2排列与排列数1

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1、 排排 列列(选修23)分类计数原理：分类计数原理：完成一件事情，完成一件事情，有有n类方式类方式,在第在第1类方式中有类方式中有m1种不种不同的方法同的方法,在第在第2类方式中有类方式中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类方式中有类方式中有mn种不同的方法。那么完成这件事种不同的方法。那么完成这件事共有共有N=种不同的方法种不同的方法.（加法原理）（加法原理）m1+m2+mn分步计数原理：分步计数原理：完成一件事，完成一件事，需要分成需要分成n个步骤，个步骤，做第做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做，做第第n步有步有mn

2、种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=种不同的方法种不同的方法.（乘法原理）（乘法原理）m1m2mn知识回顾知识回顾总结出两个原理的联系、区别：总结出两个原理的联系、区别：(1)都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题;(2)分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；(3)分步计数原理与分步计数原理与“分步分步”有关，各个步骤相互依有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成，这件事才算完成存，只有各个步骤都完成，这件事才算完成知识回顾知识回顾问题情境问题情境问题1 从甲、乙、丙从甲、乙、

3、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天的一项活动，名参加某天的一项活动，其中其中1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？少种不同的方法？我们把上面问题中被取的对象叫做我们把上面问题中被取的对象叫做元素元素于是所提出的问题于是所提出的问题就是从就是从3个不同的元素中任取个不同的元素中任取2个，个，按照一定的顺序按照一定的顺序排成一列，排成一列，求一共有多少种不同的排法求一共有多少种不同的排法 上午上午下午下午上午上午下午下午问题情境问题情境问题2 从从a、b、c、d这四个字母中，取出这四个字母中，取出3个按照顺序排成个

4、按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？一列，共有多少种不同的排法？解决这个问题，需分解决这个问题，需分3个步骤：个步骤：第第1步，先确定左边的字母，在步，先确定左边的字母，在4个字母中任取个字母中任取1个，有个，有4种种方法；方法；第第2步，确定中间的字母，从余下的步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有个字母中去取，有3种方法；种方法；第第3步，确定右边的字母，只能从余下的步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，个字母中去取，有有2种方法种方法根据分步计数原理，共有根据分步计数原理，共有43224变式:从从a、b、c、d这四个字母中，取出这四个字母中，取出4个按照顺序排成个按

5、照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？一列，共有多少种不同的排法？建构数学建构数学 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素，按照）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列 注意：注意：1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素重复元素，也没有重复抽取相同的元素3.根据排列的定义，根据排列的定义，两个排列相同，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元当且仅当这两个排列的元素完全相同，

6、而且元素的排列顺序也完全相同素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同也就是说，如也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列那么也是不同的排列 2.排列的定义中包含两个基本内容：一是排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素取出元素”；二；二是是“按照一定顺序排列按照一定顺序排列”“一定顺序一定顺序”就是与位置有关，就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志这也是判断一个问题是

7、不是排列问题的重要标志建构数学建构数学【总结提炼总结提炼】排列问题，是取出排列问题，是取出m个元素后，还要个元素后，还要按一定的顺序按一定的顺序排成一列，取出同样的排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）列）由排列的定义可知，由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列写出所有的排列练习练习

8、2.写出从写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中任取中任取2个元素的所有个元素的所有排列排列 解决办法是先画解决办法是先画“树形图树形图”，再由此写出所有的排列，再由此写出所有的排列，共共20个个 若把这题改为：写出从若把这题改为：写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中任取中任取4 个元素的所有排列，结果如何呢？个元素的所有排列，结果如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦啰嗦”练习练习1.在在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果一人，共有几种不同的选法？写出

9、所有可能的选举结果ABACADBABCBDCACBCDDADBDC 数学运用数学运用研究一个排列问题，往往只需知道所有排列研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接否不通过一一写出所有的排列而直接“得得”出所有排列的个数呢？这一节课我们将来共出所有排列的个数呢？这一节课我们将来共同探讨这个问题：同探讨这个问题：排列数及其公式排列数及其公式 1排列数的定义排列数的定义 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的）个元素的所有排所有排 列的个数列的个数，叫做从，叫做从n个不同元素中

10、取出个不同元素中取出m个元素的排个元素的排列数，记作列数，记作mnA “一个排列一个排列”是指是指“从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m个元素按照个元素按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列”，不是数；，不是数；“排列数排列数”是指是指“从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有排个元素的所有排列的个数列的个数”，是一个数因此符号只代表排列数，而不表示，是一个数因此符号只代表排列数，而不表示具体的排列具体的排列 建构数学建构数学思考思考:“一个排列一个排列”与与“排列数排列数”的区别与联系的区别与联系?2排列数公式排列数公式=(-1)(-2)(+1)n nnn-mmnA*N

11、 这里这里m、n 且且mn，这个公式叫做排列数公式，这个公式叫做排列数公式 它有以下三个特点：它有以下三个特点：（1）第一个因数是）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少，后面每一个因数比它前面一个因数少1（2）最后一个因数是）最后一个因数是nm1（3）共有）共有m个因数个因数正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n的阶乘，用的阶乘，用n!表示表示.=(-1)(-2)3 2 1n nnnnA特别地特别地,当当m=n时时,n!nnA完成完成P.15练习练习2数学运用数学运用31 6A66A46A例例1.计算计算（1）（2）（3）31616 15 143360A 666!720

12、A466 5 4 3360A 解：解：（1）（2）（3）完成完成P.15练习练习1.(3)(4)=(-1)(-2)(+1)n nnn-mmn，mnA (-1)(-2)(-+1)=n nnn m,并规定并规定:0！1!=(-)!mnnAn m：重重要要结结论论!=(-)!nn m例例2.用排列数表示下列式子用排列数表示下列式子（1）(1)4 3nn 18 17 167 6 （2）思考:用排列数表示用排列数表示(-1)(-2)(-+1)(-)2 1(-)2 1n nnn mn mn m2n-n=A1 31 8=Amn=A数学运用数学运用 常用阶乘变形常用阶乘变形:(1)2 1!=2!,3 2!=3!(2)1!+1 1!=2!,2!+2 2!=3!2!3!(3)=1!,=2!23(4)2!-1!=1!,3!-2!=2 2!111112(5)-=,-=,1!2!2!2!3!3!(+1)!=(+1)!nnn!+!=(+1)!nn nn(+1)!=!+1nnn(+1)!-!=!nnn n 11-=!(+1)!(+1)!nnnn