《3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时)（4页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、定理图形相交弦定理证法=连结AC、BD，证:APCsDPB.切割线定理连结TA、TB，证:PTBsPAT九年级数学导学稿第3章对圆的进一步认识课题：3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理（1课时）郭家屯初中初二编写学习目标1. 掌握相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理，并会灵活应用。2. 会用相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理进行证明和计算。难点：定理及推论的应用【温故知新】1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2切线长定理对于切线长定理，应
2、明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。【探索新知】已知结论OO中，AB、CD为弦，PAPB交于P.PCPD.相交弦OO中，AB为直径，PC2=PAPB.用相交弦定理.定理的CD丄AB于P.推论OO中，PT切OO于T,PT2=PAPB割线
3、PB交OO于A43弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切O于P,PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段长的乘积等于切线长的平方。切害Q线
4、PB、PD为OO的两条割PAPB=PCPD过P作PT切OO于T,定理推线，交OO于A、C用两次切割线定理论解：VPC是0的切线，PAB是0的割线，且PA：PB=1：4.PB=4PA为dcm,由勾股定理，得故应填。例5如图4,AB为0的直径，过B点作0的切线BC,0C交0于点E,AE的延长线交BC于点D,（1）求证：；（2）若AB=BC=2厘米，求CE、CD的长。证明：（1）连结BE图1图2图3图4解：由切线长定理知：AF=AB=1,EF=CE设CE为x,在RtAADE中，由勾股定例2.如图2,O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE=cm。解：由相交
5、弦定理，得AEBE=CEDEAE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,，即CE=3cm或CE=4cm。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则。解：VZP=ZPZPAC=ZB,PACspba,.,。又tpa是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得,即，故应填PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3,P是O外一点，PC切O于点C,PAB是O的割线，交O于A、B两点，如果PA：PB=1：4,PC=12cm,OO的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是cm。(2)又J厘米。点拨：有切线，
6、并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5,AB为0的直径，弦CDAB,AE切0于A,交CD的延长线于E。求证：图6图7图8【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线，切点为F,交CD于E,求DE：AE的值。又PC=12cm由切割线定理，得,PB=4X6=24(cm)AB=246=18(cm)设圆心0到AB距离证明：连结BD,TAE切O于A,ZEAD=ZABD.AE丄AB,又ABCD,.AE丄CDTAB为0的直径ZADB=90ZE=ZADB=AD_DE90AADEsABAD虫占:.CDAB（定理：两平行弦所夹的
7、弧相等）AD=BC,例7如图6,PA、PC切0于A、C,PDB为割线。求证：ADBC=CDAB点悟：由结论ADBC=CDAB得，显然要证厶PADPBA和厶PCDPBC证明：TPA切0于A,AZPAD=ZPBA又ZAPD=ZBPA,APADPBA同理可证厶PCDspbcTPA、PC分别切0于A、CPA=PC.ADBC=DCAB例8如图7,在直角三角形ABC中，ZA=90，以AB边为直径作0,交斜边BC于点D,过D点作0的切线交AC于E。求证：BC=20E。点悟：由要证结论易想到应证0E是厶ABC的中位线。而0A=0B，只须证AE=CE。证明：连结0DTAC丄AB,AB为直径/.AC为0的切线，又
8、DE切0于DEA=ED,0D丄DET0B=0D,ZB=Z0DB在RtAABC中，ZC=90-ZBVZ0DE=90ZC=ZEDCED=ECAE=EC0E是厶ABC的中位线BC=20E例9.如图8,在正方形ABCD中，AB=1,是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F,G为切点。当ZDEF=45时，求证点G为线段EF的中占.八9解：由ZDEF=45，得，ZDFE=ZDEFDE=DF又AD=DCAE=FC因为AB是圆B的半径，AD丄AB,所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。又因为EF切圆B于点G,所以AE
9、=EG,FC=FG。因此EG=FG,即点G为线段EF的中点。【达标检测】（答题时间：40分钟）一、选择题1.已知：PA、PB切0于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3（弦心距是圆心到弦的垂直距离），则PA=（）A.B.C.5D.82下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3. 已知：如图1直线MN与0相切于C,AB为直径，ZCAB=40，则ZMCA的度数（）A.50B.40C.60D.55图1图2图3图44圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4,则另一弦长为（）A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm5. 在ABC中，D是BC
10、边上的点，AD,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）A.B.52cmC.D.6. PT切0于T,CT为直径，D为0C上一点，直线PD交0于B和A,B在线段PD上,若CD=2,AD=3,BD=4,则PB等于（）A.20B.10C.5D.二、填空题7. AB、CD是0切线，ABCD,EF是0的切线，它和AB、CD分别交于E、F,则ZE0F=度。8. 已知：0和不在0上的一点P,过P的直线交0于A、B两点，若PAPB=24,0P=5，则0的半径长为。9. 若PA为0的切线，A为切点，PBC割线交0于B、C,若BC=20,则PC的长为。10. （选
11、做）正厶ABC内接于0,M、N分别为AB、AC中点，延长MN交0于点D,连结BD交AC于P,则。三、解答题11. 如图2,ABC中，AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是厶ABC与内切圆的切点，DE切0于点M,且DEAC，求DE的长。12. 如图3,已知P为0的直径AB延长线上一点，PC切0于C,CD丄AB于D,求证：CB平分ZDCPO13. 如图4,已知AD为0的直径，AB是0的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB,求0的半径。【试题答案】一、选择题1.A2.C3.A4.B5.B6.A二、填空题7.908.19.3010.“十。二、解答题：11. 由切线长定理得ABDE周长为4,由厶BDEsBAC，得DE=lcm12. 证明：连结AC，则AC丄CBVCDAB,AACBsCDB,AZA=Z1PC为O的切线，ZA=Z2,又Z1=Z2,ABC平分ZDCP13. 设BM=MN=NC=xcm又又VOA是过切点A的半径，OA丄AB即AC丄AB在RtAABC中，由勾股定理，得，由割线定理：，又VA半径为
3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时)
