积分的几何应用

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1、 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 1.1.定积分的几何意义：定积分的几何意义：一、复习引入一、复习引入 如果在区间如果在区间aa，bb上函数上函数f(x)f(x)连续且恒有连续且恒有f(x)0 f(x)0，那么定积分那么定积分 表示由直线表示由直线x=a,x=b(ab),y=0 x=a,x=b(ab),y=0和曲线和曲线y=f(x)y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。所围成的曲边梯形的面积。xdxfba)(xyoabs s1 1s s2 2s s3 3)(xfy 一般情况下，一般情况下，的几何意义是：介于的几何意义是：介于x x轴，曲线轴，曲线y=f(x)y=f(x)以及直线以及直线

2、x=a,x=bx=a,x=b之间各部分曲边梯形面积的代数和，之间各部分曲边梯形面积的代数和，在在x x轴上方的面积取正号，在轴上方的面积取正号，在x x轴下方的面积取负号。轴下方的面积取负号。xdxfba)(xyo)(xfy abs s 如果如果f(x)f(x)是区间是区间aa，bb上的连续函数，且上的连续函数，且F F(x)=f(x)(x)=f(x)，那么那么:)()()(aFbFxdxfba2.2.微积分基本定理：微积分基本定理：一、复习引入一、复习引入类型类型1 1：求由一条曲线求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x轴轴所围

3、成平面图形的面积所围成平面图形的面积S SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(|)3(badxxfS)()1(badxxfS)()2(2)xyoabc)(xfy(3)(1)xyo)(xfy ab1.1.几种典型的平面图形面积的计算：几种典型的平面图形面积的计算：二、新课讲解二、新课讲解类型类型2 2：由两条曲线由两条曲线y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直线，直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积S SbababadxxgxfdxxgdxxfS)()(|)(|)()2(bababadxxgxf

4、dxxgdxxfS)()()()()1(yxoba)(xfy)(xgy(2)(xfy)(xgy(1)1.1.几种典型的平面图形面积的计算：几种典型的平面图形面积的计算：二、新课讲解二、新课讲解例例 1 1.计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 围成图形的面积围成图形的面积.解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)1 12 20 0S S=(x x-x x)d dx x323102()|33xx.31 边边曲梯形OABC曲梯形OABDS=S-Soxy2yx2yx

5、2xy yxABCDO11200 xdxx dx二、新课讲解二、新课讲解11002yxyxxyxy或解方程组(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)(2)求交点坐标，确定图形范围求交点坐标，确定图形范围(积分的上限积分的上限,下限下限)(3)(3)确定积分变量及被积函数，特别要注意分清被积确定积分变量及被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置函数的上、下位置;(4)(4)写出平面图形的定积分表达式；写出平面图形的定积分表达式；二、新课讲解二、新课讲解2.2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(5)(5)运用

6、微积分基本定理计算定积分，求出面积。运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。解解:作出作出y=x-4,y=x-4,的图象如图所示的图象如图所示:2yx解方程组：解方程组：42xyxy得：直线得：直线y=x-4y=x-4与与 交点为交点为(8(8，4)4)直线直线y=x-4y=x-4与与x x轴的交点为轴的交点为(4(4，0)0)2yx因此，所求图形的面积为一个曲边梯形因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：与一三角形面积之差：例例2.2.计算由曲线计算由曲线 ，直线，直线y=x-4y=x-4以及以及x x轴围成图形的面积轴围成图形的面积.xy2二、新课讲解二、新课讲解本题还有其他

7、解法吗？本题还有其他解法吗？340)4(28480dxxdxxS另解另解1 1：将所求平面图形的面积分割将所求平面图形的面积分割成左右两个部分。成左右两个部分。3402)4(40240dyydyyS还需要把函数还需要把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函，函数数 变形为变形为2yx22yx 二、新课讲解二、新课讲解2yx4 xyS1S2)4(2284844021dxxdxxdxxSSS340)4(213223224848042323xxx另解另解2 2：将所求平面图形的面积看成位将所求平面图形的面积看成位于于y y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形轴右边的一个梯形与一个曲边

8、梯形的面积之差，因此取的面积之差，因此取y y为积分变量，为积分变量，3322822024 22 21166426|(4)|18332333xxxx28022 2(24)xdxxxdx思考：思考：将曲线沿将曲线沿x x轴旋转，与直轴旋转，与直线相交于一点，求曲线与直线线相交于一点，求曲线与直线围成的面积。围成的面积。ABS2S1S1解法解法1：二、新课讲解二、新课讲解281202222(24)SSSxdxxxdxAB解法2：dyyS4222y)4(1864224324242yyy思考：思考：将取将取y y为积分变量，把函为积分变量，把函数数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，

9、函数，函数 变形为变形为2yx22yx 二、新课讲解二、新课讲解练习练习1.1.求抛物线求抛物线y=xy=x2 2-1-1，直线，直线x=2x=2，y=0y=0所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。y解：解：如图：由如图：由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线与得到抛物线与x x轴轴的交点坐标是的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积所求面积如图阴影所示：如图阴影所示：所以：所以：112212)1()1(dxxdxxS三、课堂练习三、课堂练习38)3()3(113123xxxxxy212102)23()32(dxxxdxxxS16165)2323()2323(12330123xxxxxx练习练习2.2.求抛物线求抛物线y=xy=x2 2+2+2与直线与直线y=3xy=3x和和x=0 x=0所围成的图形所围成的图形的面积。的面积。三、课堂练习三、课堂练习解：解：四、课堂小结四、课堂小结1.1.几种典型的平面图形的面积的计算几种典型的平面图形的面积的计算2.2.求由两条曲线围成的平面图形面积的解题步骤求由两条曲线围成的平面图形面积的解题步骤3.3.要注意定积分和用定积分计算面积两概念的区别要注意定积分和用定积分计算面积两概念的区别