的位置关系可得出合适的选项.【详解】因为一次函数为直线，

10、且函数单调递增，排除AD选项.对于B选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的上方，合乎题意；对于C选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的下方，不合乎题意.故选：B.12、C【解析】由于，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、2【解析】先求出，再求的值即可【详解】解：由题意得，所以，故答案为：214、12【解析】，展开后利用基本不等式可求【详解】，且，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为12故答案为：1215、27

11、【解析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m的值，再求【详解】由于奇函数的定义域必然关于原点对称m3， 故f（m） 故答案为27【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，利用了奇函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题16、【解析】按照平均数、极差、方差依次分析各序号即可.【详解】连续7天新增病例数：0，0，0，0，2，6，6，平均数是23，错；连续7天新增病例数：6，6，6，6，6，6，6，标准差是02，错；平均数且极差小于或等于2，单日最多增加4人，若有一日增加5人，其他天最少增加3人，不满足平均数，所以单日最多增加4人，对；连续7天新增病例数：0，3，3，3，3，3，6，平均数是3且标准差

12、小于2，错；众数等于1且极差小于或等于4，最大数不会超过5，对.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）且.【解析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得，再根据数量积求得夹角；（2）根据夹角为钝角则数量积为负数，求得的范围；再排除向量与不为反向向量对应参数的范围，则问题得解.【详解】（1）因为，所以，即，又，所以，所以，又，所以向量、的夹角是.（2）因为向量与的夹角为钝角，所以，且向量与不反向共线，即，又、夹角为，所以，所以，解得，又向量与不反向共线，所以，解得，所以的取值范围是且.【点睛】本题考查利用数量积求向量夹角，以及由夹角范围求参数范围，属综合

13、基础题.18、（1）图象见解析；（2）单调增区间为；单调减区间是为；（3）.【解析】（1）分段依次作出图象即可；（2）看图写出单调区间即可；（3）作出直线图象，数形结合得到实数的取值范围即可.【详解】解：（1）作图如下：（2）看图可知函数的单调增区间为，函数的单调减区间为；（3）如图，若函数的图象与直线有4个交点，则需.所以实数的取值范围为.19、（1），（2），【解析】（1）根据三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解；（2）利用两角差的正弦公式和两角和的正切公式，准确运算，即可求解.【小问1详解】因为，根据三角函数的基本关系式，可得，又因为，所以，且.【小问2详解】由，和根据两角差的正弦公

14、式，可得，再结合两角和的正切公式，可得20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，交于点，连接，证明平面，即可证明出平面平面.（2）用等体积法，即，即可求出答案.【小问1详解】连接，交于点，连接，如图所示， 底面为矩形，为，的中点，又，又，平面，平面，平面平面【小问2详解】，在中，在中，在中，设点到平面的距离为，由等体积法可知，又平面，为点到平面的距离，即点到平面的距离为21、（1）；（2）.【解析】（1）利用二次函数的最值可求得正数的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；（2）令，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，所以，因为，解得，由得，即，得，因此，不等式的解集为.【小问2详解】解：由得，设函数，因为函数的图象是开口向上的抛物线，要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，则，可得，解得.22、（1），（2）20，【解析】（1）过点C作，表示出，即可写出梯形周长y和的函数解析式；（2）令，结合二次函数求出y的最大值，求出此时的，再计算梯形面积即可.【小问1详解】由题意得.半圆形钢板半径为4，则，过点C作.在和中，有，.在中，因为，为等腰三角形，故，所以，.，.【小问2详解】由.令，则，则.则当时，周长y有最大值，最大值20，此时，.故梯形的高，.