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1、2中国教育学会中学数学教学专业委员会2014 年全国初中数学竞赛试题题号二三总分1561011121314得分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）i.设非零实数a,b,c满足,a+2b3c则ab+bc+ca的值为（）.2 2a3b b4 4c二0,a2+b2+c22.已知关于x的不等式组2x+5：x5，3x+3tx2恰有5个整数解，则t的取值范围是（）.(B)6tV
2、112(D)6t11(A)2(B)0C)D)i(A)6VtV112_210.二、填空题(共5小题，每小题7分共35分)6.设a33 3,b是a a的小数部分，c是a2的小数部分，则b(b+c+4)的值为7.个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1,2,3,4,5,6.掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是8.已知正整数a,b,c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,则abc的最大值为9.实数a,b,c,d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a,b,元二次方程x2+ax+b=0的两根为c,d,则所有满足条件的数组(a,bc,d)为1 14+2 24+12124
3、+3 34+1 1+1 12+2 22-1 12 22+3 32-1 13.如图，在RtABC中，已知O是斜边AB的中点，CD丄AB,垂足为D,DE丄0C,垂足为E.若AD,DB,CD的长度都是有理数，则线段OD,OE,DE,AC的长度中，不一定是有理数的为().(A)0D(B)0E(C)DE(D)AC4.如图，已知ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上，且BC4CF,DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为().(A)3(B)4(C)6(D)85.对于任意实数x,y,z,定义运算“*”为:_3x3y+3x2y2+xy3+45xy(x+1,3+(y+1,3-60且x
4、yz=(xy)*z，则2013*2012*3*2的值为().(A)607967(B)1821967(c)5463967(D)1638996799994+100100+1 199992+1001002-1 1的值为三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.如图，抛物线 yax2+bx-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C,且OB=OC=3OA.直线y=-；x+1与y轴交于点D.求/DBCZCBE.12.设厶ABC的外心、垂心分别为0、H,若B、C、H、O共圆，对于所有的厶ABC，求ABAC所有可能的度数.CEX X13.如图，设点D在ABC外接圆上，且为BC的中点，
5、点X在BD上，E是AX的中点，过 AABC的内心I作直线RT T平行于DE,分别与BC，AX交于点R，T,设直线DR与ET交于点S.证明：点S在厶ABC的外接圆上.14.如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）.求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a a，a a，a a，满足对任意一个正整数m，在a a，a a，a a中都至少有12n12n一个为m的魔术数.CD7E中国教育学会中学数学教学专业委员会2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1.A解:
6、由已知得abc=(2a3b4c)，(a2b3c)=0，故(a(a+b b+c)2=0 0.于2.C解：根据题设知不等式组有解，解得，3-2tVxV20.由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15,16,17,18,19,因此14W3-2tV15,解得-6VtW，113.D解:因AD,DB,CD的长度都是有理数，所以，OA=OB=OC=ADBD是有理数.于是，OD=OAAD是有理数.由RDOaR/COD,知OEOE=C2，DEDE=DODO都是有理数，而AC=ADAB不一定是有理数.4.C解：因为DCFE是平行四边形，所以DE/CF,且EF/DC.连接CE,因为DE/CF，即DE/BF,
7、所以S=SDEBADEC?因此原来阴影部分的面积等于 AACE的面积.连接AF,因为EF/CD，即EF/AC,所以S=SACEACF*是abbcca=，(a2b2c2)abbcca_1a2b2c22C因为BC=4CF,所以SABC=4SMCF.故阴影部分的面积为6.5.C解：设201320124二 m,则,20132012*4)*3=m*3 二3m333m26789+m2745二9,m m3+3m m2+3m m+1+64一60曰疋,20132012良3)密=9*2二3932+39222+923+45二里色.103+33-60967二、填空题6.2解：由于1a2a23,故b 二a1,c=a a
8、2-2.所以b b(b b+c+4)4)=(a a1)(1)(a a1 1+a a22 2+4)4)=(a a1)(1)(a a2+a a+1)1)a a31 12 2.7解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的疋3，6，9，12，15，18，6=1+1+4=1+2+3=2+2+2,9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3,12=1+5+62+4+62+5+53+3+63+4+54+4+4,15=3+6+6=4+5+6=5+5+5,186+6+6.记掷三次正方体面朝上的数分别为x,y,z.则使x+y+z为3的倍数的(x,y,z)中，3个数都不相等的有8组，
9、恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组.故所求概率为832+63+6_166638.2013解:由已矢口a+b2-2c-20,3a2-8b+c0消去c,并整理得(b-8)2+6a2+a66.由a为正整数及6a2+aW66,可得1WaW3.若a1，则(b-8=59,无正整数解；若a2,则(b-8=40,无正整数解；若a3,贝V(b-8=9,于是可解得b11,b5.(i)若b11,则c61,从而可得abc=31161=2013；(ii)若b5，贝Uc13,从而可得abc=3513=195.综上知abc的最大值为2013.9.(1,-2,1,-2),(t,0,-1,0)(t为任意实数)解：由韦达
10、定理得a+b-c,abd,c+d-a,cdb由上式，可知b二-acd.db若bd丰0,贝9a1,c1,进而b=d=-ac=-2.bd若bd0,则c-a,有(a,b,c,d)=(t,0,t,0)(t为任意实数)经检验数组(1-21-2)与(t0-t0)上式对k1299求和得三、解答题11.解：将x0分别代入y-3x+1,yax2+bx3知，D(0,1),C(0,-3),所以（t为任意实数）满足条件.J2(k2+k+1)2_22(k2+k)21+1k(k+1)1k+1原式弋99+2”1009999、訂200解：设k0,那么k2+(k+1)2-1至(1-丄2B(3,0),A(-1,0).直线y=-3
11、x+1过点B.将点C(0,-3)的坐标代入y二 a(x,1)(x-3),得a二1.抛物线y yx x22 2x x3 3的顶点为E(1,4).于是由勾股定理得BC=32，CE=2,BE=25.因为BC2+CE2=BE2，所以，HBCE为直角三角形，ZBCE90.10分厂77Tx因此tanZCBE=.又tanZDBO=,则ZDBO=ZCBE.CB3OB3所以，ZDBCZCBEZDBCZDBOZOBC45.20分12.解：分三种情况讨论.(i)若厶ABC为锐角三角形.因为ZBHC180ZA,ZBOC2ZA，所以由ZBHCZBOC，可得180ZA2ZA，于是ZA60。.(ii)若厶ABC为钝角三角形
12、.当ZA90。时，因为ZBHC180ZA，ZBOC2(180ZA)，所以由ZBHC,ZBOC180。，可得3(180ZA)180。，于是ZA120。；当ZA90。时，不妨假设ZB90。，因为ZBHCZA，ZBOC2ZA，所以由ZBHC+ZBOC180。，可得3ZA180，于是ZA60.15分(iii)若厶ABC为直角三角形.当A二90。时，因为O为边BC的中点，B,C,H,O不可能共圆，所以A不可能等于90,；当A90，时，不妨假设B=90，此时点B与H重合，于是总有B,C，H，O共圆，因此A可以是满足0，A90。的所有角.综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及120。.20分13.证明：
13、如图，设DR与ABC的外接圆交于点S，AX与SE交于点 T，连接SC，CDCD,S SA，AE，ADAD.由D为BC的中点知,A,I,D三点共线，且 ZCSD二ZRCD,SCDCRD,所以SD_CD=,CDRD即CD2=SDRD.由E为AX的中点知，ZASE二ZTAE,ASETAE,所以SE_AE=,AETE即AE2=SE-TE.由IRDE,知IRD二180。SDE二SAE.又因为IDR=SDA=SEA,所以IRDSAE,则有ID=SE.RDAE10分由IABC的内心，连接CI,由CID二CAI+ACI二DCB+BCI二ICD知ID二CD.由式，得SD_SE=,CDAESD_CDSE_IE由式
14、，得CD2_SD，RDIET_SE，TE由式，得SD_RDTE15分于是 RTDE.又RTDE,故点 T与T重合，即点 S在直线ET上.从而,点 S与 S重合，即点S在厶ABC的外接圆上.20分14.解：若nW6,取m_1，2，7，根据抽屉原理知，必有a，a，a12n中的一个正整数M是i，j(lWiVjW7)的公共的魔术数，即71(10M+i)，71(10M+j).则有71(ji)，但0VjiW6，矛盾.故n7.10分又当a，a，a为1，2，7时，对任意一个正整数m，设其为k位12n数(k为正整数).则10ki+m(i_1 1，2 2,，7)被7除的余数两两不同.若不然,存在正整数 i，j(1WiVjW7)，满足7l(1010kj+m)-(10(10ki+m)，即71107110k(j-i)，从而71(j-i)，矛盾.故必存在一个正整数 i(1WiW7)，使得7l(1010ki+m)，即 i 为m的魔术数.所以，n的最小值为7.20分
2014年全国初中数学竞赛试题及答案
