数学物理方程课件

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1、数学物理方程第一章方程的一般概念第一节方程的基本概念n定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为偏微分方程。一般形式：其中u 为多元未知函数，F是 以及u的有限个偏导数的已知函数。注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u，但必须含有未知函数u的偏导数。121 112,(,)0nnxxxx xF x xx u uuuu12,nxxxun定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。n定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，及其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程。n二阶线性偏微分方程的一般形式：21,11(,).nnijini jiijiuuab

2、cuf xxx xx 波动方程 热传导方程 位势方程 2(,)ttxxua uf x t2(,)txxua uf x t(,)0,(,)(,)0,xxyyf x yLaplaceuuf x yf x yPoisson方程方程第二节二阶线性偏微分方程的分类一、方程的分类 一般形式其中u(x,y)是未知函数，都是x,y的已知函数，且 不同时为零。称 为方程的判别式。111222122(1)xxxyyyxya ua ua ubub ucuf11122212,aaab b c f111222,aaa2121122aa a 定义:(1)若在 处 称方程（1）在点 处为双曲型方程；(2)若在 处 称方程（

3、1）在点 处为抛物型方程；(3)若在 处 称方程（1）在点 处为椭圆型方程。00(,)xy0,00(,)xy00(,)xy00(,)xy00(,)xy00(,)xy0,0,例：波动方程 双曲型 热传导方程 抛物型 位势方程 椭圆型22(,)0ttxxua uf x ta 2(,)0txxua uf x t(,)1xxyyuuf x y 二、方程的标准形式定义：方程 分别称为 双曲型方程的第一标准形和第二标准形。方程 称为抛物型方程的标准形。方程 称为椭圆型方程的标准形。11112222,xyxyyyxxxyuAuBuC uDuuA uB uC uD33334444,yyxyxxxyuAuB u

4、C uDuA uB uC uD或5555,xxyyxyuuA uB uC uD三、方程的化简步骤：第一步：写出判别式 ，根据判别式判断方程的类型；第二步：根据方程（1）写如下方程 称为方程（1）的特征方程。方程（2）可分解为两个一次方程 称为特征方程，其解为特征线。设这两个特征线方程的特征线为令2121122aa a 2111222()20(2)dydyaaadxdx1211(3)adydxa12(,),(,).x ycx yc(,),(,).x yx y 第三步(1)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。(2)当 时，特征线 令 其中 是与 线性无

5、关的任意函数，这样以 为新变量方程(1)化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。(3)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形其中A,B,C,D都是 的已知函数。0(,),(,).x yx y,uAuBuCuD,0(,).x yc(,),(,).x yx y(,)x y(,)x y,uAuBuCuD,0 11(),().22i,uuAuBuCuD,例1.化标准形式并求通解例2.化标准形式例3.化标准形式注意：二阶偏微分方程含有两个任意函数，二阶常微分方程含有两个任意常数。20.xxxyyyuuu20.xxxyyyxyauauaubucuu4520.xxxyyyxyuuuuu 第二章

6、 行波法第一节 定解问题一、定义 1.我们把描述一个物理过程的偏微分方程称为泛定方程。2.一个过程中发生的具体条件称为定解条件。3.泛定方程带上适当的定解条件，就构成一个定解问题。4.用来表示初始状态的条件称为初始条件；用来描述边界上的约束情况的条件称为边界条件。注意：初始条件的个数与方程中出现的未知函数u对时间变量t的导数的阶数有关。二、定解问题1.初值问题（Cauchy问题）只有泛定方程和初始条件的定解问题。2.边值问题 泛定方程加上边界条件的定解问题。注意：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所以不提初始条件）。3.混合问题 既有初始条件又有边界条件的定解问题。三、叠加原理n原理：

7、n线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程n如：L u1=f1n L u2=f2n则：L(au1+bu2)=af1+bf2四、弦的振动方程的导出（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧）考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。设弦在xu平面内振动，在某一时刻t，弦的瞬时状态以给出，此时x点弦的位移为u(x,t).考察原长为dx的一小段弦（x,x+dx）.在振动时这小段弦的长度为222()()1().x dxx dxxxxsdudxudx 由于只考虑微小振动，略去 ，所以 即弦的长度

8、变化忽略不计。而在弦上x及x+dx点弦的张力为 与x轴夹角为 用 表示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为 。是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力大小为F(x,t).2()xu.sdx(,),(,)TTFx t Fxdx t12,.dxttu则根据牛顿第二定律，有 对微小振动，都很小，故 即 并且 的值不随时间变化，为常数。同样 都很小，有根据导数的几何意义:,2,1,2,1sinsin(,).coscos0.ttT x dxT xT x dxT xdxuFFF x t dxFF12,.12coscos1.,T x dxT xFF12,.1122sin,sin.tgtg12(,),

9、(,).xxtgux t tguxdx tTF这样方程变为则为一维波动方程。2(,)(,)(,),(,),(,),TttTu xdx tu x tFF x t dxdxuxxFF x taf x t令2(,)ttxxua uf x t第二节一维齐次波动方程的cauchy问题一、DAlembert公式 考虑无界弦的自由振动（cauchy问题即初值问题）解:(1)化标准形，然后求通解 故原方程化为 2,0,(,0)(),(,0)().ttxxtua uxtu xx u xx 21220 xatcxatdxaxatcxatdt(,)0.u 则(2)由初始条件确定F,G(,)()(),uFG(,)()

10、().u x tF xatG xat方程的通解0()()(),()()()()()(),1()()()xxF xG xxa F xG xxF xG xxF xG xdca 解得 则为DAlembert公式。0011()()(),22211()()().222xxxxcF xxdacG xxda (,)()()11()()().22x atx atu x tF xatG xatxatxatda 二、解的物理意义说明 的物理意义。设 且考察对于固定时刻 只是自变量x的函数。考虑时刻 由于12(,)(),(,)(),u x tF xat ux tG xat(,)()()u x tF xatG xat

11、212(,),(,)ttxxu x t ux tua u都是的解，12(,)(,)(,).u x tu x tux t2(,)().ux tG xat00,()t G xat01,t 00()(1)G xatG xaa t 这说明弦上点x在时刻 的振幅和弦上点x+a在时刻 的振幅相同，或者说，弦上点x在时刻 的振幅在时刻 传到了x+a.由于此关系对弦上的全体点x都成立。这说明在时刻 时的波形 经过单位时刻以后，向右平移了 a，即 表示以速度a向右传播的行波称之为右行波。同样，称之为左行波。左右行波统称为行波。因此，解可以表示成左右行波的叠加。这种用左右行波叠加来构造解的方法，称为行波法。01t

12、 0t01t 0t20(,)ux t2(,)ux t1(,)()u x tF xat0t三、其他cauchy问题例1.解：令 故有230,(,0)sin,(,0).xxxyyyyuuuu xx uxx2123,230yxcduduyxcdxdx3,yxyx0(,)(3)()uu x yF yxG yx222(3)()sin,(3)().(3)()sin,11(3)(),32313()sin,43244113()sin.484FxG xxFxG xxFxG xxFxG xxcxF xxcG xxxc 所以定解问题的解为2131(,)sin()sin().4433yu x yxyxxyy例2.求解

13、特征初值问题 解：方程的通解为 当 时，当 时，且 故2000,|(),|(),(0)(0).ttxxx atx atua uuxux其中(,)()()u x tF xatG xat0 x at(2)(0)()()()(0);2xFxGxF xG0 x at(0)(2)()()()(0);2xFGxxG xF(0)(0)(0)(0)FG(,)()()(0).22xatxatu x t无界弦的强迫振动问题 （A）解记为（B）解记为由叠加原理可知第三节一维非齐次波动方程的cauchy 问题2,0,(,0)(),(,0)().ttxxtua uxtu xx u xx 2(,),0,(,0)(),(,

14、0)().ttxxtua uf x txtu xx u xx 1(,)u x t2(,),0,(,0)0,(,0)0.ttxxtua ufx txtu xux 2(,)ux t12(,)(,)(,).u x tu x tux t对于问题（B），指弦在初始时刻静止于平衡位置，受外力作用而振动。f(x,t)表示时刻t在x处单位质量所受外力，是连续的力。从时刻0延续到时刻t，t时刻后的力对弦在时刻t振动没影响，不必考虑。把0，t分成若干小时间段，设 是其中一段，在时间 内把力近似地看成常力，以 表示，由Newton第二定律，常外力 使单位质量产生加速度 ，所以弦上x点在时间段 内产生的速度改变量为把

15、这个改变量看作是 时刻的初始速度，这种把外力化成初始速度的原理称为Duhamel原理。由初始速度所产生的振动可由下面齐次方程的Cauchy问题描述。,d ,d(,)f x(,)f x(,)f x,d(,)f xdt（c）则（D）22,|0,|(,),|0,|(,)ttxxtttttxxtttatf xdatddf xddd 令，2,|0,|(,)ttxxtttatf x显然则（E）其解为故（D）的解为1(,;)(,).2x atx atx tfda 200,0|0,|(,)t txxtttatf x,(,;)(,;).,dx tx tdtt 即令()()1(,;)(,).2x a tx a t

16、x tfda 定理（齐次化定理）设 是问题（D）的 解，则 是问题（B）的解。(,;)x t0(,)(,;)tu x tx td证明：所以 又 故满足（B）的初始条件。而 满足 满足 0(,;)(,;).(,|0,(,;)0.ttttux t tx tdx tx t t由）故0(,;).tttux td00|0,|0tttuu000(,;)(,;)(,)(,;).(,;).ttttttttttxxxxux t tx tdf x tx tdux td(,;)x t2,(,)ttxxau x t故2(,).ttxxua uf x t第四节 三维波动方程的cauchy问题一、三维齐次波动方程的cau

17、chy问题 对一维波动方程的cauchy问题公式 200(),0.()|(,),|(,).ttxxyyzztttua uuux y ztuf x y zug x y z 11(,)()()()22()()22x atx atx atx atx atx atu x tf xatf xatgdattfdgdtatat 是初始位置f与初始速度g在以x为中心，以at为半径的区域x-at，x+at上的算术平均值。考虑f(x,y,z)和g(x,y,z)在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上的平均值11()()22x atx atx atx atfdgdatat与2 22 211(,),(,).4

18、4MMatatssffds ggdsa ta t 于是（*）问题的解为该公式称为poisson公式（球面均值法）其中 是以M(x,y,z)为中心，以r=at为半径的球面。2 22 2(,)()(,)(,)441(,)1(,)44MMatatMMatatssssttu x y z ttftgfdsgdstta ta tfgdsdsa trar Mats将公式在球坐标下化为累次积分球面 的方程为则有Mats2222()()()()xyzat2 2sincossin sin,0cos02sinxatyatzatdsa td d 故200200(,)(sin cos,sin sin,cos)sin4(

19、sin cos,sin sin,cos)sin4tuxyztf x aty atz atd dttgx aty atz atd d 例：解：200(),0.|2,|0.ttxxyyzztttua uuux y ztuxy u 200(sincos)2(sin sin)sin42tuxatyatd dtxy 二、三维非齐次波动方程的cauchy问题20021002()(,),0.|(,),|(,).(),0.()(,)|(,),|(,).()(,)()ttxxyyzztttttxxyyzztttttxxyyzzua uuuF x y z tx y ztuf x y zug x y zua uuu

20、x y ztAu x y z tuf x y zug x y zua uuuF x y z tB 200220,0.(,)|0,|0.(),.()|0,|(,),.(,)(,)tttttxxyyzzttttx y ztux y z tuuax y ztCF x y zux y z tx y z td 则()()()()2()02021(,)(,)|41(,)(,)|4(,)14(,)14Ma tMa tMa tr a tstr a tsatsr atFx y z tdsarFux y z tddsarrFtadrdsarrFtadvar 2 22 22(,)(,)(,)44(,)1.4MMat

21、atssr atttu x y z tfdsgdsta ta trFtadvar 故第五节 二维波动方程的cauchy问题一、二维齐次波动方程（降维法）令200(),0.|(,),|(,).ttxxyytttuauux ytufx yug x y 200(,)(,),0,(),|(,),|(,).ttttxxxxyyyyzzttxxyyzztttu x y z tu x y tuu uuuuuua uuuuf x yug x y改写方程为利用三维波动问题的poisson公式1)上、下半球面在坐标平面上的投影为 上、下半球面的面积元素相同()utftgt2 222221,4:()()()()Ma

22、tMatffdsa txyzat222()()()xyat2222222222222222()()(),1,(),()()()(),()()()1,()()()zatxydsd dxatxyyatxydsd datd datxy 2222 22 22 22 2222222()()()141()42424()()()1(,)2()()()MatDxyatffdsa tfdsfdsa tfdsa tatfd da tatxyfd datatxy 下上上2220022200cos,sin1(cos,sin),2()1(cos,sin).2()().atatxrd drd dryrf xryrfdrd

23、ratatrg xryrgdrdratatruutftgtpoisson 令同理所以,该公式为二维波动方程的公式。二、二维非齐次波动方程的cauchy问题2002100200()(,),0.|(,),|(,).(),0.()(,)|(,),|(,).()(,),0.()|0,|ttxxyytttttxxyytttttxxyytttua uuF x y tx ytuf x yug x yua uux ytAu x y tuf x yug x yua uuF x y tx ytBuu 2220(,)0.(),.()|0,|(,),.(,)(,)ttxxyyttttux y tax ytCF x y

24、ux y tx y td 则()()22220222122221(,)(,)2()()()1(,)(,),2()()()1(,)2()()()1(,)2Ma tMa tMattFx y td daa txyFux y z tdd daa txyfuuud da ta txyga 因此，()2220222()()()1(,).2()()()MatMa ttd da txyFdd daa txy 例：200(),0.|0,|.ttxxyytttua uux ytuuxy 22200222222000000,cossin2()1cossin2()()().atatatfftxryrutgdrdrat

25、atrxyrrdrdrdrdraatratrxy t解：第三章 固有值问题与特殊函数第一节二阶常微分方程的级数解 求解固有值问题时，经常遇到二阶线性齐次常微分方程的求解问题。二阶齐次常微分方程的一般形式：()()0.(1)yp x yq x y定义：在方程（1）中，若p(x),q(x)在 处解析，则称 点为方程（1）的正常点；若 是 p(x),q(x)的孤立奇点，则称 点为方程（1）的奇点；若 是p(x)的不超过一级的极点，并且是q(x)不超过二级的极点，则 为方程（1）的正则奇点；否则称 为方程（1）的非正则奇点。0 x0 x0 x0 x0 x0 x定理（cauchy定理）设 是方程（1）的

26、正常点，则在 的某邻域内存在形如的解，且满足初始条件 的解存在、唯一。0 x0 x00()()(2)nnny xax x0001(),()y xay xa作法（待定系数法）：先将p(x),q(x)在点 展成Taylor级数，然后将展开式和（2）代入（1）。满足等式来确定若 是方程（1）的正则奇点，则p(x),q(x)可展开成Laurent级数此时设方程（1）有广义幂级数解0 x01,na aa0 x0012()(),()().nnnnnnp xaxxq xb xx00()()(3)s ns nny xcx x10020020010010020()()(),()()()1(),()()()()1

27、()()()()()(s ns nns ns nns ns nnks nks nknkks nkny xcsn x xy xcsn snx xyP x yq x ycsn snx xax xcsn x xb x xcx x 有则0)0.s n最低幂的系数，即 ，其系数为1212(1)00(1)0sssscs sacsbccs sa sb 且。则称为方程（1）的判定方程。20()xx定理：设 是方程（1）的正则奇点（1）若判定方程的两根之差不是整数，则s取这两个根构造的形如（3）的两个广义幂级数均是（1）的解（且两个解线性无关）；（2）若判定方程的两根之差是整数，则相对于较大的根所对应的形如（3

28、）的广义幂级数仍是（1）的解，另一个解形式如其中 为较大根对应解，是判定方程相对较小的根，且 和 线性无关。0 x221000()()ln()(),n snnyxAy xxxcxx1()y x2()yx1()y x2s方程的通解情况：设 为判定方程的两个根。（1）若 则 通解为（2）若 则 通解为 12,s s12ssZ12102000()(),()().snsnnnnny xcx xyxcx x12()()().y xAy xByx1212,ssZss且1210210000()(),()()ln()(),.snn snnnny xcx xyxAy xxxcxx12()()().y xAy x

29、Byx第二节 正交函数系及广义Fourier级数一、正交函数系的概念1.定义：设函数 在区间a,b上有定义，积分 称为函数 的内积，记作 函数 与自身的内积的开方称为该函数的范数（模），记作 ，即(),()xx()().baxx dx()()xx与()().baxx dx，()x()x2()().baxx dx，2.定义：设一族定义在a,b上的函数若满足则称函数系（1）是a,b上的正交函数系，简称正交系，记为01(),(),(),(1)nxxx(),()0,.00,1,2,.nmnxxnmn且，0.nnn或例：若（1）还满足 则称函数系（1）是a,b上的标准正交系。一切正交函数系都可标准化，即

30、可取适当常数使 成为标准正交系，取1,cos,sin,cos,sin,xxnxnx 是区间-上的正交函数系。1,0,1,2,nn01,n 0011,nn 1.nn3.定义：若函数系 在a,b上满足其中 为权函数，则称函数系 在a,b上关于权函数 正交，或称按权函数 构成正交系。nn0,()()(),0,1,0,bmnamnxxx dxm nmn()x()x()x二、广义Fourier级数设 是定义在a,b上的一个正交函数系，f(x)是a,b上给定的函数，设f(x)可以写成的形式，其中确定 ，将（1）式两端同乘 ，在a,b上积分且假设级数（1）可逐项积分，则由 的正交性，有n0011()()()

31、()(1).nnf xcxcxcx01,nc cc是常数.nc()nx0()()()().bbnkknaakf xx dxcxx dxn222()()()(),0,1,2()()()0,1,2()()()()0,1,2()()()bbnnaanbnnabnnnabnannbnannf xx dxf xx dxcnx dxcf xx dxnf xxx dxxcnxx dxf xc故若为标准正交系，则，若关于正交，则，称级数（1）为按正交函数系展开的广义Fourier级数，为广义Fourier系数。第三节 Sturm-Liouville问题常微分方程123123()()()()()0,(1)()(

32、)()()0(2)(1)()()()()()()()()()0(3)(2)()()()()()()c x Xxcx X xc xXaxbxdp x X xq xs x Xdxs xs x c x Xxs x cx X xs x c xXp x Xxp x X xq xs x其中 与 无关的参数。（1）式适当变形后，可化成得式改写成0(4)X 21211212112121131(3)(4)()()()()()()()()()(),()()()()()()()()()()(),1(),()(),()().cdxccdxcs x c xp xs x cxp xs x c xs x cxs x c x

33、s x c xs x cxs x c xs x cxc xs xec xcp xeq xp xc比较和有，则=解得，进而 方程（2）称为Sturm-Liouville方程，简记S-L方程，其中 是与x无关的参数，p(x),q(x),s(x)都是实值且假设q(x),s(x)连续，p(x)连续可微。若函数p(x)和s(x)在a,b上为正，S-L方程称为a,b上正则，当区间是无穷或半无穷，或当p(x)或s(x)在有限区间的一个或两个端点处为零时，S-L方程称为奇异的。1.S-L方程（2）+端点条件 一起 称为S-L问题，其中 对于使S-L问题有非零解的 值称为固有值，相应的固有值 的非零解称为固有函

34、数，因而，S-L问题有时也称为固有值问题。1212()()0()()0a X aa X ab X bb X b1212,.a a b bR()()2.()(),()()X aX bp ap bX aX bSLSL当正则方程同周期端点条件一起称为周期问题。3.定理 设S-L问题中的函数p,q,s在a,b上连续，对应于不同固有值 的固有函数 连续可微，则 在a,b上关于权函数s(x)正交。证明：因为 是对应于 的方程的解，则 ij和ijXX和ijXX和ijXX和ij和()()01)()()02)iiijjjdXdp xq xs XdxdxdXdp xq xs Xdxdx12)()()()|()()

35、()()()3)()()()()()jiijijjiijbbijijjiijaaijijijijXXdX X spX XpX XdxX X sdxpX XpX Xp b X b XbXb Xbp a X a XaXa XbSL将）得，则上式右端称为问题的边界项。下面证明边界项为零。1212222()()04)()()05)0()4)()5)()()()()00()()()()06)ijiijjjiijijijijXXxbb X bb Xbb Xbb XbbXbX bb X b XbXb XbbX b XbXb Xb、在处满足端点条件若，得因，故2100()0()0.6)()()()()0.()

36、00.ijijijbijijabijijabbX bXbX a XaXa XaX X sdxX X sdx若，此时若，由边界条件，有，故在这种情况下，也成立。同样可得这样证明了边界项为零，所以，由，有4.推论 区间a,b上的周期S-L问题，属于不同固 有值的固有函数在a,b上关于权函数s(x)正交。12*1122*211112211212*112121221*1*15.()()().()().0.bbbbaaaabababaXXXxc Xxc XxxX X sdxX c Xc Xsdx csX dxcsX X dxXXccsX X dxccsX dxX X sdxXX 关于同一个固有值的两个固

37、有函数与是的两个线性无关的固有函数，取则X也是 的固有函数，则为了使与正交，取 和 使有可见，与是属s于同一固有值的固有函数，且关于权函数 正交。12126.lim,()().()()(nnnnnnnbnannf xc Xxf x Xx sdxcXx 定理（1）任何正则S-L问题存在一个实固有值的无穷序列其中且对应的固有函数X（除常数因子外是唯一确定的）组成一个完备正交系；（2）在a,b上分段光滑的任一函数f(x),如果满足正则S-L问题的端点条件，则f(x)可以按固有函数系展开为绝对且一致收敛的级数，即其中.)basdx例1.求解S-L问题解：p=1,q=0,s=1()0,0(0)()0.X

38、xXxXX0(),0,00,0 xxX xAeBeABAeBeAB (1)当时，此方程通解为代入端点条件，得解之的此时方程没有非零解，仅有平凡解，即时，无固有值。0(),0,00,0X xAxBBABAB(2)当时，此方程通解为代入端点条件，得解之的此时方程没有非零解，仅有平凡解，即时，无固有值。20()cossin,0,sin00sin0,1,2,()sin,1,2,.nnX xAxBxABBn nXxnx n(3)当时，此方程通解为代入端点条件，得为时S-L问题有非零解，则，故，因此，固有值为对应固有函数是例1.求解周期S-L问题()0,()(),()().XxXxXXXX1,()().(

39、1)0(),0,0 xxpppX xAeBeAeBeAeBeAeBeAeBeAB 解：当时，此方程通解为代入端点条件，得（）（）解得故当时无固有值。00(2)0(),()()0,()()()01X xAxBXXABABABXBXXX当时，此方程通解为代入端点条件，由得有任意非零常数，显然满足的条件，故是固有值，相应的固有函数是2(3)0()cossin,cossincossin,sincossincossin0sin0.00,sin0,1,2cos,sin,1,2;nX xAxBxABABABABBAABn nnxnx n当时，此方程通解为代入端点条件，得，因此若或只有，得相应的两个线性无关的

40、固有函数总之 201,21cossin1,2.nnnxnxn，固有值为，对应固有函数为，第四节 Bessel函数101.0,()0()2.()(1)().()(1)(1)(),1,2,()()(1)(1)0,1,2,()0,1,2,xtxxte dtxxxxxxxkx xxkx kxkxx xxkxxn nnn 一、函数定义：由广义积分所表达的函数称为 函数。注：这个积分对所有收敛，且连续。的性质(1)递推公式由有当或时，222112000(2)(1)!,1,2,(1)1 2(1)!1(3)()222.t utuunn nnnnte dtu euduedu 二、Bessel方程和Bessel函

41、数Bessel方程的标准形式：22222200()0(0)(1)1(1)()0(2)(),0,(3)s kkkx yxyxyRxyyyxxxy xa xa且又可化为得=0是(2)的正则奇点，由定理得，可设Bessel方程的级数解为下面求判定方程：221220002222122012222002212()(1)()()0,()(1)()0(4)()00.0,.s ks ks kkkkkkksss kkkkxsk ska xxsk a xxa xsa xsa xskaaxsaasss 整理后得是恒等式，即各项系数均等于零。令，有，则根据定理，分两种情况讨论121200111122221.2(),(

42、).()(4)10,0,10,0.()0.,2,()kkkkkkkkkkkcase ssy xa xyxa xy xxaaxkaaaakkk 整数，此时方程的两个线性无关的解为首先求，在中，令的系数为零，则(2)又因为2故只有再令的系数为零，得即2121222222222 222 2322 32 302000,1,2,1,2,(5)2(2)2()(5)(1)2(1)()(1)(1)2(1)(2)()(1)(2)(1)2!()(1)(1kkkkkkkkkaakaaakkkkkaak kkkak kkkkkakkk 因为，故由上式可得，2反复应用，有02)(1)2(1).2!(1)kkakk210

43、02002120222012(1)2(1)(),2!(1)12(1)(1)()(),2!(1)(1)()(),2!(1)()(kkkkkkkkkkkkxy xaakkaxy xJxkkxyxJxkky xyx 令令则其中 为任意常数，取，则类似得分别称为 阶和-阶第一类Bessel函数，显然和12)()()().y xc Jxc Jx线性无关，因此方程的通解为12121222122.2()11()221(0,1,2),.2211()()ln(),.22(1)()()()()().case ssJ xi ssnnsnsny xAJ xxJxnny xJxy xc J xc Jx 整数，由定理知有

44、两个解，一个解表示为的形式，而关于另一个解分两种情况讨论即则其中，-代入经过计算A=0,故，所以方程的通解为1()2n 1212222200()22(1,2),.(1)(1)(),().2!(1)2!(1)11(1)0(1)()kk nkk nnnk nk nkknii ssn nsn snxxJxJxknkknknknknkJxn 即此时而当为零和负整数时，即，故的前 项系数均为零，22220220220220(1)()2!(1)(1)2()!(1)(1)2()!(1)(1)2!()(1)(1)(1)(1)2!(1)(kk nnk nk nnnnk nk nk nk nkk nk nk nk

45、k nk nk nkxJxknkxnxknkxk kn knkkxknk 所以1)()nnJx()()()cos()()()(6)sin()(1)()cos()()()limsin()nnnnnnJxJxJxJxJxxxJxJxJxxx因此和线性相关，故再找与线性无关的解，通常取Y作为Bessel方程的第二个解，称它为 阶第二类Bessel函数，显然Y是方程的解，且当 不是整数时与线性无关；当 是整数时，(6)式右端无意义，此时定义Y可验证Y()0()().nnnJxxJxx与线性无关，且当时，为有限值，Y121212()(),()()(),()(),.nnBesselc Jxc Jxy xc

46、 Jxc Y xnc Jxc Y x综上，方程的通解为整数为整数对一切三、Bessel函数的递推公式22022022202112101(1)(),2!(1)(1)(),2!(1)(1)()2!(1)(1)(),2!()()()(7)kkkkkkkkkkkkkkkkxJxkkxJxkkddxx Jxdxdxkkxxx Jxkkdx Jxx Jxdx 即，22021212201121221 012122(1)()2!(1)(1)2(1)22!(1)2!(1)(1)2(1)2(1)!(2)(1)2(1)2(1)!(kkkkkkkkkkkkkkkkddxxJxdxdxkkkxkxkkkkxkxkk 同

47、理0121210121210112)(1)2!(2)(1)2!(2)().()()(8)kkkkkkkkkxkkxxkkxJxdxJxxJxdx 即111111(7)(8)()()(),()()(),2()()(),(9)()()2(),(10)xJxJxxJxxJxJxxJxJxJxJxxJxJxJx 将和式左端导数求出，并化简得两式相减和相加得递推公式四、Bessel函数的正交性及模222222212121.()0(*)(0)()0(*)()0.()(),()().nnnnBesselx yxyxnyyy axyynyyc Jc Yyc Jxc Yx 含参数 的方程且满足端点条件的固有值问

48、题。在中令，方程变为其解为故21()()1()()()()()(0)()00().()0()0.(),()(*),1,2,()1,2,()0,()(nnnnnnnmnnnmmnmnnmnnmnnyYxxcyc Jxy aJaaJxJxmaJxmaJxaxaJx Ja 由及在处无界，则，故再，得即是的零点，以表示的正零点，则的固有值为固有函数，因此固有函数在上关于权函数 正交，即()00,).0,nakmkx xdxmka022222222()()()0,()0.(),;(),;,()0 0,(1)0,(2)nianinjniniiiinjjjjijiiijjjJk xxJk x Jk x xd

49、xij JkJk xykJk xyky yx yxyxnydydnxk xydxdxxdydnxk xydxdxx下面验证，不妨取0,1则关于权函数 正交，即记分别满足，则2222112200(1)(2)()0,()().01()()(1)(1)(1)(1).(1)()0,(1)()0,jijijiijijijijjiijijijjiijijijinijnjyydydyddxyxykkxy ydxdxdxdxdkkxy yx y yy ydxkkxy y dxd x y yy yyyyyyJkyJk得即再从 到 积分得，而12201100()00()()0.ijijijijninjkkxy y

50、 dxkkxy y dxxJk x Jk x dx则，而，因此，即()22()022()1212()22112222.(),1,2,()0.0,0()(),()(),()()()0,(1)nanmnmnnmnmnnnmBesselJJx xdx mJaddynBesselxxyxadxdxxR xJx R xJxaR xR xdRdnxxRdxdxaxdRdnxxdxdxx函数的模且方程记则，分别满足方程20,(2)R 21()2212121200()()()()()022(1)(2)0()|0,()0,()()()(),()naamnnmnnnammnnmnnnmRRxR R dxx R R

51、R RaJJx JxJx Jx dxaa,再从 到a积分得而可得()()()22()20()1()()()()11()222()1000()(),2()()()()0.()()()(),()()2nmnmnanmnnmnnmnnnnnmnmnmnmnanmnnmaaaxJx dxJaxJxJxxJxJxJxJJJaxJx dxJa当时，上式右端“”，利用罗比达法则(对 求导,令)再及则故.第五节 Legendre函数2220(1)2(1)0()2(1)0111(),kkkLegendrexyxyyRxyyyxxxxxy xa x 一、方程上式又可化为 可知为方程的奇点，=0为方程的正常点。则在

52、=0的某个邻域内求解，有设210002200022222222221(1)2(1)0(1)(1)2(1)0(1)(2)(3)2(2)(1)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxa k kxxa kxa xa k kxa k kxxa kxa xa k kxakkxxakxax 则()2220(1)(1)(1)(2)0kkkk kakkx 有2224203521101(1)(2)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(1)(1)(2)()(1),(0)(1)(1)(2),.kkkkkkkkkkaak kk kaakkk kkkakkkkakkka aaaa aa

53、aaaR 则有，即则由确定；由 确定，而，20242020(1)2(2)(3)(2)(1)(3)(1);3 44(2)(22)(1)(3)(21)(1);(2)kkaaaaakkaak 于是有；！31251211(1)(2)3(1)(3)(2)(4)(1);5(1)(3)(21)(2)(4)(2)(1);(21)kkaaaakkaak ；！201211101(2)(22)(1)(3)(21)()1(1)(2)(1)(3)(21)(2)(4)(2)(1)(21)()().|1()()kkkkkkkky xaxkkka xxka p xaq xxp xq xLegendre 于是！易证，当时级数收

54、敛，且与线性无关。因此，上式是方程的通解。二、Legendre多项式2241()()1()(),()(1)(1),(0)(1)(2)0.kknnZxpxqxxZpxqxZn nnk nkaakkkaa 1.由上式可知，当时，在时，与发散。但往往要求在时解也是有界的，所以当时，与不满足要求。下面讨论时，不考虑正负，取为非负整数时，由：知，()()()()()(),(),(1)(2)()(1)nnnnnnnnnkknpxxnqxnqxxnpxnpxqxn nP xkkaank nk 故当 为偶数时，只到项，是 次多项式，是无穷级数；当 为奇数时，只到项，是 次多项式，是无穷级数。因此，对于任意的

55、为负整数，与有且只有一个是多项式。下面求表达式：取为非负整数，为了得到Legendre方程的一个多项式解由递推公式(1),改写成2,(2)()knn只有 项2422(1);2(21)(2)(3)(1)(2)(3);4(23)2 4(21)(23)(1)(2)(21)(1).2!(21)(23)(221)nnnnnnknknkan naannnn nnnaaannnn nnnkaaknnnk 下面用最高项系数表示其他各项系数。22()(1)1(2)!1 3 5(21),1,2,2(!)!(1)(2)(21)1 3 5(21)(1)2!(21)(23)(221)!11 3 5(21)(1)2!(2

56、)!(21)(23)(221)1nnnnnkkkkP xPnnannnan nnnknknnnknnk nknnnk 为了得到多项式解形式简单，并且，取从而而23 5(21)(2)!(2)!1 3 5(21)!2(!)2!nnnnnnnnn 2(1)(2)!2!(2)!2!(21)(23)(221)(1)2(21)(221)(22)!2!(2)!2!(21)(23)(221)(1)(22)!2(22)(222)2!(2)!2!(22)!(1)2!(2)!(nkkknknkknkknank nknnnnknnnknkk nknnnnknknnnkk nknnkk nkn 故)!,2(0,1,2,

57、)1,2knnkMMnn是偶其中是奇.201(22)!()(1),2!(2)!()!,21,2MknknnknkP xxk nknknnMnnnLegendrenLegendre于是,是偶其中是奇.被称为 阶函数(或 次多项式).22220202.1()(1)2!(1)11!(1)()(1)2!2!()!(1)().2()!22,2lllllllll kkllkkll klkdP xxl dxxlxxlllk kxlk kllllklk微分表示罗德里格斯公式.验证：用二项式定理把展开：于是对上式求 阶导数，可见次数低于 的项都是零，即只有即项。2202201(1)2!(22)(221)(21)

58、(1)2()!(2)!1(1)2!(22)(221)(21)(2)!(1)2()!(2)!(22)!(1)2()!(2llllMklklkllllMklklkkldxl dxlklklkxlk klkdxl dxlklklklkxlk k lklklk k l于是分子、分母同乘，有20)!().MlkklxkP x112111113.(1)(1)()(21)()()0,1(2)(1)()()(),1(3)()()()0,1(4)()()(),1(5)()()(1)(),0nnnnnnnnnnnnnnnLegendrenPxnxP xnPxnxPxnxP xnPx nnP xPxxPxnPxxP

59、xnPx nPxxPxnP x n多项式的递推公式21224.()()()(1)2(1)0.()()(),1()10.nnnnnnQ xLegendreP xQ xLegendrexyxyn nyy xc P xc Q xxQ xxc 记为另一个无穷级数解，被称为第二类函数。与是方程的线性无关的解，故通解为且一般要求在端点处的解是有界的，而在处是无穷大，所以一般取222(1)20,1,1(1),0,1,2,()0,1,2,(1)20,1,1(1)0,()1.nnLegendrexyxyyxn nnP xnLegendrexyxyyxddyxydxdxs x 故方程在有界条件下，固有值为固有函数

60、为，方程可变成则权函数11 1,10,()(),2,21()1,1klkLegendreklP x P xklnnP x 则多项式在上正交，即即是上的完备正交函数系。112222()()0()()(1)0,()(1)(1)()0,(1)()(1)(1)()0,(2)(1)()(2)(),1,1()()(1)klklllkkkllkP x P xklddyP xP xxydxdxdP xdxl lP xdxdxdP xdxk kP xdxdxP xP xdP xdP xxddxdx下面证明正交性，即验证，与都满足方程于是再在上积分1121111()()(1)(1)(1)()()0.klkldP

61、xdxP xxdxdxdxl lk kP x P x dx121211121211111111(1)()()|(1)()()(1)()()|(1)()()(1)(1)()()0,(1)(1)()()0()()0.klkllkklklklklxP x P xxPx P x dxxP x PxxPx P x dxl lk kP x P x dxl lk kP x P x dxklP x P x dx即因此，且，有三、连带的Legendre多项式222222(1)20()(1)10(1)(1)0,()(1)(),(1)(1)2(1)()(1)0,(2)mmxyxyymZxmn nmmy xxu xx

62、 umxunm nmu该方程称为连带的Legendre方程，当时，连带的Legendre方程就是Legendre方程。下面是在时求解,方程的解与 的符号无关，假定作变换方程变为22(2)(1)()()()2()2(1)2(1)0,(1)2(1)()(1)0,(3)(2)(3)(),(3)(),(2)()()(1)(),(mmmmmmmxyxyn nymxymxynm nmyY xYxYxy xxYxY x而对Legendre方程微分 次，得与是同形方程，故设Legendre方程的解为则的解为因此的解为，所以连带的Legendre方程的解为其中12)()(),nnc P xc Q x222212

63、2222()()()(1)(1),()()()(1),()(1),()1,1()()0.mmmmnnmmmmmmmmnnnnmmmmnnmnd P xd Q xy xcxcxdxdxd P xd Q xPxxQxxdxdxLegendreLegendrePxQxmnPx则记分别称为第一类连带的函数和第二类连带的函数。在上有界，而在边界无界，且当时，222(1)0,1(1),1,(),1,()1,1nmnmnLegendredmxyydxxn nnm mPxnm mPx连带的方程可变形为当方程取有界解时，固有值固有函数，易知，在上是完备正交函数系。第四章 分离变量法第一节 波动方程200022,

64、0,0|(),|(),0|0,0(0)()0,(0)()0.1)(,)()();2),()()0(,),1ttxxtttxx lua uxl tuf x ug xxluutff lgg lu x tX x T tXTa X TX x T tx tXTXaT 且解：设分离变量形式解为分离方程得对于使的点有，200.(1)3)(0,)(0)()0,()0,(0)0,()0.4)0 0(0)()0.XXTa TutXT tT tXX lXXxlXX l则，分离边界条件故同理解固有值问题，22(),1,2,()sin,1,2,()sin.5)()(1)()cossin.nnnnnnnnnnlnXxx

65、nlnXxBxlnln an aT tCtDtll固有值为固有函数为因此，方程的通解为求定解问题的形式解当时，方程的通解为1111(,)()()(cossin)sin,(,)(,)(cossin)sin,(,0)()sin,(,0)()sin,nnnnnnnnnnnnnntnnux tXx T tn an anatbtxllln an anu x tux tatbtxlllabnu xf xaxln anu xg xbxll则由叠加原理设下面利用初始条件确定系数，由000(),()sin0,sinsin.,22()sin,1,2,2()sin,1,2,nnllnlnn anabf x g xx

66、llnknkxxdxlllnknaf xxdx nllnbg xxdx nn al，分别是关于正交函数系展开的系数，其中这样有第二节 热传导方程00,0,0|(),0|0,01)(,)()();2),()()0(,),1txxtxx lukuxl tuf xxluutu x tX x T tXTkX TX x T tx tXTXk T 解：设分离变量形式解为分离方程得对于使的点有，00.(1)3)(0,)(0)()0,()0,(0)0,()0.4)0 0(0)()0.XXTkTutXT tT tXX lXXxlXX l则，分离边界条件故同理解固有值问题，222()(),1,2,()sin,1,2,()sin.5)()(1)().nnnnnnktlnnnnlnXxx nlnXxBxlnlT tC e固有值为固有函数为因此，方程的通解为求定解问题的形式解当时，方程的通解为22()()111(,)()()sin,(,)(,)sin,(,0)()sin,nnnnktlnnktlnnnnnnnux tXx T tna exlnu x tux ta exlanu xf xaxl则由叠加原理设下面利