椭圆型方程的有限差分法课件

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1、椭圆型方程的有限差分法第第2章章 椭圆型方程的有限差分法椭圆型方程的有限差分法椭圆型方程的有限差分法1 差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念.,;0,)2.1()(,)()1.1(,22为给定常数上的连续函数为其中边值问题考虑二阶常微分方程的qbafqbuaubxafqudxudLu椭圆型方程的有限差分法区间剖分区间剖分.,./)(,2,1,0,称为步长，间距称为网格结点（节点）的一个网格剖分，于是我们得到区间等分，分点为分成将区间hxbaINabhNiihaxNbaii椭圆型方程的有限差分法微分方程离散微分方程离散(差分方程）差分方程）.)3.1(),()(12)()()(2)()1.1(3

2、44222211点取值表示括号内函数在其中展式可得，由的解离散化，对充分光滑在节点现在将方程iiiiiiiixhOdxxudhdxxudhxuxuxuTaylorux)5.1(),()(12)()4.1(),()()()()()(2)()1.1(3442211hOdxxudhuRuRxfxuxqhxuxuxuxiiiiiiiiii其中写成可将方程于是在椭圆型方程的有限差分法.)6.1()()().(),()6.1(,2)1.1()(.)(211的截断误差为差分方程称，记式中的差分方程：，则得逼近方程若舍去的二阶无穷小量是足够小，当uRxfLuxffxqqfuqhuuuuLuRhuRhiiiii

3、iiiiiiiiihii.)()7.1()()(截断误差所引起的代替微分算子是用差分算子，截断误差LLuRLuxuLuRhiiihi椭圆型方程的有限差分法.)2.1(),1.1()9.1(),8.1(.)()9.1(.,)8.1(,1,2,1,2,1,2,1)6.1(0211式此格式称为中心差分格的差分方程或差分格式为逼近称的近似于是它的解的线性代数方程组：于加上边值条件就得到关时成立，当差分方程iiNiiiiiiihixxxuuuuNifuqhuuuuLuNi.1,)8.1(:121阶方程组因此它是个数的的个数等于网格内点方程注意NxxxN椭圆型方程的有限差分法2 一维差分格式一维差分格式.

4、,0)(,)2.2()(,)()1.2(,)(min1为给定常数其中考虑两点边值问题：baCfqrpxpbaCpbuaubxafqudxdurdxdupdxdLu积法直接差分化法、有限体两种方法：我们将介绍差分格式的椭圆型方程的有限差分法直接差分化直接差分化.,2,1,:,1110NixxxINbaIbxxxxaNiiiNi个小区间：分成将区间个节点：首先取.,max,01211的集合表示内点和界点的集合表示网格内点为最大网格步长。用称的一个网格剖分，记于是得到区间bxaxIxxxIhhxxhINhNhiiiii椭圆型方程的有限差分法.,),2,1)(21,2121232101211对偶剖分的

5、一个网格剖分，称为又构成点称为半整数点，则由节，的中点取相邻节点babxxxxxxaNixxxxxNNiiiiii点取值。表示括号内函数其中展式可得，由为此，对充分光滑的解离散化，在节点方程其次用差商代替微商将iiiiiiiiiiixhodxudhhdxduhhxuxuTaylorux)3.2(),(2)()()1.2(2221111椭圆型方程的有限差分法)4.2(),(24),(24)()()(33322132133221121hodxudphdxduphodxudphdxduphxuxuxpiiiiiiiiii)5.2(),(24)()()(33312211121hodxudphdxdup

6、hxuxuxpiiiiiii椭圆型方程的有限差分法)6.2(),()12)(4)(),(12)(2)()()()()()(22)4.2()5.2(2331221233121211121112111hodxudphhdxdupdxdhhdxdupdxdhodxudphhdxdupdxduphhhxuxuxphxuxuxphhhhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii，得，并除以减由椭圆型方程的有限差分法满足方程：边值问题的解知则由令)(,)6.2(),3.2(),(),(),(),(2121xuxffxqqxrrxppiiiiiiii)7.2(),()()()()()()()(2)

7、(11112111211uRfxuqxuxuhhrhxuxuphxuxuphhxuLiiiiiiiiiiiiiiiiiiiih椭圆型方程的有限差分法.)2.2(),1.2(),()8.2(),()21121)(41)()(22233221的差分方程便得逼近边值问题的截断误差，舍去为差分算子其中uRLhodxudrdxudpdxdupdxdhhuRihiiiiii)10.2(,)9.2(,1,1,2011112111211NiiiiiiiiiiiiiiiiiiihuuNifuquuhhrhuuphuuphhuL椭圆型方程的有限差分法有限体积法有限体积法恒律具有形式上的热量守内任一小区间程，则在方

8、一根杆上的稳定温度场如果把它看作是分布在，考虑守恒型微分方程：,)13.2()()()()2()1(xxbaxfuxqdxdupdxdLu)15.2()()()14.2(,)()(,)()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(，其中或dxduxpxWfdxqudxxWxWfdxqudxdxdxdupdxdxxxxxxxxxx 把微分方程写成积分守恒型后，最高阶微商由二阶降到一阶，从而可减弱对函数光滑性的要求。椭圆型方程的有限差分法,)()15.2()()14.2(,)()(,)14.2(2121212121212121)2()1(恒连续流量”化是不合适的。但“热

9、进一步差分允许有间断点，由考虑到则对偶单元取特别于xWxpfdxqudxxWxWxxxxiiiixxxxiiii,)()(,)()()15.2(111iixxiiiidxxpxWuuxxxpxWdxdu积分，得再沿改写成故将椭圆型方程的有限差分法)18.2(,2)17.2(.)(1)16.2(,1112121211iiiixxxxiiiiiiiudhhqudxxpdxhahuuaWiiii又利用中矩形公式，得)21.2(.)(2)20.2(,)(21,)(21)14.2()18.2(),16.2(21211111111iixxiiiiiiiiiiiiiiiiiidxxfhhhhudhhhuua

10、huua，即得守恒型差分方程代到将椭圆型方程的有限差分法)22.2(),(),(),()21.2()19.2(),17.2(,2121iiiiiiiiixffxqqdxppafqp，从而和计算式光滑，则可用中矩形公及右端如果系数)23.2(),(21),(21,22121212111iiiiiiiiiiifffqqdppppa也可用梯形公式，此时椭圆型方程的有限差分法3 矩形网的差分格式矩形网的差分格式条件之一：在边界上满足下列边值，其边界为分段光滑曲线是平面上一有界区域，方程考虑GGyxyxfuPoisson)1.3(),(),(321)1.3()(),()1.3()(),()1.3()()

11、,(第三边值问题第二边值问题第一边值问题yxkunuyxnuyxu连续函数。都是及其中0),(),(),(),(),(yxkyxyxyxyxf椭圆型方程的有限差分法3.13.1 五点差分格式五点差分格式,1,0,1,0,.)(,2121222121jjhyiihxhhhhhyx直线：作两族与坐标轴平行的和轴方向的步长轴和取定沿.11,),(),().,(),(),(2121jjiihyyhxxyxyxjiyxjhihiiiijijiji或如果是相邻的和说两个节点或记为称为网点或节点，两族直线的交点椭圆型方程的有限差分法否则称为非正则内点。就称为正则内点相邻点都属于的四个若内点的网点的集合是代替

12、域就则令点为界点交点集合，并称如此的的与或表示网线以并称如此节点为内点内部的节点集合，表示所有属于以;,),(.,.),(hjihhhhjihjihGyxGGGGGyyxxGGyxG)2.3(,)2.3(),(),(,),(,),()2.3(,22,),(221,1,21,1,1hhhjiijjihijjihhhijijjiijjijiijjiijhyyxxjifuyxffyxfuyxufujiufhuuuhuuuuuuyxyx可简写成则差分方程表示网格函数，上的网函数。若以表示节点式中，则得用二阶中心差商代替方向分别为正则内点，沿现在假定椭圆型方程的有限差分法)3.3(),(),(360),

13、(12),(),(),(2),(6166444222211111hOxyxuhxyxuhxyxuhyxuyxuyxuTaylorjijijijijiji展式利用)4.3(),(),(360),(12),(),(),(2),(6266444222211122hOyyxuhyyxuhyyxuhyxuyxuyxujijijijijiji椭圆型方程的有限差分法.)1.3(),()5.3(),(),(),(121),(),()(2444224421的光滑解是方程其中的截断误差可得差分算子uhOhOyyxuhxyxuhyxuyxuuRjijijihjiijh故称为五点差分格式。其四个邻点上的值，及在中只出

14、现由于差分方程),()2.3(jiu(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)椭圆型方程的有限差分法)7.3()(41),(0)6.3(.4)(41)2.3(,1,1,1,121,1,1,121jijijijiijijjijijijiijuuuuuLaplaceffhuuuuuhhh则有方程若简化为则差分方程特别取正方形网格：椭圆型方程的有限差分法)(),(12),(),(121),()(),(12),(),()(121),()(),(),(121),(),()4.3(),3.3(422422222222224224222222222222224442244211111

15、hOyxyxuhhyyxfhxyxfhyxfhOyxyxuhhyyxuxyxuyhxhyxuhOyyxuhxyxuhyxuyxujijijijijijijijijijijijih两式相加，则得若将注椭圆型方程的有限差分法).(),(),(2),(),(),(2),(2),(),(2),(1)(),(),(2),(),(21111111111112221222211224hOyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuhhhOhyxuyxuyxuyxyxujijijijijijijijijijixxjixxjixxji 又).(),(),(121),(),(),(),(),(),(),

16、(),(),(2),(4121),(42222222111111111111122212221hOyyxfhxyxfhyxfyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuhhhhyxujijijijijijijijijijijijijih因此椭圆型方程的有限差分法).(),(),(121),),(2412142222222111111111111,122212221hOyyxfhxyxfhfuuuuuuuuuhhhhujijiijjijijijijijijijiijijh其截断误差的阶为格式：到逼近方程的九点差分舍去截断误差项，便得椭圆型方程的有限差分法.,1,0,)21()21(.2

17、121,221,121点的交点为对偶剖分的界点，直线与边界内部者为对偶剖分的内交点属于其和行于坐标轴的直线作两族平记对偶剖分为此我们需要作五点格式现在用有限体积法推导GjiyyxxhjyhixiijiABCD.),(),(),(),(:),(2121212121212121称为控制体积为顶点的矩形域，表示以用，考虑对偶剖分的网点对于任一正则内点ABCDGyxDyxCyxByxAyxijjijijijiji椭圆型方程的有限差分法)8.3(.)1.3(ijGijfdxdydsnuPoissonGreenPoissonG方程的积分守恒形式：得到公式，并利用方程积分于向量的方向角。处的切线上为有向曲线

18、弧、其中的取正向的边界曲线。是其中有有一阶连续偏导数，则在上及函数围成，由分段光滑的曲线闭区域设),(),(),()coscos()(),(),(yxLyxyxDLdsQPQdyPdxdxdyyPxQyxQyxPLDLLD高等数学中，我们学习过高等数学中，我们学习过Green公式：公式：椭圆型方程的有限差分法21,1121,21,1121,:.,hhuuhhuuhhuuhhuudsnuGunuijjiijjiijjiijjiij则代替外法向导数分，再用中心差商公式代替沿四边的线积用中矩形的外法向导数沿矩形表示式中.)2.3()9.3(,22:,),8.3(221,1,21,1,121一致它和即

19、得五点差分格式并除以以此式代入ijjiijjijiijjifhuuuhuuuhh椭圆型方程的有限差分法3.2 3.2 边值条件的处理边值条件的处理)11.3().,(),(,.,)10.3().,(*iiijhiihhhyxuyxGyxu时便令当因表示界点集合表示非正则内点集合以先讨论第一边值条件).()(21)12.3(,)2(1)(1),(3011110402221301011*hOxxhhhhfuuuhhuuhuuhGyxhii其截断误差的阶为，有，即为非正则内点时，当椭圆型方程的有限差分法.)().1().12.3()13.3(,)2(1)(1)12.3(20402221301011（

20、按最大模）仍然是证明，差分解的收敛阶尽管如此，仍可此时截断误差的阶降为代替可用为了保持对称正定性，点，即破坏了对称性。处理边值条件有一个缺按hOOfuuuhhuuhuuh椭圆型方程的有限差分法的差分逼近。条件下面讨论第二、三边值)14.3().,(yxkunu公式，得并利用两端积分，于边三角形一起截出一曲外界轴平行的直线，他们与轴和分别作与过之相邻的内点是与和是界点交点，中的节点是两族网线的假定GreenABCABCxyyxyxyxpyxpyxpjijijijijih,)1.3(),(),(,),(),(,),(2100021010020101000椭圆型方程的有限差分法.)()(.)15.3(.000010212ACukdskudsnuCBhuudsnuBAhuudsnufdxdydsnupppCACAppBCppABABCABCA弧弧弧弧弧)16.3()()14.3()15.3(000010212ABCpppppppfdxdyACukCBhuuBAhuu的差分方程：即得逼近以此代到