计算机控制系统第七章

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1、1q 7.1 线性系统的状态空间描述及线性离散系统状态空间q 7.2 线性定常离散系统的能控性和能观性 q 7.3 状态反馈设计法 q 7.4 输出反馈设计法q 7.5 状态观测器设计q 7.6 应用状态观测器的状态反馈系统q 7.7 二次型最优控制算法设计 2 线性系统的状态空间描述 q 状态和状态变量 q 状态向量 q 状态空间 q 状态方程和输出方程 q 状态空间描述 q 线性定常离散系统的状态空间模型的建立 3 描述动力学系统在时间域内的动态行为或运动信息的集合称为系统的状态。能够完全描述系统的所用的相对独立且数目最少的一组状态，称为状态变量。状态变量的选取具有不唯一性，只要被选取的状

2、态之间相互独立即可，但状态变量中包含的状态的个数却是唯一的。一般意义上讲，所选取的状态变量可以具有物理意义，也可以只具有数学上的意义，但在工程实践中，往往选取容易测量的量作为状态变量以便实现状态反馈。4 如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量，那么可将这些状态变量看作是向量的各个分量，即 则x(t)称为n维状态向量。通常意义上的状态是指状态变量或状态向量。Tntxtxtxt)()()()(21x5 以n维状态变量的各个分量作为基底所形成的n维空间叫做状态空间。系统在任何时刻的状态都可用状态空间中的一个点来表示。6 在状态空间分析方法中，用三种变量来描述一个系统：即输入变量、状态变量

3、、输出变量。连续系统的状态方程通常用一阶微分方程组表示输出方程的一般形式为 离散系统的状态方程通常用一阶差分方程组表示 输出方程的一般形式为 0()(),(),;()tftttt xxux),(),()(tttgtuxy(1)(),(),;(0)kfkk kxxuxxxux),(),()(kkkgkuxy7 用状态方程和输出方程来描述系统的方法称为状态空间描述。状态方程和输出方程也被统称为动态方程。对于线性定常连续系统，其动态方程可以表示为对于线性定常离散系统，其动态方程可以表示为 CC0()()();()tAtBttx xx xu ux xCC()()()tCtDtyxu(1)()();(0

4、)kAkBkxxuxxxux)()()(kDkCkuxy8 给定如下的单输入-单输出线性定常离散系统的差分方程 式中，k表示kT时刻；T为采样周期；y(k)，u(k)分别为kT时刻的输出量和输入量,可以如下选取状态变量)()()1()1()(0011kubkyakyankyankyn)()(1kykx)1()(2kykx)1()(nkykxn9可得如下所示的动态方程)()1(21kxkx)()1(32kxkx)()1(1kxkxnn)()()()()1(012110kubkxakxakxakxnnn)()(1kxky10写成向量-矩阵形式为)(000)()()()(100001000010)1

5、()1()1()1(01211210121kubkxkxkxkxaaaakxkxkxkxnnnnn)(001)(kkxy11 给出了脉冲传递函数，可以用不同形式的状态方程和输出方程表示；同样，给出了状态方程和输出方程可以导出系统的脉冲传递函数或脉冲传递矩阵。线性定常离散系统的动态方程 对上面方程两端求z变换（零初始状态下），可得即因此，系统的脉冲传递矩阵为)()()()()()1(kDkCkkBkAkuxyuxx1()()X zzIABU z)()()(zDUzCXzY)()()()(1zDUzBUAzICzYDBAzICzG1)()(12q 线性定常离散系统的能控性 q 线性定常离散系统的能

6、观性 q 对偶原理 q 系统状态能控性、能观性的其它特性q 输出能控性130(1)()();(0)kAkBkxxuxx1cnWB ABAB对于n阶线性定常离散系统 若存在有限个输入向量序列能将某个初始状态在第 l 步控制到零状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。由上式描述的线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵行满秩。例7.1 例 14)()()()()()1(kkCkkBkAkDuxyuxxo1nCC AWC A对于线性定常离散系统 若已知输入序列和有限个采样瞬间测量到的输出序列，可以唯一地确定出系统的任意初始状

7、态，则称系统是状态能观测的，或简称能观测。由上式描述的线性定常离散系统状态完全能观测的充分必要条件是能观测性矩阵满秩。例 15给定线性定常离散系统S1、S2的状态空间表达式分别为 S1 S2设S1=(A,B,C)、S2=(AT,CT,BT)是互为对偶的两个系统，则S1的能控性等价于S2的能观测性；S1的能观测性等价于S2的能控性。或者说，若S1是状态完全能控的(完全能测观的)，则S2是状态完全能观测的(完全能控的)。)()()()()()1(kDkCkkBkAkuxyuxx)()()()()()1(*kDkBkkCkAkTTTuxyuxx16 非奇异相似变换不改变系统的能控性 非奇异变换不改变

8、系统的能观性 离散系统状态能控性、能观性与脉冲传递函数的关系 单输入-单输出线性定常离散系统完全能控和完全能观的充分必要条件是脉冲传递函数不存在着零、极点相消。如果存在着零、极点相消，系统或者是不完全能控，或者是不完全能观，或者既不完全能控又不完全能观。例17对于n阶线性定常离散系统，输入向量为r维，输出向量为m维若存在有限个输入向量序列能将系统输出从某个初始状态在第q步控制到任意最终输出，则称此系统是输出完全能控的，简称输出能控。由上式描述的线性定常离散系统输出能控的充要条件是输出能控性矩阵行满秩。)()()1(kBkAkuxx)()()(kDkCkuxy1snWDC BC ABC AB18

9、 控制系统的品质好坏主要取决于系统的极点在z平面上的位置。因此，在对系统进行综合设计时，往往是给出一组期望的极点，或者根据时域指标提出一组期望的极点。所谓极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵的设计，使闭环系统的极点恰好处于z平面上所期望的位置，以获得期望的动态特性。这种方法可以看作是对经典控制理论中的根轨迹法的扩展。q 基于状态反馈的单输入系统极点配置方法q 多输入系统状态反馈设计法19被控系统如图所示，其状态方程为 式中x(k)为k时刻的n维状态向量；u(k)为k采样时刻的控制信号；A为nn维矩阵；b为n1维列向量。0(1)()();(0)kAku kxxbxx图7.3 被控对象结构图20采用

10、如下形式的状态反馈式中，K为状态反馈增益矩阵，v(k)为参考输入。将其代入状态方程中构成图所示的闭环系统。)()()(kvkKkux图7.4 状态反馈闭环系统 基于状态反馈的单输入系统 极点配置方法21经反馈后的闭环系统可以表述为若系统(A,b)是完全能控，则采用上述状态反馈得到的闭环系统的极点可以任意配置。不妨假设它已是能控标准型(若不是，可通过非奇异非线性变换转换成能控标准型)。(1)()()()kAKkv kxbxb01210100000100;000101nAbaaaa 基于状态反馈的单输入系统 极点配置方法22经过状态反馈后的闭环系统的状态矩阵和输入矩阵分别为 闭环系统特征方程为01

11、12231010000100001nnA bKaka kakak 0001b111201()()()()()0nnnnf zzIA bKzak zak zak 基于状态反馈的单输入系统 极点配置方法23*12,nz zz*12*1*1212()()()()(1)()(1)0nnnnnnfzzzzzzzzzzzzz zz *2*110*2*11)1()(1(nnnnnzzzkazzzka设闭环系统的期望极点为则系统的期望特征方程为令上两式中的各项次幂系数对应相等，即即可得到状态反馈增益矩阵 K。例 基于状态反馈的单输入系统 极点配置方法24 至少有一路输入可使系统是完全能控 在这种情况下，只需单

12、独使用该输入实现状态反馈。方法同前面所述单输入系统的状态反馈设计法基本一样。例 针对任意单独输入系统不完全能控 若一多输入系统状态完全能控，但针对任意单独输入系统不完全能控，此时，可将各输入看成是某单一输入信号的线性分解，则原多输入系统等价成某一单输入系统。例 25假设系统的状态方程为 采用如图所示输出反馈，引入参考输入 其中H为输出反馈增益矩阵。)()()1(kBkAkuxx)()(kCkxy()()()kHkkvyu图7.5 多输入多输出系统的输出反馈26闭环系统状态方程为闭环系统特征方程为设闭环系统的期望极点为 则系统的期望特征方程为 令上两式中z各次幂项系数对应相等，即可求得输出反馈系

13、数矩阵H。(1)()()()()()()kAkBkHCkABHCkBkxxvxxv()()0f zzIABHC*12,nz zz*12*1*1212()()()()(1)()(1)0nnnnnnfzzzzzzzzzzz zz zz 27 利用状态反馈实现闭环系统的极点配置，需要利用系统的全部状态变量。然而系统的状态变量并不都是能够易于用物理方法量测出来的，有些根本就无法量测；甚至一些中间变量根本就没有常规的物理意义。此种情况下要在工程上实现状态反馈，就需要对系统的状态进行估计，即构造状态观测器。q 全维状态观测器 q 降维状态观测器 28 当对象的所有状态均不可直接量测时，若要进行状态反馈设计

14、，就需对全部状态变量进行观测。这时构造的状态观测器，其阶次与对象的阶次相同，被称为全维状态观测器。考虑如下 n 阶单输出线性定常离散系统A为nn维系统矩阵，B为nr输入矩阵，C为1n维输出矩阵。)()()()()1(kCkykBkAkxuxx图7.6 全维状态观测器29构造一个与受控系统具有相同参数的动态系统 当两系统的初始状态完全一致时，则两个系统未来任意时刻的状态也应完全相同。但在实际实现时，不可能保证二者初始状态完全相同。为此，应引入两个系统状态误差反馈信号构成状态误差闭环系统，通过极点配置使误差系统的状态渐趋于零。由于原受控系统状态不可直接量测，故用二个系统的输出误差信号代替。)()(

15、)()()1(kCkykBkAkxuxx30引入了输出误差的状态观测器状态方程为 其中，H为状态观测器的输出误差反馈系数矩阵,有如下形式定义状态估计误差为)()()()()()()()()()()()()1(kHykBkHCAkHCkHykBkAkykyHkBkAkuxxuxuxxTnhhhH21)()()(kkkxxx31由前述可得即 若选择合适的输出误差反馈矩阵H使得状态估计误差系统的所有极点均位于z平面单位圆内，则误差可在有限拍内趋于零，即状态估计值在有限拍内可以跟踪上真实状态，且极点越靠近原点状态估计误差趋于零的速度越快，反之越慢。)()()()()()()()()()1()1(kkH

16、CAkHykBkHCAkBkAkkxxuxuxxx)()()1(kHCAkxx32*12,nz zz*o12*1*1212()()()()(1)()(1)0nnnnnnfzzzzzzzzzzzzz zz o()()0f zzIAH C若指定状态观测器的特征值为 即期望的特征方程为 状态观测器的特征多项式为 比较两式两边z各次幂项的系数可得到一个n元方程组，可求得输出误差反馈系数矩阵H。例33 已知n维系统是能观测的，其输出矩阵的秩是m，则说明系统状态有m个是可以直接观测的，不需要对系统的n个状态全部进行观测，而只需对另外n-m个状态进行观测即可。即可用n-m维状态观测器代替全维状态观测器。这种

17、维数低于被控系统状态向量的观测器称为降维观测器。单输入多输出系统降维观测器的设计 已知n维线性定常离散系统(A，b，C)能观测其中，x(k)为n维状态向量，y(k)为m维输出列向量。)()()()()1(kCkkbukAkxyxx34 先将状态x(k)分解成两部分：可直接测量部分x2(k)(m1维)；不能直接测量需重构部分x1(k)（(n-m)1维）。即其中A11为(n-m)(n-m)维；A12为(n-m)m维；A21为m(n-m)维；A22为m(n-m)维；b1为(n-m)1维;b2为m1维。为了用可直接观测的x2(k)估计不可直接观测的x1(k)，引入一个虚拟输出)()()()1()1()

18、1(21212221121121kubbkkAAAAkkkxxxxx)()(0)(21kkIkxxy)()()1()()(22222121kubkAkkAkxxxz35 观测器模型结构 整个系统的降维状态观测器实际上相当于全维观测器的子系统。因此采用与全维观测器相同的输出误差反馈思想，构造降维观测器，其结构如图所示。图7.7 降维状态观测器结构36观测器方程为 令观测器状态误差为 同全维观测器情况类似，有)()()()()()()()()()()1(12121211112121111kHkubkAkHAAkkHkubkAkAkzxxzzxxx)()(121kAkxz111()()()kkkx

19、xx xx x111111122111211122111211111211(1)(1)(1)()()()()()()()()()()()()()kkkAkAkbu kAH AkAkbu kHkAH AkkAH Akx xx xx xx xx xx xx xz zx xx xx x3711111221112111221112111221222221121112222122(1)()()()()()()()()()()()()()()(1)()()()()()()()()(kAkAkb u kHkkAH AkAkb u kHkAH AkAkb u kHkH AkH b u kAH AkAH Akb

20、H b u kHkx xx xx xz zz zx xx xz zx xx xx xx xx xx xx x1)降维观测器的实现 将z表达式代入观测器方程中，得上式中x2(k)，u(k)可直接得到，但最后一项Hx2(k+1)实现有困难，因x2(k+1)是预测值。这时可采用图结构变换法，则得到降维状态观测器实现的结构如图所示。例 图7.8 降维状态观测器实现的结构变换法示意38图7.9 降维状态观测器的实现39 以单输入单输出系统为例该系统完全能控完全能观测。设计的问题是：1.用状态估计值反馈与用真实状态反馈系统性能是否一致?2.状态反馈增益矩阵K和观测器输出误差反馈矩阵H如何设计?(1)()(

21、)()()kAkbu ky kckxxxxx x()kx x40问题1用x(k)反馈时，闭环系统为其中，v(k)为参考输入用 反馈时，状态观测器为(1)()()()kAbKkbv kx xx x(1)()()()()()()()()kAkbu kHy ky kAH Ckbu kH y kx xx xx x41闭环系统为(1)()()()()()()()()()()()()()()()()()kAkb v kKkAkbv kbKkbKkbKkAbKkbKkkbv kAbKkbKkbv kxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx()kx x42若 ，闭环系统系数矩阵未变，均为A-bK，这种

22、情况下，反馈系统与x(k)反馈系统完全相同。若 ，反馈系统比x(k)反馈系统多了一个输入量 ，观测器设计过程中对H的选择保证对系统来说相当于一个很快衰减的扰动量，只对系统产生瞬态的影响。(0)(0)x xx x()kx x(0)(0)x xx x()bKkx x()bKkx x()kx x43问题21.用 反馈与用x(k)反馈，闭环系统极点不发生变化。如果(A,b)能控，用 反馈同样可以选择K矩阵进行极点的任意配置，不受H矩阵影响。即使用观测器不影响状态反馈配置好的闭环极点。2.状态观测器状态方程的形式与引入状态反馈前一样。因此，观测器极点的选择不受状态反馈系数矩阵K选择的影响。定理 (分离定

23、理)若系统能控又能观，可以先通过闭环极点要求选择状态反馈系数矩阵K，然后可按观测器状态偏差衰减速率要求独立地选择观测器输出误差反馈系数矩阵H，而H不会影响已配置好的闭环极点。也就是说，K和H可以分别独立设计，互不影响。()kx x44 前面介绍的设计方法一般在设计开始时就确定了系统的结构形式，而这些结构形式通常不是最优的。往往得不到满意的效果，还需要在状态空间模型下建立最优控制策略。q 最优控制概念q 二次型最优控制q 线性离散系统二次型最优控制45 最优控制，就是在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，系统的某种性能指标具有最优值。根据系统不同的用途，可提出各种不同的性能指标。设 所谓

24、最优控制问题，就是要寻找最优控制函数u*(t)，使上式所示的系统状态x(t)从已知初始状态x0转移到要求的终端状态xtf，在状态转移过程中满足 控制与状态的不等式约束，即 x(t),u(t),t0。终端状态的等式约束，即Mx(tf),tf=0。并且使下面的性能指标达到极值。00)(,),(),()(xtxttutxftxf0ff(),(),(),dttJS x ttF x t u t tt46 性能指标是衡量系统性能好坏的尺度，其内容与形式取决于最优控制问题所要完成的任务，不同控制问题应取不同的性能指标。目前最常用的性能指标是用积分判据表示的，常称为代价函数 f0(),(),dttJF x t

25、 u t tt47 性能指标以对状态及控制作用的二次型积分表示，通常称为二次型最优控制。其性能指标函数一般表达式为 为使性能指标有意义，应要求S、Q至少是对称半正定的，R是对称正定的。即代价函数可以对某些状态变量不给予约束，但对控制作用的每个分量都必须给予约束。代价终端时刻tf可以任意选取，如是tf有限的，则称为有限时间最优代价函数；如tf趋于无限大，则称为无限时间代价函数。此时代价函数可简化为 f0ff11()()()()()()d22tTTTtJxt Sx txt Qx tut Ru tt01()()()()d2TTtJxt Qx tut Ru tt48 设线性定常离散系统状态空间方程为

26、二次型代价函数为 其物理意义为消耗较小能量的条件下，使整个控制过程的状态响应偏离平衡态的偏差尽可能地小。这是状态调节问题。(1)()()x kAx kBu k()()y kCx k1011()()()()()()22NTTTkJxN Sx Nxk Qx kuk Ru k49 用拉格朗日乘数法来求解线性二次型最优控制问题，系统状态方程可写为 作为约束条件，可构造拉格朗日函数 1,2,1,0,0)1()()(NkkxkBukAx101011()()()()()()22(1)()()(1)NTTTkNTkLxN Sx Nxk Qx kuk Ru kkAx kBu kx k0,0,1,2,1()0,0

27、,1,2,1()0,0,1,2,1()LkNx kLkNu kLkNk 50 线性离散系统二次型最优控制 在上式的约束条件下，使二次型代价函数取得极值的条件是 51 线性离散系统二次型最优控制 应用拉格朗日函数可得 上式中，当k=0时有()(1)()0()()(1)0()()()(1)0()TTLQx kAkkx kLRu kBku kLAx kBu kx kk(0)(1)(0)0(0)()()0()TLQxAxLSx NNx N52 线性离散系统二次型最优控制 经简单的数学操作可得 假定存在黎卡提(Riccati)变换 可得 1()()(1)()(1)TTkQx kAku kR Bk 1(1

28、)()(1)Tx kAx kBR Bk()()()kp k x k()()()(1)(1)Tp k x kQx kA p kx k1(1)()(1)(1)Tx kAx kBR B p kx k53 线性离散系统二次型最优控制 进而有 或 在终止阶段k=N，则有即p(N)=S。11(1)(1)()Tx kIBR B p kAx k11()()()(1)(1)()TTp k x kQx kA p kIBR B p kAx k11()(1)(1)TTp kQA p kIBR B p kA()()()()Np N x NSx N54 线性离散系统二次型最优控制111()(1)()()()()()()()()TTTTTu kR BkR BAkQx kR BAp kQx kK k x k 1()()()TTK kR BAp kQ 计算出p(0)p(N)的值后，可得式中 如果系统的状态矩阵A，控制矩阵B，目标函数的加权阵Q、R、S均为已知，就可以预先脱机计算反馈增益矩阵K(k)，用K(k)左乘状态向量x(k)，就能确定出控制向量u(k)。例