高等数学多元函数的概念课件

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1、高等数学多元函数的概念 7.2 多元函数的概念多元函数的概念一、平面区域一、平面区域 1邻域邻域 设 是 的一个点,是某一正数.与点 距离小于 的点 的全体称为点 的邻域邻域,简称邻域邻域,记为 ,即000(,)P xy2R0P(,)P x y0P0(,)U P22000(,)(,)()()U Px yxxyy高等数学多元函数的概念的几何意义为xOy平面上以点0(,)U P0P为中心,半径为 的圆的内部所有点(,)P x y的全体.0(,)U P中除去点0P后剩余的部分称为点 的去心去心 邻域邻域.0P记为0(,)oU P 0P高等数学多元函数的概念EP 如果点如果点P 的任一邻域内既有属于的

2、任一邻域内既有属于E 的点，也有的点，也有不属于不属于E的点，则称的点，则称P点为点为E 的边界点的边界点 E的边界点的全体，称为的边界点的全体，称为E的边界，记作的边界，记作 E.2.区域区域设设E是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P是平面上的任是平面上的任意一点意一点.如果存在点如果存在点P的某一邻域的某一邻域U(P)，使，使得得 则称则称P为为E的内点。的内点。(),U PEEP 高等数学多元函数的概念 内点一定是聚点；内点一定是聚点；边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例10|),(22 yxyx(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以

3、属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,10|),(22 yxyx(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,1|),(22 yxyx边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合高等数学多元函数的概念如果点集如果点集E中的每一点都是内点，且中的每一点都是内点，且E中任何两点中任何两点可用全在可用全在E内的折线连结起来，则称内的折线连结起来，则称E为开区域为开区域(简简称区域称区域).例如，例如，.41|),(22 yxyxxyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.例如，例如，.41|),(22 yxyxxyo若区域若区域E包含在某

4、个圆内，则称包含在某个圆内，则称E为有为有界区域；否则，称为无界区域界区域；否则，称为无界区域.高等数学多元函数的概念 41|),(22 yxyx有界闭区域；有界闭区域；0|),(yxyx为无界开区域为无界开区域xyo例如，例如，高等数学多元函数的概念二二.多元函数的基本概念多元函数的基本概念Df定义定义1 设是一个是平面上的一个非空点集,对应法则,如果对于每个点Dyx，fz,都可由对应法则得到惟一的实数与之对应,则称是变量zyx，的二元函数,记为yxfz，rh例 1 设圆柱体的底面半径为,高为,则圆柱体体高等数学多元函数的概念积 hrV2.这是一个以 hr,为自变量,V为因变量 的二元函数.

5、根据问题的实际意义,函数的定义域为 00 h,rh,rD值域为 Dh,r,hrVVZ 2例2 求二元函数2222ln(1)(,)4xyf x yxy22221040 xyxy 的定义域.解解由可得定义域为22(,)14Dx yxy高等数学多元函数的概念例3 已知函数2222(,)xyf xy xyxy,求(,)f x y.解解2222222()()(,)()()xyxy xyf xy xyxyxyxy所以222(,)xyf x yxy.注注:该方法主要是把右边的式子都凑凑成 里面的两个量.f高等数学多元函数的概念三三.二元函数的极限二元函数的极限定义定义2设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，

6、如果当点 无限趋于 点 时，函数 无限趋于一个常数A，则称A为函数 当 时的极限极限.(,)zf x y000,Pxy,P x y000,Pxy(,)f x y(,)f x y0PP记为0000(,)(,)lim(,)lim(,)xxx yxyyyf x yAf x yA或或0lim(,)ppf x yA高等数学多元函数的概念例例4.求(,)(3,0)sin()limx yxyy.解解(,)(3,0)(,)(3,0)sin()sin()limlim3x yx yxyxyxyxy根据二重极限的定义，需要特别注意以下两点：(1)二重极限存在，是指 以任何方式趋于 时，函数都无限接近于A.(2)如果

7、当 以两种不同方式趋于 时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在.P0PP0P高等数学多元函数的概念例例5 5 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx 证证取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在高等数学多元函数的概念确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim0

8、0yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在 高等数学多元函数的概念四四.二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义3设二元函数 在点 的某一邻域内有定义，如果 则称 在点 处连续连续,并称点 为连续点.如果函数 在点 处不连续，则称函数 在 处间断间断,称点 为间断点间断点.(,)zf x y00,xy0000(,)(,)lim(,)(,)x yxyf x yf xy(,)zf x y00,xy00,xy(,)zf x y00,xy(,)zf x y00,xy00,xy高等数学多元函数的概念例例6讨论

9、点 是否为函数的连续点.222222221()sin 0(,)0 0 xyxyxyf x yxy，0,0O解解 由于222200001lim(,)lim()sin0 xxyyf x yxyxy且(0,0)0f,故(,)f x y在0,0处连续.高等数学多元函数的概念与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数二元初等函数.例如，都是二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.22222,1xyxxyey高等数学多元函数的概念

10、例例7.求2201lim.1xxyyexy解解 因初等函数 在(0,1)处连续,故有 22(,)1xyef x yxy02220111lim.32012xxyyeexy高等数学多元函数的概念例例8 求(,)(0,0)11limx yxyxy 解解 (,)(0,0)(,)(0,0)11(11)(11)l i ml i m(11)x yx yxyxyxyxyxyxy(,)(0,0)11lim211x yxy高等数学多元函数的概念二元函数的性质二元函数的性质:性质性质1（最大值和最小值定理最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.性质性质2（有界性定

11、理有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.性质性质3（介值定理介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.高等数学多元函数的概念练练 习习 题题一一、填填空空题题:1 1、若若yxxyyxyxftan),(22 ,则则),(tytxf=_ _ _ _ _.2 2、若若xyyxyxf2),(22 ,则则 )3,2(f_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;),1(xyf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、若若)0()(22 yyyxxyf,则则)(xf_ _ _

12、 _ _ _ _ _ _.4 4、若若22),(yxxyyxf ,则则),(yxf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.函函数数)1ln(4222yxyxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.高等数学多元函数的概念 6 6、函函数数yxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.7 7、函函数数xyzarcsin 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.8 8、函函数数xyxyz2222 的的间间断断点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.二、

13、二、求下列各极限求下列各极限:1 1、xyxyyx42lim00 ；2 2、xxyyxsinlim00；3 3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx .高等数学多元函数的概念三三、证证明明：0lim2200 yxxyyx.四四、证证明明极极限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 .高等数学多元函数的概念练习题答案练习题答案一一、1 1、),(2yxft；2 2、1213,),(yxf；3 3、xx21；4 4、yyx 112；5 5、xyyxyx4,10),(222 ；6 6、yxyxyx 2,0,0),(；7 7、xyxxyx ,0),(xyxxyx ,0),(；8 8、02),(2 xyyx.二二、1 1、41；2 2、0 0；3 3、.