大数定律及其应用

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1、文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑欢迎下载支持.本科毕业论文（ 2013届）题目:大数定律及其应用学院：数学与信息科学学院专 业：统计学班 级:09统计姓名:学号:指导老师:完成日期：2013年4月1日目 录1、引言 12、大数定律的发展历程 33、常见的大数定律及中心极限定理43.1 常见的大数定律43.2常见的中心极限定理 54、大数定律的应用64.1 大数定律在数学分析中的应用 64.1.1 在积分方面的应用 64.1.2 在极限中的应用 74.2 大数定律在生产生活中的应用 94.2.1 误差方面的应用 94.2.2 估计数学期望和方差 74.3大数定律在经济中的应用

2、 84.3.1 大数定律在保险业中的应用 84.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用 95、结束语 106、致谢 10参考文献 11大数定律及其应用（温州大学数学与信息科学学院 09统计） 摘要：大数定律顾名思义就是指当样本数据量很大的时候，然后某一变量就会呈现出某种规律性，这一呈 现出规律性的变量就是我们经常说的平均值，即当样本数据量很大的时候，平均结果将稳定于某一稳定值。 大数定律在概率论中的重要性不言而喻，而且其在数学领域以及经济生活领域也有着非常重要的作用。本 文列举了我们在大学阶段经常遇到的一些大数定律和中心极限定理，通过一些具体的例题，介绍了常见的 大数定律和中心极限定理在一些重

3、要领域的应用，具体包括在数学分析中求极限和积分，预测误差，近似 计算，以及在保险业和银行经营管理方面的应用,进一步阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的 重要作用和应用价值。关键词：大数定律；中心极限定理；经济生活；应用1、引言大数定律对于很多人来说都很陌生，即使学过概率论的也说不出个所以然。 记得刚学大数定律的时候，觉得这个定理好难理解，书本反复翻了几次还是不懂。 感觉这定理没什么作用，理论性这么强，没什么应用价值。直到后来学了中心极 限定理，介绍了其大量应用，例如在保险业中的应用，可以说保险业离不开中心 极限定理。这才知道自己错了，原来大数定律也有着非常重要的作用，因为中心 极限定理

4、正是基于大数定律的基础上而发展出来的定理，没有大数定律作为基础 是不会有中心极限定理的。大数定律与中心极限定理是概率论中具有标志性的两 类定理，其作用恰如一颗纽带，很好地承接了概率论与数理统计。大数定律所要 阐明的是大量随机现象平均结果的稳定性，即当样本量很大的情况下，样本的平 均值可以近似看作总体平均值。因为在实际生活中，当我们要考查某一变量，总 体数据统计起来往往难度过大甚至不可能，这时我们就需要用到大数定律。我们 先统计总体的一个样本量，这个样本量要足够大，一般根据总体而定，然后考查 这个样本数据的特征，最后样本数据的结果可以近似看作是总体的结果。例如： 我们要考查某一地区居民的月平均消

5、费水平，如果要去统计这一地区所有居民月 消费额工作量就会太大，有了大数定律，我们只要抽取足够数量的居民，统计他 们的月消费额，最后这一样本量的平均值就可以近似看作这一地区居民平均消费 额。这种思想恰恰是概率论中最为重要的思想，而这种思想在数学领域也有着相 当重要的作用。对于中心极限定理我们要更为熟悉，它比大数定律论述更为详细 具体。中心极限定理主要论述的是其他分布和正态分布之间的某种内在关系，一 般对于某一总体，不管其服从什么分布，泊松分布也好，二项分布也好，只要考 查的样本数据量足够大，那么样本的均值就近似服从正态分布。2、大数定律的发展历程对于大数定律，不少人可能有所耳闻，但是对于大数定律

6、的发展历史，可能 就很少有人清楚了。我们都知道，大数定律研究的是随机现象统计规律性的一类 定理，当我们大量重复某一相同的实验的时候，其最后的实验结果可能会稳定在 某一数值附近。就像抛硬币一样，当我们不断地抛，抛个上千次，甚至上万次， 我们会发现，正面或者反面向上的次数都会接近一半。除了抛硬币，现实中还有 许许多多这样的例子，像掷骰子，最著名的实验就是泊松抛针实验。这些实验都 像我们传达了一个共同的信息，那就是大量重复实验最终的结果都会比较稳定。 那稳定性到底是什么？怎样去用数学语言把它表达出来？这其中会不会有某种 规律性？是必然的还是偶然的？这一系列问题其实就是大数定律要研究的问题。很早的时候

7、，人们其实就发 现了这一规律性现象，也有不少的数学家对这一现象进行了研究，这其中就包括 伯努利（后来人们为了纪念他，都认为他是第一个研究这一问题的人，其实在他 之前也早有数学家研究过）。伯努利在1713年提出了一个极限定理，当时这个定 理还没有名称，后来人们称这个定理为伯努利大数定律。因此概率论历史上第一 个有关大数定律的极限定理是属于伯努利的，它是概率论和数理统计学的基本定 律，属于弱大数定律的范畴。我们知道，当大量重复某一实验时，最后的频率无限接近事件概率。而伯努 利成功地通过数学语言将现实生活中这种现象表达出来，赋予其确切的数学含 义。他让人们对于这一类问题有了新的认识，有了更深刻的理解

8、，为后来的人们 研究大数定律问题指明了方向，起到了引领作用，其为大数定律的发展奠定了基 础。除了伯努利之外，还有许许多多的数学家为大数定律的发展做出了重要的贡 献，有的甚至花了毕生的心血，像德莫佛拉普拉斯，李雅普诺夫，林德伯格， 费勒，切比雪夫，辛钦等等。这些人对于大数定律乃至概率论的进步所起的作用 都是不可估量的。1733年，德莫佛拉普拉斯经过推理证明，得出了二项分布的极限分布是正 态分布的结论，后来他又在原来的基础上做了改进，证明了不止二项分布满足这 个条件，其他任何分布都是可以的，为中心极限定理的发展做出了伟大的贡献。 在这之后大数定律的发展出现了停滞。直到20世纪，李雅普诺夫又在拉普拉

9、斯定 理的基础上做了自己的创新，他得出了特征函数法，将大数定律的研究延伸到函 数层面，这对中心极限定理的发展有着重要的意义。到1920年，数学家们开始探 讨中心极限定理在什么条件下普遍成立，这才有了后来发表的林德伯格条件和费 勒条件，这些成果对中心极限定理的发展都功不可没。经过几百年的发展，大数定律体系已经很完善了，也出现了更多更广泛的大 数定律，例如切比雪夫大数定律，辛钦大数定律，泊松大数定律，马尔科夫大数定律等等。正是这些数学家们的不断研究，大数定律才得以如此迅速发展，才得 以完善。 3、常见的大数定律及中心极限定理 3.1常见的大数定律大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律

10、。定理1 （伯努利大数定律）在n重伯努利实验中，假设某一事件总共出现的次数为，并且每次试验中该事件发生的概率是P，其中0P 0),k = 1,2,则对任意实数x ,都有k我们又称定理6为独立同分布的中心极限定理,从这个定理可以看出正态分布在概率论中的特殊地位，不管2呈何种分布,但只要N*,则有随机变量k或者我们可以说，当N时,对于一系列随机变量2，只要满足独立同分k布，则E 2近似地服从正态分布N(叩,NO2)。k k=1定理7 (拉普拉斯中心极限定理)假设随机变量服从二项分布B(n,p)，那么对于任意的有界区间a,b，恒有表达式成立，这就说明正态分布是二项分布的极限分布。一般地，如果XB(n

11、, p)，则这个公式给出了当n较大时，关于二项分布的概率计算方法。定理8 (林德伯格定理)假设2 ,2，是一系列随机变量序列，且相互独1 2立，而且还符合林德伯格的前提假设，则对任何存在的X,都有这个定理证明了以下结论：大量微小而且独立的随机因素引起并积累而成的 变量,必将是一个正态随机变量。由林德伯格条件可看到定理并不要求各个加项 “同分布”,因而它比前面的列维林德伯格中心极限定理更全面,事实上列维 林德伯格中心极限定理可以由该定理推出。说明：中心极限定理讨论的问题是独立随机变量和的分布的极限问题,通常 在一定条件下,这些分布弱收敛于退化分布,我们称这就是大数定律。而中心极限 定理要证明的问

12、题是，随机变量和的分布与正态分布之间的关系，在其服从正态 分布的基础上再来探讨需满足的条件。中心极限定理从根本上让我们认识了正态 分布产生的源泉,因而可以把中心极限定理看作是正态分布解决各种实际问题的 理论基础。4、大数定律的应用4.1大数定律在数学分析中的应用4.1.1在积分方面的应用我们知道有时候求积分，被积函数可能会比较复杂，原函数求不出来，然后 用普通的近似方法也很难做到，这时我们就需要用到大数定律求解，以大数定律 作为理论基础，通过近似求解可获得积分的近似值。例1令f (x)=e -x2J27则0 f (x) 1，用随机投点法求f (x)在区间【0,1 上的积分J=f1 f (x )

13、dx的近似值.0解 (X,Y)服从正方形0 x 1, 0 y 1上的均匀分布，则可知X服从 【0,1上的均匀分布，Y也服从【0，1上的均匀分布，且X与Y独立.又 记 事 件A=Y f(X ) ， 则 A 的 概 率 为p =P(Y f (X )=fTdydx=f f (x)dx=J，即定积分的值J就是事件A的概率P0 0 0由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中A出现的频率作为P的估计值。 下面用随机投点法来得到A出现的频率：(1) 先用计算机产生(0,1)上均匀分布的2n个随机数：x，y，i = 1, 2,n,ii这里不妨令 n=104 .(2)对n对数据(x , y )，i= 1, 2,n

14、，记录满足不等式y f (x )的次数,i iii就是事件A发生的频数卩，由此可得事件A发生的频率k，则J聲.nnn又n=104 时，模拟值f1 e -x22/迈匸dx=0.3406980那么所求近似值J=f1 f (x)dx0.3404.1.2在极限中的应用在数学分析中，极限的证明通常也是比较困难的。虽然求极限的方法比较多， 这里我们同样可以运用概率的方法。但是对于较为复杂的极限，概率方法往往难 以求出结果，接下来我们就用大数定律来求解这一类问题。例2假设G = v (x ,.,x ):nx2 20 x,x 0cnn从而,lim f .J dx dx .dx = 1nx Gn1 2n例3假设

15、f (x)和g (x)是a,b上的连续函数，并且满足条件：存在常数c0, 使0Ef (g )=fb f (x )dx ,1 b - a a匚一Eg (g)=fbg (x)dx .n1 b-a a依概率收敛于h (y , z ),00可见z = Eg(g )0,01故h(y, z)在点(y , z )连续:00因此,对任意的8 0,存在5 0 ,当|y 5和|h(y,z)-h(y ,z )|8 .0 0 1t Eg )I n11nEf(g)n由此可见：lim Pn T8z- z| 5 时,4.2大数定律在生产生活中的应用4.2.1 误差方面的应用下面我们介绍一下怎么利用大数定律解释测量随机误差。

16、理论基础：根据大数定律我们知道,对一系列随机误差5,5 ,有1n6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.1E 50 .nii=1这意味着当n 7 时，测量结果的平均值a +1 5和实际真值a将无限的接 nii=1 近，所以这样的方法是有理论依据的，一般都行得通。例4有一栋高楼需要我们测量其精确高度，现在利用某种仪器独立测量了n次，所得测量数据为x ,x ,假定测量仪器没有系统误差，那么当测量次数足够1n大即nTa时,是否能近似把1工(x -A)2看作是这栋楼高度测量误差的方差? nii=1解：假设x (i=l,2,n)为n次测量所得的结果,且满足iE(x )=卩,Var(x )=b

17、2, (i = 1,2.n)ii则第i次测量的误差x - A的数学期望和方差分别为:i设Y = (x - A)2 ,i=l,2,n,则Y也独立同分布。iii在无系统误差条件下，E(x - A)= 0,即有卩=A.i- Ex= Var(x)=O 2因而由切比雪夫大数定律可知：nTalimPVar (g )n i n i 丿i=1 i=1 74.3 大数定律在经济中的应用4.3.1 大数定律在保险业中的应用大数定律不但在数学领域，生产生活方面有着重要应用，其在经济发展中的 作用也是不容忽视的。大数定律在某些经济领域的作用人们已经熟知，并且极大 地应用到现实的生活工作之中,例如其在保险业不断蓬勃发展

18、壮大的过程中起到 至关重要的作用，可以视为保险业存在的基石。大数定律在保险学上的应用包括 保费的厘定，以及保险金的赔偿等等。关于保险金的赔偿其实是符合大数定律的， 因为现实中每个人的保费是不同的，但是因为投保的基数很大，所以根据大数定 律，每个投保户的平均赔偿金额将会稳定在某一数值附近。例 5 某公司准备为员工开办某年龄段的五年人寿保险业务，有 2500 人参 加，若是参加保险者交保险金 12元，若其在五年内死亡，则保险公司将支付赔 偿金b元，已知在五年内处于该年龄段的健康人死亡的概率是0.002，那么：(1) 保险公司将赔偿金定为多少，才能使保险公司的期望盈利大于1万元；(2) 如果保险公司

19、将赔偿金定为2000元，要使保险公司盈利2万元，每位参保者至少应交保险金a为多少元？(3) 如果保险公司将赔偿金定为 2000元，要使保险公司盈利的可能性大于99%，每位参保者至少应交保险金a为多少元？解 上述问题的解决方法如下：(1) 由于保险公司从每个人身上获得的收益为E (X )=12- 0.002b，所以保险公司从2500个人身上获得的期望收益应满足 2500x 12-2500x0.002b 10000从上述不等式可解出b4000，即b20000由此可推得a 12元即赔偿金b=2000元时，要使保险公司盈利2万元，每位参保者至少应交12 元.（3）仍用随机变量X表示2500中的死亡人数

20、，那么X服从B（2500,0.002）,而要使公司盈利2 万元等价于死亡人数即 2500a - 2000X 20000 2500a - 20000 25a - 200X =r2000203如果想让P x r仝 12 n a 17.6兀2000即赔偿金b=2000元时，要使保险公司盈利的可能性大于99%，每位参保者 至少交纳17.6兀.说明：1、理论依据：保险的赔偿遵从大数定律,即如果投保人数充分大,则平均赔 偿率几乎恒等于一个常数。利用大数定律与中心极限定理计算相关事件的概率。2、应用与推广 ：大数定律的一个重要应用是在保险学方面。基本原理是一 系列相互独立随机变量的平均值几乎恒等于一个常数,

21、这个常数就是它的数学期 望,或者说一系列相互独立随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望，可以 广泛应用于保险精算、资源配置等方面。4.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用我们知道大数定律在许多领域有着重要的作用，不过目前为止,人们对其并 没有充分认识,甚至在现实生活工作中，他们的所作所为已经不知不觉地暗含了 大数定律,很多人自己没有发现而已。这其中就包括被我们经常忽略的大数定律 在控制银行经营风险中的作用，通常我们这里指的银行是中小非国有银行。大数定律在银行中的应用不怎么常见，没有像保险业中那样应用广泛。因为 应用大数定律的银行一般都是非国有中小银行（这类银行本身数量就不多），再 加上大数

22、定律在银行中的应用领域比较有限，所以这就导致了大数定律在银行中 的应用比较少见，这方面的体系也不完善。这里在说明大数定律在银行体系中的应用之前，我们先来了解一下大数定律 是如何在保险市场控制风险的。我们知道保险市场风险具有随机性,但是因为投 保群体很大，所以运用大数定律，我们照样可以准确地计算出风险出现的概率， 从而确定风险损失和经营成本。但是银行的信用风险受各种不确定性条件的影 响，具有很强的离散性，不服从一种规律的分布状态。那么大数定律是怎样控制 银行的经营风险的呢?银行的经营风险更多情况下指的是贷款风险，即银行贷款出现坏账，从而导 致银行亏损的情况。我们这里所讨论的大数定律控制风险指的就

23、是这一情形。贷 款是一个银行发展的必须途径，如果一个银行贷款业务运营的很好，那么可想而 知该银行肯定发展欣荣。但是如果一个银行贷款业务出现问题，经常出现坏账， 那这个银行的发展肯定受到影响，严重时甚至可能导致银行倒闭。既然这样，那 我们只要杜绝了坏账不就行了吗？只要贷款不出现坏账那银行就不会亏损了。想 法固然很好，但实际中，由于存在信息不对称以及其他一些不可预测因素，银行 对每个借款人的信用不能清楚地掌握。就算某个人之前信用很好，但是我们不能 排除他就不会因为某种原因携款跑路，所以银行无法做到杜绝坏账。虽然不能杜绝坏账，但是银行可以事先对这一情况进行分析，利用大数定律 预测坏账出现的概率，然后

24、在制定相关的策略和贷款政策的时候，将这个事先预 测的概率考虑进去，这样可以对坏账有一定的掌控，从而可以较好地控制银行经 营风险。然而要想利用大数定律来预测坏账出现的概率，银行贷款必须要满足两个条 件：（1）每一笔贷款都必须是小额的；（2）借款的群体要足够大。第一个条件是 要保证每一笔贷款不会对总体贷款平均结果产生影响，因为学过概率论的知道， 如果总体里面有一项很大，那么这一项将影响总体平均结果的走向；其次，这个 条件还能降低因借款人的道德风险给银行带来的损失，因为如果出现一笔大额坏 账，那么银行将会严重亏损，对于规模较小的银行可能会直接倒闭。另外一个条 件则是大数定律最本质的要求，因为只有在样

25、本量很大的情况下大数定律预测的 结果方才准确。这两个条件缺一不可，非国有中小银行只有同时达到这两个条件 方才能保证贷款业务的欣荣。接下来我们就举个例子来具体说明大数定律在银行中的应用。例：某一非国有中小银行经营10万元贷款业务，贷款的年利率为10%，并 且该银行根据过去的贷款信息结合大数定律估计出现坏账的概率为1%。，现在该 银行期望该项业务年收益1000万，问至少需要多少笔贷款？解：假设总共有n笔贷款，用Y表示银行的收益贝U Y=nX （11%。）X105X10%nX1%oX105=9990n-100n=9890n所以丫三10八7即9890n107得到 n1011.12所以，至少需要1012

26、笔贷款才能保证年收益1000万。其实像这样的情况在温州中也是比较常见的，温州是全国第一个实行金融改 革的城市，在改革的过程中，很多中小银行和农村信用合作社也做了相应的变革。 就拿在贷款这一方面来说，许多中小银行和农村信用合作社在经营管理中很好地 利用了大数定律，并结合自身的优势，灵活地经营这项业务，取得了不错的成绩。5、结束语首先我们提出了常见的大数定律及相关的中心极限定理，然后讨论了它们的 应用，具体包括数学分析，生产生活，经济领域，这可以为专业人员管理提供参 考，对教学无疑也是非常有益的。通过大量样本的分析和预测，结合大数定律预 测实验的期望结果，这对于在现实工作中的预测也很有参考意义。在

27、当前的社会 环境下，经济发展是重要问题。大数定律在经济学中的应用将会越来越为人们关 注。6、致谢在写毕业论文的过程中，黎老师一直在给于我很多帮助，从一开始的跟我分 析怎么写，跟我介绍参考文献，到后来帮我审查文章，纠正错误等等，最后论文 才得以成形，在这里我要对老师说一声谢谢，老师您辛苦了。参考文献1 路庆华.几个大数定律的证明及应用.石家庄职业技术学院学报,2007年 8月第 19 卷第4 期： 2 -52 张树美,张荣基.关于大数定律定义的讨论.广西师范学院学报（自然科学版）,2002 年 6 月第 19卷增刊：36-38.3 魏宗舒.概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社,1983： 5

28、6-854 复旦大学概率论（第一册）M.北京：高等教育出版社,1979： 82-115.5 黄清龙，阮宏顺.概率论与数理统计M.北京：北京大学出版社,2005： 93-1266 周概容概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社,1984： 51-767 杨亚非.概率论与数理统计M.北京：化学工业出版社,2003： 38-528 中山大学.概率论与数理统计（上册）M.北京：人民教育出版社,1980： 258-259.9 浙江大学编.概率论与数理统计M.北京：化学工业出版社,1989： 96-12110 林正炎，陆传荣，苏中根编著概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社.48-7511 于进伟,赵舜

29、仁.大数定律与中心极限定理之关系.高等数学研究,2001年3月 第4卷第1 期：17-1912 钟镇权.关于大数定律与中心极限定理的若干注记.玉林师范学院学报（自然科学）,2001 年第 22卷第3期： 135-137.13 王小胜.大数定律的几个应用.河北建筑科技学院学报,2005年3月第22卷第1期：56-58.14 封希媛.大数定律与中心极限定理在实际中的应用.青海师范大学学报（自然科学版）,2006年第2期：47-49.15 唐莉,李雁如.大数定律与中心极限定理的实际应用.广东技术师范学院学报,2005 年第 6 期：12-12.16 王东红.大数定律和中心极限定理在保险业中的重要应用

30、.数学的实践与认识,2005年10 月第 35卷10期：31-31. 1 7 E Parzen.Modern Probability Theory and Its Applications. New York:John Wiley & Sons,19901 8JVUspensky.Introduction to Mathematical Probability.New York:McGraw-Hill,1987 Abstract: The law of large number,just as its name implies,means the stationary of its avera

31、ge results when there has a huge sample data. And it plays an very important role in probability theory. And it is also very important to maths and living and economy. This paper introduces several common kinds of laws of large numbers and central limit theorem and analyzes their application in some

32、 important scopes through some examples,such as mathematical analysis, error forecasting, lottery school, the approximate calculation and the insurance industry and bank.And further clarifies the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value.Keywords：Law of large numbers；Central limit theorem；Economic life；Application