概率14ppt课件

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1、1.1.典型例题典型例题4.4.小结小结第三节等可能概型等可能概型 3.3.几何概型几何概型.)2(;)1(能概型验称为古典概型或等可具有以上两个特点的试生的可能性相同试验中每个基本事件发有限个样本点试验的样本空间只包含（1）定义）定义1.古典概率模型(等可能概型)以表示为古典概型的样本空间可,.,21n n生生的的概概率率均均为为其其中中每每一一个个基基本本事事件件发发 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点个样本点(基本事件基本事件)构成构成，A为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 k个样本点个样本点(基本事件基本事件)，则事件，则事件 A 出现的出现的概率

2、记为概率记为:（2）古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式.)(基本事件总数所包含基本事件的个数AnkAP称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.)()()(NANAP也可记为解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH则.,1 TTHTHTHTTA 而而.83)()()(11 NANAP得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA ).(,)2().(,)1(.2211APAAPA求求”“至少有一次出现正面“至少有一次出现正面为为设事件设事件求求”“恰有一次出现正面“恰有一次出现正面为为设事件设事件将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次.,)1(

3、为出现反面为出现反面为出现正面为出现正面设设TH1 1 例例.87)()()(22 NANAP因此（3）古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型 摸球模型是指从摸球模型是指从n个可辨认的球中按照不同的要求个可辨认的球中按照不同的要求(是否放回，是否放回，是否计序是否计序),一个一个地从中任取一个一个地从中任取m个，从而得到不同的样本空间，个，从而得到不同的样本空间，然 后 在 各 自 的 样 本 空 间 中 计 算 某 事 件 的 概 率然 后 在 各 自 的 样 本 空 间 中 计 算 某 事 件 的 概 率.摸球模型一般可分为四种情况，各种情况的基本事件数摸球模型一般可分为四

4、种情况，各种情况的基本事件数如下表：如下表：从从n个可个可分辨的球分辨的球中任取中任取m个球个球摸球方式摸球方式不同结果总数不同结果总数无放回无放回计序计序不计序不计序有放回有放回计序计序不计序不计序)(排列数排列数mn)1组合数组合数 mmnC)(排列数排列数mnA)(组合数组合数mnC复习排列组合的有关公式(2)(2)取出的球最小号取出的球最小号码码为的概率为的概率.例例 设袋中有设袋中有10只球，编号分别为只球，编号分别为1 1,2,10.从中任取从中任取只球只球,求求(1)(1)取出的球最大号码为的概率取出的球最大号码为的概率.(3)(3)取出的球最大号取出的球最大号码码小于的概率小于

5、的概率.许多古典概型问题可以转化为摸球模型许多古典概型问题可以转化为摸球模型.典型例题典型例题解解,5取出的球最大号码为取出的球最大号码为设设 A基本事件总数为基本事件总数为,)(310CN(1)A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为)()()(NANAP故.20 ,5取出的球最小号码为取出的球最小号码为 B,5取出的球最大号码小于取出的球最大号码小于 C,)(24CAN31024CC(2)31025CC.,)(25CBN由于(3)由于取出的三只球中，最大号码小于，有两种互不相容的情况：最由于取出的三只球中，最大号码小于，有两种互不相容的情况：最大号码为或最大号码为大号码为或最大号码

6、为3102223CCC.,)(2223CCCNC 所包含基本事件的个数为所包含基本事件的个数为)()()(NBNBP故)()()(NCNCP故例例 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2次摸到次摸到黑球黑球、第第3次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解3,2次次摸摸到到红红球球第第次次摸摸到到黑黑球球前前设设 A第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球基本事件总数为基本事件总数为,10

7、1010103 A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为,466 310466)(AP故故.144.0 33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法种共433333解解例例4 4 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球.个个2种24C个个2种22C第第1 1、2 2个杯子中各有两个球的放法个杯子中各有两个球的放法种共2224CC 因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为422243CCp.272 生日

8、问题生日问题 (1)n个人个人生日各不相同的概率；生日各不相同的概率；)!:(nnn答案课堂思考课堂思考分房问题分房问题 n个人随机地住入个人随机地住入n个房间中，个房间中，求无空房的概率求无空房的概率.)2(日相同的概率个人中至少有两个人生n).365)1365(3643651nnp 答案).365)1365(364365365365nnnnPp 答案人数人数至少有两人生日相同的至少有两人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898

9、965500.97037357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900利用软

10、件包进行数值计算利用软件包进行数值计算.解解(1)在在100件产品中抽取件产品中抽取15件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,15100种C.,)(;,)(,件次品的概率件次品的概率求其中至少有求其中至少有件件任取任取从中从中件次品的概率件次品的概率求其中恰有求其中恰有件件取取从中任从中任件次品件次品其中有其中有件产品件产品设有设有 5 例在在 100件产品中抽取件产品中抽取15件件,其中恰有其中恰有2 件次品的取法件次品的取法共有共有,139525种CC 于是所求的概率为于是所求的概率为15100139525CCCp .(2),次品只产品中至少有两只是设 A,只产品中没有次品 A,1只是

11、次品只产品中恰有 A与与(1)类似有：类似有：.)(51005950CCAp.)(5100495151CCCAp于是所求的概率为于是所求的概率为)(1)(APAp)(11AAP.51004951551005951CCCCC例例 袋袋 中有中有a只白球，只白球，b只红球，只红球，k个人依次在袋个人依次在袋中取一只球中取一只球,(1)作放回抽样作放回抽样(即前一个人取一只球即前一个人取一只球观察颜色后放回袋中，后一人再取一只球观察颜色后放回袋中，后一人再取一只球)，(2)作作不放回抽样不放回抽样(即前一个人取一只球观察颜色后不放即前一个人取一只球观察颜色后不放回袋中，后一人再取一只球回袋中，后一人

12、再取一只球)，求第，求第i(i=1,2,k)个个人抽到白球人抽到白球(记为事件记为事件)的概率的概率(设设ka+b)解解(1)作放回抽样作放回抽样,;)(baaBP显然第第1个人有个人有a+b 种取法，种取法，第第2个人有个人有a+b-1 种取法，种取法，第第i个人有个人有a+b-i+1 种取法，种取法，故故i个人各取一球共有个人各取一球共有（a+b)(a+b-1)(a+b-i+1)=种取法，种取法，(2)作不放回抽样作不放回抽样;)(ibaAN即所有抽法ibaA,111,个个个个球球中中的的任任意意个个球球可可以以是是其其余余其其余余被被抽抽的的中中的的任任一一个个个个白白球球个个人人抽抽到

13、到白白球球可可以以是是发发生生时时，由由于于第第当当 ibaiaiB11)(ibaAaBN于是第个人抽到白球的所有抽法为于是第个人抽到白球的所有抽法为ibaibaAAaNBNBP11)()()(故baa说明：在抽奖游戏中先抽后抽一个样；有放回无放回一个样！.3 ;i .3 15 ,15 7 级的概率名优秀生分配在同一班名优秀生的概率每一个班级各分配到一求名是优秀生名新生中有这去到三个班级中名新生随机地平均分配将例ii 解解 15级级的的分分法法总总数数为为名名新新生生平平均均分分到到三三个个班班55510515CCC 5!5!10!10!5!15!.5!5!5!15!i优优秀秀生生的的分分法法

14、为为每每一一个个班班级级各各分分到到一一名名4448412!3CCC .4!4!4!12!3!于是所求概率为于是所求概率为 5!5!5!15!4!4!4!12!3!1p.9725 ii班班级级的的分分法法为为三三名名优优秀秀生生分分到到同同一一个个 355510212CCC .2!5!5!12!3 于是所求概率为于是所求概率为 5!5!5!15!2!5!5!12!3 2 p.916?)(,.,8个红球的概率是多少问其中恰有样两种情况考虑分不放回抽样和放回抽个球今从中任取其余为白球个红球其中有个球设一个箱子中有例MkknMN.,),min(,2,1,0,)(:.,.,.)1(:NnNMnMkCC

15、CAPCCACknMNCkMCCnNAnNknMNkMknMNkMknMNkMnNnN所求的概率个样本点共有事件由乘法原理可知种抽法有个白球个白球中抽取在种抽法有个球个红球中抽取在个样本点样本空间共有基本事件将每一种抽法看作一个种抽法共有个球个球中抽取从设所求问题事件为不放回抽样解超几何分布的概率公式.,2,1,0)1()()()(,)(,)(.,)2(nkNMNMCNMNMCBPMNMCBMNMCknNNNnNBknkknnknkknknkknknkknnn个样本点含有随机事件种个红球的抽法有个球中含有个球中任取出在个样本点共有本事件个基将每一种抽法看作是一种可能的抽法有个球个球放回地抽取从

16、设所求问题事件为放回抽样二项分布的概率公式NMpppCCCCnMNNknNkNknnNknMNkM其中可采用近似公式不会很大和对于较大的在实际问题中,)1(,.,没有本质的差异不放回抽样和放回抽样多时当箱子中球的个数充分?8 ,6 ,20001 9 整除的概率是多少也不能被整除整数既不能被问取到的数的整数中随机地取一个在例 解解 .8 ,6 整除整除取到的数能被取到的数能被整除整除取到的数能被取到的数能被设设 BA 又又 AP ,2000333 BP,2000250 所所求求概概率率为为 BAP BAP 1BAP 1ABPBPAP ABP,200083 故故所所求求概概率率为为20008320

17、0025020003331 p.43 例例10（机动）（机动）某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知所有这已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有问是否可以推断接待时间是有规定的规定的.假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712种种12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有.212种种12127

18、2 p.3000000.0 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是从而可知接待时间是有规定的有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为三、几何概型三、几何概型(等可能概型等可能概型)定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且并且任意一点落在度量任意一点落在度量（长度长度,面积面积,体积体积）相同的相

19、同的子区域是等可能的子区域是等可能的,则事件则事件A的概率可定义为的概率可定义为SSAPA)(（其中（其中S是样本空间的度量，是样本空间的度量，是构成事件是构成事件A的子区的子区 域的度量）域的度量）这样借助于几何上的度量来合理规定这样借助于几何上的度量来合理规定 的概率称为的概率称为几何概率几何概率.AS说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率就归结为几何概率.设设 分别为甲、乙两人到达的时刻分别为甲、乙两人到达的时刻,y,x那末那末.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为,tyx 实例实例1 1 甲、乙两人相约在

20、甲、乙两人相约在 0到到T 这段时间内这段时间内,在在预定地点会面预定地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时经过时间间 t(tT)后离去后离去.设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各这段时间内各时刻到达该地是等可能的时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互且两人到达的时刻互不牵连不牵连.求甲、乙两人能会面的概率求甲、乙两人能会面的概率.会面问题会面问题解解故所求的概率为故所求的概率为正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p 222TtTT .112 Ttxoy T Ttxy tyx t若以若以 表示平面上点表示平面上点的坐标的坐标,则有则有y,x实例实例2 甲、

21、乙两人约定在下午甲、乙两人约定在下午1 时到时到2 时之间到时之间到某站乘公共汽车某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车又这段时间内有四班公共汽车,它们的开车时刻分别为它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果他们约定如果他们约定 (1)见车就乘见车就乘;(2)最多等一辆车最多等一辆车,求甲、乙同乘一车的概率求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的车站的时刻是互相不牵连的,且每人在且每人在1时到时到 2时的任何时刻到达车站是等可能的时的任何时刻到达车站是等可能的.设设 x,y 分别为甲、乙分别为甲、乙 两人到达的时刻两人到

22、达的时刻,则有则有,x21 .21 y解解xoy 1 2 见车就乘的见车就乘的概率为概率为:正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p 2212414 41 45:1 30:1 15:1 1 2 15:1 30:1 45:1 最多等一辆车最多等一辆车,甲、甲、乙同乘一车的概率为乙同乘一车的概率为 .8521161341 pxoy 1 2 45:1 30:1 15:1 1 2 15:1 30:1 45:1例例1 设一个质点一定落在设一个质点一定落在 xoy面内由面内由 x 轴轴,y轴轴,直线直线 x+y=1 所围成的三角形内所围成的三角形内,而落在这三角形而落在这三角形内各点处的可能性相等

23、内各点处的可能性相等,即落在这三角形内任何即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成比例区域上的可能性与这区域的面积成比例.计算这计算这质点落在直线质点落在直线 x=1/3 的右边的概率的右边的概率.解解xyO1 yx 31所求概率为所求概率为1121323221 .94 S1SSSP1 古典概率古典概率中样本点总数所包含样本点的个数ANANAP)()()(4.小结 我们介绍了古典概型我们介绍了古典概型.古典概型虽然比较简单，但它有多方古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用面的应用.是常见的几种模型是常见的几种模型.箱中摸球箱中摸球分球入箱分球入箱随机取数随机取数分组分配分组分配课下可通过作业进一步掌握课下可通过作业进一步掌握.