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1、4.1 4.1 目标规划问题及其建模目标规划问题及其建模4.2 4.2 目标规划的图解法目标规划的图解法4.3 4.3 目标规划的单纯形法目标规划的单纯形法4.4 4.4 目标规划应用目标规划应用第2章 单纯形法2例例4-1 4-1 某企业计划生产甲、乙、丙三种产品，需要在两种设某企业计划生产甲、乙、丙三种产品，需要在两种设备备A A、B B上加工，消耗上加工，消耗C C、D D两种原料，有关数据见下表。两种原料，有关数据见下表。第4章 目标规划3甲甲乙乙丙丙现有资源现有资源A A（设备）（设备）312200B B（设备）（设备）224200C C（原料）（原料）451360D D（原料）（原
2、料）235300利润（元利润（元/件）件）403050目标规划目标规划Goal ProgrammingGoal Programming研究企业考虑现有的资研究企业考虑现有的资源条件下，在多个目标中去寻求满意解，使得完成目标源条件下，在多个目标中去寻求满意解，使得完成目标的总体结果与事先制定目标的差距最小。的总体结果与事先制定目标的差距最小。设 分别为甲、乙、丙的产量，则利润最大的线性规划模型为：线性规划最优解为X*=（50，30，10）Z*=3400第4章 目标规划4321,xxx0,3005323605420042220023.503040max321321321321321321xxxxx
3、xxxxxxxxxxtsxxxz决策者考虑以下实际目标：利润不少于3200元产品甲的产量不超过产品乙的产量的1.5倍提高丙的产量达到30以上设备加工能力不足时可以加班，但最好不加班原料只能使用现有的原料。企业如何制定生产计划，才能实现决策者的目标？第4章 目标规划5如果用线性规划求解，模型如下：该线性规划模型无可行解。0,30053236054200422200233005.13200503040.503040max321321321321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxz 目标规划是按事先制定的目标顺序进行检查，尽可能使目标达到预定的目标，即使不能
4、达到目标也要使得偏离目标的差距最小，也就是求得满意解。（1）设置偏差变量，表明实际值同目标值之间的差异d+,d-分别为正、负偏差变量,d+表示实际值超过目标值部分；d-表示实际值未达到目标值部分；d+和 d-两者中必定至少有一个为零。（2绝对约束和目标约束绝对约束：必须严格满足的等式约束和不等式约束，也称硬约束。目标约束：允许发生正或负偏差，也称软约束。第4章 目标规划6（3 3优先因子优先等级与权系数优先因子优先等级与权系数 一个规划问题常常有若干目标，但决策者在要求达到这些一个规划问题常常有若干目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次和轻重缓急的不同。要求第一位达到的目标时，是有主次和
5、轻重缓急的不同。要求第一位达到的目标赋予优先因子目标赋予优先因子P1P1，次位的目标赋予优先因子，次位的目标赋予优先因子P2,P2,规定规定PkPk+1PkPk+1，k=1,2,Kk=1,2,K。（4 4目标规划的目标函数目标规划的目标函数 每当一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目每当一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值，因此目标规划的目标函数只能是标值，因此目标规划的目标函数只能是min Z=f(d+,d-min Z=f(d+,d-)。其基本形式有三种：。其基本形式有三种：恰好达到目标值，正、负偏差变量都尽可能地小，恰好达到目标值，正、负偏差变量都尽可能地小，min
6、min Z=f(d+,d-)Z=f(d+,d-)不超过目标值，正偏差变量要尽可能地小，不超过目标值，正偏差变量要尽可能地小，min Z=f min Z=f(d+)(d+)超过目标值，负偏差变量要尽可能地小，超过目标值，负偏差变量要尽可能地小，min Z=f(d-)min Z=f(d-)第4章 目标规划7例例4-14-1用目标规划表示的模型为用目标规划表示的模型为其满意解为其满意解为X=X=（2828，2020，3030），），d1+=20 d1+=20，d2-=2 d2-=2，d4-=36 d4-=36，d5+=16 d5+=16，其余变量为零。，其余变量为零。第4章 目标规划80300532
7、36054200422200233005.13200503040.min32132132155321443213332221113215444332211xxxxxxxxxddxxxddxxxddxddxxddxxxtsdPdPdPdPdPz目标规划的数学模型的一般形式为目标规划的数学模型的一般形式为 其中：其中：PlPl为第为第l l级优先因子，级优先因子，l=1,L;l=1,L;-lk-lk，+lk+lk为分别赋予第为分别赋予第l l个目标约束的正负偏差变量的个目标约束的正负偏差变量的权系数。权系数。gkgk为第为第k k个目标的预期目标值，个目标的预期目标值，k=1,k=1,K,K。第4
8、章 目标规划9KkddnjxKkgddxcmibxatsddPzkkjkkknjjkjinjjijKkklkklkLll,10,10,1,1.min1111，u当目标规划问题中只包含两个决策变量时，可以用图解法进行求满意解。u目标规划图解法的计算步骤如下：u（1对所有目标约束，去掉偏差变量，画出相应直线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向。u（2确定第一优先级P1级各目标的解空间R1。u（3转到下一个优先级PJ级个目标，确定它的“最正确解空间RJ。u（4在求解过程中，若解空间 RJ已缩小为一点，则结束求解过程，因为此时已没有进一步改进的可能。u（5重复第3步和第4步过程，直到解空间缩小为一点，
9、或者所有L个优先级都已搜索过，求解过程也告结束。第4章 目标规划10例例4-2 4-2 用图解法求解下列目标规划问题用图解法求解下列目标规划问题第4章 目标规划1111223344112111222123324412min(53)2629242,01,2,3,4iizPdPdPddPdxxddxxddxxddxddxxidd解：所有目标约束，去掉偏差变量，画出相应直线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向。P1、P2的目标实现后，x1,x2 的取值范围为ABCD。考虑P3的目标中 d3-尽量小的要求后，x1,x2 的取值范围缩小为ABEF区域；然后考虑，在ABEF中无法满足d4-=0,因此只能在
10、ABEF中取一点，使d4-尽可能小，这就是E点。故E点为满意解。其坐标为13/2，5/4）。X=（x1，x2）=（13/2，5/4），Z=9/4 P3+3 P4 第4章 目标规划12求解线性规划的单纯形法的过程基本一致，只是在检验数处理时，需要考虑优先次序的影响。而且，目标规划的目标函数是求最小化，所以当检验数均为大于等于零时为满意解。例4-3用单纯形法求解例4-2第4章 目标规划13Step(0):初始单初始单纯形表纯形表第4章 目标规划14Step(1):x2 入基，入基，d4-出出基基Step(2):d4+入入基，基，d1-出基出基第4章 目标规划15Step(3):x1 入基，入基，d
11、4+出基出基Step(4):d4-入入基，基，d3-出出基基第第4章 目标规划16Step(5):d1+入入基，基，d2-出基出基这时，所有非基变量的检验数都大于零，所以有唯一最优解。X*=（13/2，5/4）Z*=9/4P3+3P4例例4-4 4-4 利用利用ExcelExcel求解目标规划问题。求解目标规划问题。某工厂要生产两种新产品：门和窗。生产所需的时某工厂要生产两种新产品：门和窗。生产所需的时间如下表所示。根据经市场调查得到的该两种新产间如下表所示。根据经市场调查得到的该两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有新产品均能销售
12、出去。问该工厂如何安排这两所有新产品均能销售出去。问该工厂如何安排这两种新产品的生产计划，可使总利润最大？种新产品的生产计划，可使总利润最大？其最优解为：其最优解为：X X*=（x1 x1，x2 x2）=（2 2，6 6）Z Z*=3600=3600第4章 目标规划17车间车间单位产品的生产时间单位产品的生产时间每周可以获得的每周可以获得的生产时间（小时）生产时间（小时）门门窗窗11042021233218单位利润（元）300500现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素，提出如下目标：（1根据市场信息，窗的销售量有下降的趋势，故希望窗的产量不超过门的2倍；(希望)（2由于车间3有另外新的生产任
13、务,因此希望车间3节省4个工时用于新的生产任务;(希望)（3应尽可能达到并超过计划的每周利润3000元。（希望）第4章 目标规划18则目标规划模型为：11222331212211112Min z()4 212 3218 s.t.20 32PdP ddPdxxxxxxddxx2212331214 3005003000,0,0 (1,2,3)iiddxxddx xddiExcel电子表格求解目标规划是按照优先级渐进的。假设三个目标优先级依次为1）（2）（3）。由于有三个目标优先级P1，P2，P3），所以要分三步完成：第1步：首先保证P1级目标的实现，这时不考虑其他次级目标。优先级1的数学模型为：第
14、4章 目标规划1911121221111222123312112233M in z42123218s.t.2032143005003000,0dxxxxxxddxxddxxddxxdddddd第4章 目标规划20第2步：在保证P1级目标实现的基础上考虑P2级目标。优先级2的数学模型为：第4章 目标规划212221212211112221233112112233M in z4212321820s.t.321430050030000,0ddxxxxxxddxxddxxdddxxdddddd第4章 目标规划22第3步：在保证P1级和P2级目标实现的基础上考虑P3级目标。优先级3的数学模型为：第4章 目标规划2333121221111222123312212112233M in z421 2321 820s.t.321 43 0 05 0 03 0 0 000,0dxxxxxxddxxddxxdddddxxdddddd第4章 目标规划24第三次求得的解只能使d3-=400，可见在实现了前两个优先级的目标基础上，优先级3的目标不能实现。总之，根据已知目标排序得到的满意解为：（x1，x2 ）=（2，4）Z*=2600需要注意的是：优先目标规划是渐进的，每次的模型都不同。目标优先次序改变时，满意解可能发生变化。第4章 目标规划25
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