(精品)经济数学－微积分第十章微分方程与差分方程

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1、微积分教案章节次数第41讲：第十章 10.1 微分方程的基本概念 10.2 一阶微分方程（一）教学目的要求1. 理解微分方程的基本概念。2. 掌握一阶可分离变量方程的解法。主要内容微分方程的阶、通解与特解一阶可分离变量方程重点难点一阶可分离变量方程的解法；区分解与通解；分离变量后的积分教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：391页 习题10-1：1、2、3、4、8402页 习题10-2：1、(2)(4)(6)备注在研究几何、物理、经济等问题会遇到微分方程，并且有广泛运用。本章只介绍基本概念，和最简单的几种方程的解法。第十章 微分方程10.1 微分方程的基本概念教学目的与要求：

2、了解微分方程的阶、通解与特解等概念。掌握一阶可分离变量方程的解法。教学重点（难点）：区分解与通解。可分离变量方程的解法。例：一条曲线通过点(1,2)，且在曲线上任一点处的切线斜率为2x+1，求曲线方程。定义：含未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程叫做微分方程。微分方程中未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶。例：指出下列各微分方程的阶1. y+y 3+xy 4=sin x 2. y+xy+(y)3+2y 5=13. y+y y=1+x54. y=y注意：在一个微分方程中，自变量x、未知函数y可以不出现，但未知函数的导数或微分不能不出现。如果一个函数代入微分方程能使之成为恒等式，

3、称该函数为微分方程的解。如果微分方程的解中含有独立的任意常数个数与微分方程的阶相同，则称这解为微分方程的通解。用一些条件确定通解中的任意常数而得到的解称为微分方程的特解。用来确定通解中任意常数的条件叫做初始条件。一阶微分方程初始条件的提法为：二阶微分方程初始条件的提法为：， 10.2 一阶微分方程（一）一、可分离变量的微分方程一阶微分方程：y=f (x,y)若能化为y=h(x)g(y)，则称该方程为可分离变量的微分方程。例如：y=2x+1这是可分离变量的微分方程，解这个微分方程只要方程两边积分：y=x2+x+C.又如y=2xy2这也是可分离变量的微分方程，但这个微分方程就不能两边直接积分，这是

4、因为含有未知函数y。但若把上面的微分方程变形为：两边积分得：一般地，若y=h(x)g(y)把方程变形为：，若y=j(x)是方程的解，则有：两边对x积分，左边利用凑微分法：。即可分离变量的微分方程求解方法是：把变量分离两边再积分。例：求解微分方程： (y+1)2y+x3=0例：求解微分方程： y=e y-2x例：求解微分方程：x(1+y2)dx-y(1+x2)dy=0微积分教案章节次数第42讲：第十章 10.2 一阶微分方程（二）教学目的要求1. 掌握齐次方程和一阶线性微分方程的解法。2. 了解伯努利方程的解法。主要内容一阶齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利方程重点难点一阶线性微分方程的常数变易

5、法求解线性非齐次方程；齐次方程和一阶线性微分方程的解法。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：527页 练习9-2：2、3、(2)(3)(4)，4备注伯努利方程为选学内容；本次课两种方程以线性方程为重点，求解时掌握方法更为重要。10.2 一阶微分方程（二）教学目的与要求：掌握齐次方程和一阶线性微分方程的解法。了解伯努利方程的解法。教学重点（难点）：齐次方程和一阶线性微分方程的解法。一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0，二、齐次（含可化为齐次的）微分方程若一阶微分方程y=f(x,y)可化为，即右端，则称该方程为齐次微分方程。齐次微分方程的解法：是通过变量替换化为可分离变

6、量的微分方程。令：，即y=xu，则y=u+xu代入方程得：u+xu=j(u)即为可分离变量的微分方程。例：求解微分方程：(xy-y2)dx-(x2-2xy)dy=0例：求解微分方程：xy=y(ln y-ln x)例：求解微分方程：例：求解微分方程：三、一阶线性微分方程形如：y+P(x)y=Q(x)的微分方程称一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是x的已知函数。若Q(x)0，则方程y+P(x)y=0称为一阶线性齐次微分方程，否则称之为一阶线性非齐次微分方程。为求一阶线性微分方程的解，先求y+P(x)y=0的解，这是可分离变量的微分方程，解得。再令为非齐次方程的解，其中C(x)为待定函数，代入

7、y+P(x)y=Q(x)得到C(x)的微分方程：，解得，故。例1 求解微分方程：ycos x+ysin x=1例2 求特解：例3 求特解：四、伯努利方程形如：y+P(x)y=Q(x)y n (n0,1)的微分方程称为贝努利方程。贝努利方程的解法：方程两边同除y n 得： y-ny+P(x)y1-n=Q(x)，即(y1-n)+ P(x)y1-n = Q(x)， (y1-n)+(1-n) P(x)y1-n =(1-n) Q(x)，这是以y1-n为函数的一阶线性微分方程。例4 解微分方程：微积分教案章节次数第43讲：第十章 10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用教学目的要求会用一阶微分方程解决一

8、些经济问题。主要内容分析商品的市场价格与需求量之间的关系分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系重点难点经济应用中方程的建立教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：410页 练习10-3：1、2、3、备注10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用教学目的与要求：会用一阶微分方程解决一些经济问题。教学重点（难点）：经济应用中方程的建立一、分析商品的市场价格与需求量(供应量)之间的函数关系例1 某商品的需求量x对价格p的弹性为.若该商品的最大需求量为1200(即p=0时，x=1200)(p的单位为元，x的单位为公斤)试求需求量x与价格p的函数关系，并求当价格为1元时市场上对该商品的

9、需求量.解 分离变量解此微分方程 两边积分得 当价格为1元时，市场对该产品的需求量为 二、分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系例2在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养1000条.在时刻t的鱼数y是时间t的函数y=y(t)，其变化率与鱼数y和1000-y的乘积成正比.现已知池塘内放养鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求t月后池塘内鱼数y(t)的公式.问6个月后池塘中有鱼多少？解 解此微分方程将带入得 即t月后鱼数与时间的函数关系为当放养6个月后鱼塘中鱼数为 （条）微积分教案章节次数第44讲：第十章 10.4 可降阶的二阶微分方程教学目的要求会用降阶法解特殊型高阶微分方程。主要内容y=

10、f(x) 型微分方程y=f(x,y) 型微分方程y=f(y,y )型微分方程重点难点特殊型高阶微分方程的解法教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：415页 习题10 -4：1（1）（3）（5），2备注10.4 可降阶的二阶微分方程教学目的与要求：了解特殊型高阶微分方程的解法。一、y(n)=f(x)这个方程中右端项不含y，y，仅是x的函数，这种方程只要连续积分，即可得到通解。例1 解微分方程：y=xex+cos x例2 解微分方程：y=sin x+x二、y=f(x,y)这类微分方程的特点是右端不显含未知函数y。解这类微分方程的方法是通过变量代换降阶。设y=p，则y=p，于是原方

11、程化为p=f(x,p)，即原方程降为以p为未知函数，x为自变量的一阶微分方程，按一阶微分方程的解法可求得p=j(x,C1)，再把p=y代回得： y=j(x,C1) ，积分即可得到通解。例3 求解微分方程： x2y+xy=1例4 求微分方程：的解.三、y=f(y,y )这类微分方程的特点是右端函数不含自变量x，y是y与y的函数，故可以认为y 也是y的函数，于是设y=p(y)，则，代入方程得，这是以p为未知函数，y为自变量的一阶微分方程，于是可求得p=y(y,C1)把p代回又是一个一阶微分方程=y(y,C1)，分离变量可求得y.例5 例6 yy+y 2=0例7 y-xy-y=0微积分教案章节次数第

12、45讲：第十章 10.5 二阶常系数线性微分方程教学目的要求1. 了解二阶常系数线性微分方程解的结构。2. 掌握二阶常系数线性微分方程的解法。主要内容二阶常系数线性微分方程解的结构定理二阶常系数线性微分方程重点难点二阶常系数线性微分方程的特征根解法。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：425页 习题10-5：1，3(2)(3)(4)，4，6（1）（3）（5）（7），7，8备注10.5 二阶常系数线性微分方程教学目的与要求：了解二阶常系数线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数线性微分方程的解法。教学重点（难点）：二阶常系数线性微分方程的特征根解法。二阶常系数线性微分方程的形式：

13、其中为常数，为的已知函数。 当时，称为二阶常系数线性齐次微分方程。 若，称为二阶常系数线性非齐次微分方程。一、二阶常系数线性微分方程解的结构设有二阶常系数线性齐次微分方程 (1)定理1 设y1，y2是方程(1)的解，则y=C1y1+C2y2也是方程(1)的解，其中C1，C2是任意常数。定理2 设y1，y2是(1)的线性无关解，则y=C1y1+C2y2是(1)的通解，其中C1，C2是任意常数。关于非齐次方程的解有如下性质：定理3 设是的特解，Y是的通解，则y=Y+是的通解。二、二阶常系数线性齐次微分方程方程称为的特征方程。1.特征方程有两个不同实根，微分方程的通解为。2.特征方程有两个相同实根，

14、微分方程的通解为。3.特征方程有一对共轭复根，微分方程的通解为例题：解下列微分方程：1. y-3y-4y=02. y+4y+4y=03. y+2y+5y=0三、二阶常系数线性非齐次微分方程由线性微分方程的结构知：非齐次微分方程的通解对应齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的一个特解。根据自由项的形式，讨论特解的求法。1、自由项为多项式。例1 求方程的特解。例2 求方程的特解。2、自由项为指数函数。例3 求方程的特解。3、自由项为三角函数例4 求方程的特解。微积分教案章节次数第46讲：第十章10.6 差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构教学目的要求1. 了解差分与差分方程，差分方程的阶

15、与解（通解、特解）等基本概念。2. 了解常系数线性差分方程的通解的结构。主要内容差分、差分方程的阶、通解与特解常系数线性差分方程解的结构重点难点差分 常系数差分方程解的结构教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：431页 习题10-6：1（1）（3），3，5，6备注对连续型变量而言，我们常会涉及微分方程的问题；对离散型变量常涉及另一类的问题。本章只介绍基本概念，和最简单的几种方程的解法。第十章 差分方程10.6 差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构教学目的与要求：了解差分与差分方程，差分方程的阶与解（通解、特解）等概念。教学重点（难点）：常系数线性齐次差分方程解的结

16、构。一、差分的概念定义 设是一个函数, 自变量从x变化到x+1, 这时函数的增量记为, 我们称这个量为在点x步长为1的一阶差分,简称为的一阶差分。为了方便我们也记，即.称为二阶差分,简记为.同样记为,并称为三阶差分.一般记,称为n阶差分.且有.性质: 当a,b,C是常数, yx和zx 是函数时,(1) (C)=0;(2) (Cyx)= C(yx);(3) (ayx+ b zx)= ayx+ b zx ;(4) (yx zx)= zx+1yx+yx zx = yx+1zx+zx yx;(5) .例已知求(yx).解 (yx)= .特别, 当n为正整数时, (yx)= , 阶数降了一阶.推论 若m

17、, ,n为正整数时, m, n P(x)为n次多项式,则.例已知求(yx).解 (yx)= .二、差分方程的概念定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。 它的一般形式为或，其中F, G是表达式，x是自变量. 使等式成立自变量的取值范围称为该方程的定义域. 的的方程，也称为n阶差分方程. n为方程的阶. 形如 （10-1）称为n阶线性差分方程. 时为齐次的. 为非齐次的.差分方程是含有未知函数及其导数的方程, 满足该方程的函数称为差分方程的解对于一阶差分方程来说，它的含有一个任意常数的解，称为此微分方程的通解一般来说，对于n阶差分方程，其含有n个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解不

18、含有任意常数的解称为差分方程的特解同微分方程一样也有初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: .二阶的如: ,等等.对于线性差分方程的解的结构有如下结论：定理 如果和都是方程（10-1）的解，则对任意常数C1, C2, 也是方程（10-1）的解定理 设 ，是的n个线性无关的特解，则是它的通解.定理 设 ，是齐次方程的n个线性无关的特解，是非齐次方程的一个特解,则是非齐次方程的通解.定理 设，是方程 的解，是方程 的解,则是方程的解. 微积分教案章节次数第47讲：第十章 10.7一阶常系数线性差分方程教学目的要求1. 了解一阶常系数线性非齐次差分方程的通解的结构。2. 会求某些特殊的一阶常

19、系数线性非齐次差分方程的特解与通解。主要内容一阶常系数线性差分方程重点难点一阶常系数线性齐次差分方程的解法教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：439页 习题10-7：1、2、3、4备注10.7 一阶常系数线性差分方程 教学目的与要求：掌握一阶常系数线性齐次差分方程的解法。了解一阶常系数线性非齐次差分方程的通解的结构。会求某些特殊的一阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解。教学重点（难点）：一阶常系数线性齐次差分方程的解法。一、一阶常系数的差分方程 一阶常系数的差分方程是 (常数p0).二、一阶常系数齐次的差分方程当，设是其齐次方程的解, 即 ,所以 r=p . 那么有通解(

20、C为任意常数)例 求差分方程的通解.解 事实上原方程是所以其通解为 (C为任意常数).三、一阶常系数非齐次的差分方程当，用待定系数法求其特解. (i) 如果(n次多项式),则非齐次方程为 .若 p=1, 即 , 那么可以是n+1次多项式.,相减时常数项和最高次数相被消去, 所以可以设, 代入方程后,比较系数确定便得到一个特解.若 p1, 最高次数相不可能被消去, 所以可以设有特解, 同样代入方程后,比较系数确定便得到一个特解.(ii) 如果(是n次多项式,是常数),则非齐次方程为 .为了求之一个特解,分两步: 第一步, 令 ,代入方程得 ,它等价于. 第二步, 用(i)的方法.总之,对这种情况

21、,可以直接设其特解为,其中当p时, s=0 , 当p=时, s=1 . 例 求差分方程 的通解.解 显然其齐次方程的通解为(C为任意常数). 设其特解为, 所以有, 从而得b=-7.因此,原方程的通解为.微积分教案章节次数第48讲：第十章 10.8二阶常系数线性差分方程教学目的要求1. 掌握二阶常系数线性齐次差分方程的解法。2. 了解二阶常系数线性非齐次差分方程的通解的结构。主要内容二阶常系数线性差分方程重点难点二阶常系数线性齐次差分方程的解法教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：446页 习题10-8：1、(3)(4)，2备注10.8 二阶常系数线性差分方程教学目的与要求：

22、掌握二阶常系数线性齐次差分方程的解法。了解二阶常系数线性非齐次差分方程的通解的结构。教学重点（难点）：二阶常系数线性齐次差分方程的解法。这里讨论的是这样的方程: (p ,q是常数). 先给结论 .定理 是方程 (10-2)的解的充分必要条件r为方程 (10-3)的根 (自己证明). (10-3)称为原方程的特征方程. 下面分步讨论.（a）当，如果 , 即其特征方程有两个不同实根,记为. 注意到是线性无关的, 所以(10-2)有通解, (是任意常数). 如果, 即其特征方程有两个相同实根,记为.,可以验证是(10-2)的线性无关的特解. 所以(是任意常数)是(10-2)的通解. 如果 ,因 p,

23、 q是实数, 即其特征方程有两互为共轭的复根, 记为,记为 . 可以验证是(10-2)的线性无关的特解. 所以(是任意常数)是(10-2)的通解 .例 求的通解.解 其特征方程, 有根 -1, -3 . 原方程有通解 (是任意常数) 例 求的通解.解 其特征方程, 有根 -2i, 2i . 原方程有通解, (是任意常数).（b）当，同一阶相似,只要求其一个特解即可. (i) 如果(n次多项式),注意到可以写成 .若, 令特解为.若,令特解为.若,令特解为.将特解代入原方程,再比较系数确定便得到一个特解.例 求的通解.解 前例已知其齐次的通解,故只需求一个特解.令,代入的,所以它的通解为, (是任意常数).(ii) 如果(是n次多项式,是常数),则非齐次方程为 .可以直接设其特解为,其中当不是其特征方程的根时, s=0 , 当是其特征方程的单根时, s=1 ; 当是其特征方程的重根时, s=2. 例 求的通解.解 令, , 所以, 所以其通解, (是任意常数).99