大学物理机械波知识点及试题带答案

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1、机械波一、基本要求1、掌握描述平面简谐波的各物理量及各量之间的关系。2、理解机械波产生的条件，掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波动方程的 方法及波动方程的物理意义。理解波形图，了解波的能量、能流、能量密度。3、理解惠更斯原理，波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅 加强和减弱的条件。4、了解驻波及其形成条件，了解半波损失。5、了解多普勒效应及其产生的原因。二、主要内容1、波长、频率与波速的关系u二九/T u = 22、平面简谐波的波动方程txxy = Acos2 兀（石-）+ 申 或y = Acos（t_） +申T九u当申=0时上式变为y = A cos 2兀

2、（-X）T九3、波的能量、能量密度，波的吸收1平均能量密度：e= - PA2w2厶1平均能流密度：I = -PA22% =eu1）2）y = A cos w (t -) u（3）波的吸收：I = I e心04、惠更斯原理介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后任意时刻，这些子波的 包络就是新的波前。VTZ十面波球面波5、波的叠加原理（1）几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等） 不变, 并按照原来的方向继续前进, 好象没有遇到过其他波一样.（独立性）（2）在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和. （叠加性）

3、6、波的干涉加强加強减弱加强A=2kK, k = 0,1,2 A = A + A1 2A=（2k +1加，k = 0,1,2A = |A -A干涉相长) 干涉相消)6 = k九，k = 0,1,2A = A + A（干涉相长）1 26 = （2k +1）一, k = 0,1,2A = |A A |（干涉相消）、 2 1 27、驻波 两列频率、振动方向和振幅都相同而传播方向相反的简谐波叠加形成驻波，其表达式为2兀xY = 2 A coscos t九8、多普勒效应V(1)波源静止，观测者运动u = (1 + f)uu0uu(2)观测者静止，波源运动u = U九u V 0s3)观测者和波源都运动u

4、+ V u + Vu =0 =0 u九 u V 0x三、习题与解答1、振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什 么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同？解：(1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的 往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y = f (t)；波动是振 动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介 质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即y = f(x，t).(2)在谐振动方程y = f (t)中只有一个独立的变量时间t，它

5、描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y二f (x,t)中有两个独立变量，即坐标 位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律.当谐波方程y = A cos (t -)中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持 u续不断地振动又是产生波动的必要条件之一(3) 振动曲线y = f (t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横 轴为t ；波动曲线y二f (x, t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律， 其纵轴为y，横轴为x.每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，

6、 即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图波动方程y 二 A cosr x)t 一 一+p0I u丿0中的u表示什么？ u如果改写为x y = A cost 一+甲I u0丿又是什么意思？ 如果 t 和 x 均增加，但相应的rx)3t 一一+p0l u丿0的值不变，由此能从波动方程说明什么？解：波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间； u 则表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为y = A cost -+ 申)tu 0则t + At时刻的波动方程为 x + Ax).y= Acos(t + At) + 申t +Atu0(j

7、9x其表示在时刻t，位置x处的振动状态，经过At后传播到x + uAt处.所以在(t-)中，u当t，x均增加时，(t-巴)的值不会变化，而这正好说明了经过时间At,波形即向前传 u(j9x播了 Ax = uAt的距离，说明y = Acosgt+你)描述的是一列行进中的波，故谓之行u0波方程.3、在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理 量相同？一 -一一_2兀_一一一解：取驻波方程为y = 2Acosx cosavt，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律 可表示为2Acosf二

8、x .而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两 波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振 动位相则相反.4、已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos (Bt-Cx)，其中A，B，C为正 值恒量.求：(1) 波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2) 写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；(3) 任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差. 解：(1)已知平面简谐波的波动方程y = A cos(Bt - Cx) (x 0)将上式与波动方程的标准形式y = A cos(2兀ut比较，可知：、 一B波振幅为A，频率u

9、=，2兀a2兀B波长九=，波速u =九 =，一t 12兀波动周期T =u B(2)将x = l代入波动方程即可得到该点的振动方程y = A cos( Bt 一 Cl)(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为人2兀A申=(x 一 x )九 212兀将x 一x = d，及九=代入上式，即得21C5、图示为一平面简谐波在t = 0时的波形图，求：(1)该波的波函数；(2) P处质点的振动 方程。解：(1)由图知：A=0.04m,九= 0.40m.0.40008=5(s)y = 0.04cosx )1兀0.4 丿 2(2) P处质点的振动方程为:x = 0.2my = 0.04cos0.2) 1

10、 兀0.4 丿 23=0.04cos 0.4兀t 一一兀26、平面简谐波沿0 x轴正方向传播，已知振幅A二1m,周期T二2s,波长九二2m，在t=0 时,坐标原点处的质点位于平衡位置沿0 y轴正方向运动。求：（1）波动方程；（2） x=0.5m处质点的振动方程。解:（1） y = Acos2兀（-事）+ 申 T 九t X、兀y = cos2兀（一 一 ）一 m2 2 22） y =cos（兀 t 一兀）m7、平面简谐波，波长为12m,沿Ox负向传播。如图所示为原点处质点的振动曲线，求:1）原点处质点的运动方程，（2）此波的波动方程。解：申=3兀=孚=舟3At 6T =还=12 s原点处质点的运

11、动方程为波动方程为设 y = A cos（t + 申）设 y = A cos2兀（石 +） + 申T 九兀 2y = 0.4cos（ t + 兀）m63y = 0.4cos2 兀（+ ） + 兀m12123兀t兀x 2、=0.4cos（ +兀）m663解：（1） y = A cost + 申）2兀T=0.02s=105 radT九=uT = 2m申=-1兀y = 2cos（100t ） m28、一平面简谐波以u = 100m-s-1的速度在均匀无吸收介质中沿x轴正向传播，位于坐标原 点的质点的振动周期为0.02s，振幅为2m。t=0时，原点处质点经过平衡位置且向正方向运 动时作为计时起点。求：

12、（1）坐标原点O处质点的振动方程；（2）该波的波函数；（3）x = 2m 处质点的振动方程。（2）设 y = Acos2兀（匚-壬）+申T 九y = 2cos2 兀（t0.022 cos（100Kt 兀x ） m2x=2m y = 2cos（100Kt 5兀）T）9、沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0时的波形曲线如图所示，波长X = 1m，波速u = 10m-s-1，振幅A=0.1m,试写出：（1）O点的振动方程；（2）平面简谐波的波函数；（3）x=1.5m处质点的振动方程。解：兀（1）O 点振动方程为：y = 0.1cos（20兀t 3）（m）（2） 波函数：y = 0.1cos 20兀t

13、K（m）L I 10丿3（4 、（3） 将X =1.5带入得该点振动方程：y = o.lcos 20 t（m）I 3丿10、一列沿x正向传播的简谐波，已知t = 0和12 = 0.25s时的波形如图所示。（假设周期T 0.25s ）试求：（1）此波的波动表达式；（2） P点的振动表达式。 y （m）0.20.2oP *0.4512 = 0.25 SAx解：A = 0.2m X = 0.6m u =Atf X 0.6 “、T = = 0-6 = 1（s）申0 = - （3 分）u 0.602（1） 波动表达式y = 0.2cos2t + （7 分）J厶（2）P点的振动表式为yp = 0.2cos

14、2t- （2分）|= 0.6（m /s）,11、一横波沿绳子传播时的波动表式为y = O.O5cos（10t x） （SI制）。（1）求此波的振幅、频率和波长。（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。（3）求x=0.2m处的质点的振动方程，以及在t=ls时的相位。wu2.5解：A = 0.05(m)w = 10k s-1,v = 5.0(Hz)九=上=0.5m2kv5.0(2)u = Aw = 0.05 x 10k = 0.5 kq 1.57( m / s)ma = A2 = 0.05 x 100兀 2 = 5兀 2 沁 49.3(m/ s2) m(3) y = 0.05cos(10兀

15、t-0.8兀)申=10兀 x 1 - 4兀 x 0.2 = 9.2兀(或0.8兀)12、沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为尹=0.05cos(10n/4nx),式中x, y以m计，t以 s 计.求：(1) 波的波速、频率和波长；(2) 绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3) 求x=0.2 m处质点在t=1 s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相？这一位相所代 表的运动状态在t=1.25 s时刻到达哪一点？解: (1)将题给方程与标准式y = A cos(2g-孚 x)九相比，得振幅A = 0.05 m，频率5 s-1，波长九二0.5 m，波速u二山二2.5 m - s-1.(2)绳上各

16、点的最大振速，最大加速度分别为v= wA = 10k x 0.05 = 0.5兀 m - s-1maxa= w2A = (10k )2 x 0.05 = 5k 2 m - s-2maxx = 0.2 m处的振动比原点落后的时间为x 0.2=0.08 su 2.5故x = 0.2 m, t = 1s时的位相就是原点(x = 0)，在10 = 1 - 0.08 = 0.92 s时的位相，0 = 9.2 n.设这一位相所代表的运动状态在t = L25 s时刻到达x点，则x = x + u(t -1 ) = 0.2 + 2.5(1.25 -1.0) = 0.825 m1113、一平面余弦波，沿直径为1

17、4 cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0x10-3 Jm-2s-1,频 率为300 Hz,波速为300 ms-1,求：(1) 波的平均能量密度和最大能量密度？(2) 两个相邻同相面之间有多少波的能量？解：(1)TI = Wuw = - = 18.0 x10-3 = 6 x 10-5 J m-3u300w = 2w = 1.2 x 10 -4J - m -3max14、解:W =厉V =诩丄兀d 2九=w兀d 2 44 v=6 x10-5 x1 兀 x (0.14)2 x 300 = 9.24 x 10-7 J4300如图所示，S和s2为两相干波源，振幅均为名，相距4, s1较s2位相超前2,

18、求:题14图(1) S外侧各点的合振幅和强度；(2) S2外侧各点的合振幅和强度.(1)在S外侧，距离S为r的点,1 1 1S1 S2传到该P点引起的位相差为-（占）二兀A = A A = 0,1 = A 2 = 01 1（2）在S夕卜侧距离S为r的点，S S传到该点引起的位相差.2 2 1 1 2兀 2兀九心A =一 一（r + 一 r ） = 02 九 242A = A + A = 2 A , I = A 2 = 4 A21 1 1 115、如图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为儿=2x10- 3cos 2nt； C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动

19、方程为尹2=2x10-3cos(2nt+ n),本题中y以m计，t以s计.设BP=0.4 m， CP=0.5 m,波速u=0.2 ms-1,求：(1) 两波传到P点时的位相差；(2) 当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；(3) 当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅.题15图解：A =(申-申)-孚(CP BP)21 九=兀一(CP 一 BP)u=兀一竺(0.5 一 0.4) = 00.2(2) P点是相长干涉，且振动方向相同，所以A 二 A + A 二 4 x 10 -3 mP12(3) 若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0 ,这时合振动轨迹是通过II, IV象限的直线

20、, 所以合振幅为A = .j A2 + A2 = 丫：2A = 2*2 x 10-3 = 2.83 x 10-3 m1 2 116、已知一波动方程为 y = 0.05sin（15 - 2x）（m）（1）求波长、频率、波速和周期；（2）说明x = 0时方程的意义，并作图表示。解：（1）将题给的波动方程改写为y = 0.05cos10k（t-x/5兀）-兀/2（m）与 y = A cos（t 一 x / u） + Q 比较后可得波速 u = 15.7m - s-1，角频率二 10 rad - s-1， 0故有v/2兀二 5.0Hz， T 二 1/v = 0.2s，九二 uT 3.14m（2）x 0

21、时，方程y 0.05cos（10兀t-兀/2）（m）表示位于坐标原点的质点的运动方程17、波源作简谐运动，周期为0.02s，若该振动以100m - s-1的速度沿直线传播，设t 0时， 波源处的质点经平衡位置向正方向运动，求：（1）距波源15.0m和5.0m两处质点的运动方 程和初相；（2）距波源为16.0m和17.0m的两质点间的相位差。解：（1）由 T 0.2s， u 100m - s-1 可得2兀 / T 100k rad - s-1 ；九uT 2m当t 0时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相为甲-_兀/2 （或3k /2 ）。若以波源为坐标原点，则波动方

22、程为0y Acos100k（t-x/100）-k/2距波源为x 15.0m和x 5.0 m处质点的运动方程分别为12y Acos（100kt - 15.5k ）y A cos （100k t - 5.5k）12它们的初相分别为9 -15.5兀和甲-5.5k （若波源初相取甲3兀/2，则初相10 20 09 -13.5k ， 9 -3.5k ）。10 20（2）距波源16.0m和17.0m两点间的相位差 9 -9 2k（x 一x ）/九k1 2 2 118、 如图所示，两相干波源分别在P、Q两点处，它们发出频率为v、波长为九，初相相 同的两列相干波。设PQ 3九/2，R为PQ连线上的一点。求：（

23、1）自P、Q发出的两列波在R处的相位差；(2)两波在R处干涉时的合振幅。解：(1)两列波在R处的相位差为人申=2兀Ar/九=3兀(2)由于= 3兀，则合振幅为A =+ A2 + 2 A A cos3兀2 1 219、一驻波方程为尹=0.02cos 20xcos 750t (SI),求:(1) 形成此驻波的两列行波的振幅和波速；(2) 相邻两波节间距离.解: (1)取驻波方程为宀42兀ux宀y = 2 A coscos 2兀utu故知A = 002 = 0.01m22皿二 750，7502兀u2兀 x 750/2k2020u = 37.5 m - s-i=2KU/20 = 0.1k = 0.31

24、4 m所以相邻两波节间距离 uAx = - = 0.157 m220、在弦上传播的横波，它的波动方程儿= 0.1cos(13t+0.0079x) (SI),试写出一个波动方程， 使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波节.解：为使合成驻波在x = 0处形成波节，则要反射波在x = 0处与入射波有k的位相差，故 反射波的波动方程为y2 = 0.1cos(13t - 0.0079x - k )21、汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200 Hz变到了 1000 Hz,设空气 中声速为330 msr，求汽车的速率.解：设汽车的速度为v，汽车在驶近车站时，车站收到的频

25、率为su=1 u -v 0su汽车驶离车站时，车站收到的频率为u =2 u + v 0联立以上两式，得u uU 二 u 21 u +u12二 300 X1200 10001200+100二 3022、两列火车分别以72 kmh-1和54 kmh-1的速度相向而行，笫一列火车发出一个600 Hz 的汽笛声，若声速为340 ms-1,求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相 遇后分别是多少？ 解：设鸣笛火车的车速为v二20 m - s-1，接收鸣笛的火车车速为v二15 m - s-1，则两者12相遇前收到的频率为u +v 340+15u =2 u =x 600 = 665 Hz1 u 一 v 0340 一 201两车相遇之后收到的频率为uvu =2 u1 u+v 01340 一 15340 + 20x600二541Hz