探究四心的向量表示

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1、 设设O为为ABC所在平面上一点，角所在平面上一点，角A,B,C所对的所对的边长分别为边长分别为a,b,c，则则222(1);为为的的外外心心OABCOAOBOC (2)0;为为的的重重心心OABCOA OB OC (3);为为的的垂垂心心OABCOA OBOB OCOA OC (4)0.为为的的内内心心=OABCa OAb OBc OC 三角形四心的向量形式三角形四心的向量形式忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点1.在在ABC 中中:若若则则 是是的的外外心心222(1),;OAOBOCOABC 若若则则 是是的的重重心心(2)0,;OAOBOCOABC 若若则则 是是的的垂垂心心(3)

2、,;OA OBOB OCOA OCOABC 一一定定过过的的重重心心(4).ABACABC 一一定定过过的的内内心心(5)()(R).|ACABABCABAC 若若=,=,则则 是是的的内内心心(6)0.a OAb OBc OCOABC 向量与常见几何图形的联系向量与常见几何图形的联系忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点2.在在ABC中中:设设若若是是正正三三角角形形(1),;BCa CAb ABca bb ca cABC 若若|,|,则则是是正正三三角角形形.(3)0,|OAOBOCOAOBOCABC 若若则则是是正正三三角角形形.(2),OA OBOB OCOC OAABC 3.在平行

3、四边形在平行四边形ABCD中中:若若则则(1)|,()()0;ABADABADABAD 若若则则(2),|.ABADABADABAD 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 【1】如图】如图,PQ过过OAB的重心的重心G,且且OP=mOA,OQ=nOB.求证：求证：113.mn OABGPQ证明：如图建立坐标系，证明：如图建立坐标系，(,0),(,),A aB b c设设(,).33ab cG 则则由由OP=mOA,OQ=nOB可知：可知：求得求得(,0),(,).P maQ nb nc/,PGGQ 又又(,),33abcPGma (,),33abcGQnbnc ()()()0,3333abccabma ncnb 化简得：化简得：xy()0,3mn acmnac 113.mn C CA A 三角形四心的向量形式三角形四心的向量形式D DC C 三角形四心的向量形式三角形四心的向量形式第第2525讲讲 备用例题备用例题第第2525讲讲 备用例题备用例题