一元二次方程根与系数的关系李丽侠

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1、一元二次方程的一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系韦达韦达李丽侠一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac0)（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1-22123（3）3x2-4x+1=03134311方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0-341

2、271-3-4-4-1-221233134311若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则 21xx .21xx .abacaacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac证明：证明：设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2 =ab-ac注：能用公式的前提条件为=b2-4ac0在使用根与系数的关系时

3、，应注意：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用X1+X2=时，时，注意注意“”不要漏写。不要漏写。ab如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2=,X1X2=.Pq 一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系是是法国数学家法国数学家“韦达韦达”发现的发现的,所以我们又所以我们又称之为称之为韦达定理韦达定理.说出下列各方程的说出下列各方程的两根之和两根之和与与两根之积两根之积：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2 =4(2)2x2-3x+=021x1+x2=2x1x2=-1x1+x

4、2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2=-234134例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2,求它的另一个根及求它的另一个根及k的值的值.解法一解法一：设方程的另一个根为设方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得2 x2=k+12 x2=3k解这方程组，得解这方程组，得x2=3 k=2答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 ,k的值是的值是2.例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2,求它的另一个根及求它的另一个根及k的值。的值。解法二解法二：设方程的另一个根为设方程

5、的另一个根为x2.把把x=2代入方程，得代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得解这方程，得 k=-2由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得2 x23k即即2 x26 x2 3答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 ,k的值是的值是2.例例2、方程、方程2x2-3x+1=0的两根记作的两根记作x1,x2，不解方程，求：不解方程，求：（1）;（2);(3);(4).2221xx 2111xx)1)(1(21xx21xx 另外几种常见的求值另外几种常见的求值:2111.1xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.2xxxx212221xxxx 2

6、1212212)(xxxxxx21.4xx221)(xx 212214)(xxxx1、已知方程、已知方程3x219x+m=0的一个根是的一个根是1，求它的另一个根及求它的另一个根及m的值。的值。2、设、设x1,x2是方程是方程2x24x3=0的两个根，求的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值的值.解：设方程的另一个根为解：设方程的另一个根为x2,319则x2+1=,x2=,316又x21=,3m m=3x2=16 解：解：由根与系数的关系由根与系数的关系,得得x1+x2=-2,x1 x2=23(x1+1)(x2+1)=x1 x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=2325212 xx21x

7、x411412，xx，xx的两个根为方程设014.3221则：则：21xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214 xx 求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式两根之积的形式,再整体代入再整体代入.4.4.已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 ，求求k k的值的值.解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 x x1 1+x+x2 2=-k=-k，x x1 1x x2 2=k+2=k+2 又又 x x1 12+x x2 2 2=4=4 即即(x x1

8、 1+x x2 2)2-2-2x x1 1x x2 2=4=4 K K2 2-2(k+2-2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 =K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时，=-8=-80 0k=4(k=4(舍去）舍去）当当k=-2k=-2时，时，=4=40 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2,1xx42221 xx6.已知关于已知关于x的方程的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两有两个实数根个实数根x1、x2.（1）求实数）求实数m的取值范围；的取值范围；（2）当）当x12-x22=0时，求时，求m的值的值.6.（2013荆州）已知：关于荆州）已知：关于x的方程的方程 kx2(3k1)x+2(k1)=0（1）求证：无论）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根）若此方程有两个实数根x1，x2,且且x1x2=2,求求k的值的值.2、熟练掌握根与系数的关系；、熟练掌握根与系数的关系；3、灵活运用根与系数关系解决问题、灵活运用根与系数关系解决问题.1.一元二次方程根与系数的关系？一元二次方程根与系数的关系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果小结：小结：