用空间向量求角ppt课件

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1、用空间向量处置用空间向量处置立体几何的问题立体几何的问题利用向量处理 空间角问题一、知识再现一、知识再现zxyoA(x,y,z)1、空间直角坐标系、空间直角坐标系a123a ai a j a k若123(,)aa a a则(,)OAx y z 111222(,),(,).A x y z B x y z设212121(,)A B x x y y z z ijkzxyojkia2.向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算1231231122331122331231 1223 31122331 1223 3(,),(,)(,)(,)(,)()|,0aa a abb b babab ab ababab a

2、b abaaaaRa baba ba ba bab ab abababa ba b设3.夹角和间隔公式夹角和间隔公式OjikXYZAB123123223123123123123223222212121:(,),(,),|,|,cos,|:(,);(,):|()()()aa a a b b b baa aaaabb bb b ba bababA x y z Bx y zABxxyyzz 设则设则4.平面的法向量平面的法向量假设表示向量假设表示向量 的有向线段所在直线垂直于的有向线段所在直线垂直于平面平面 ，那么称这个向量垂直于平面，那么称这个向量垂直于平面 ,记记作作 假设假设 ，那么向量，那么

3、向量 叫做平面叫做平面 的法向量的法向量.aaaaa二、用向量处置角的问题二、用向量处置角的问题异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,CD AB 与 的关系？思索：思索：,DC AB 与 的关系？结论：结论：coscos,CD AB|1.线线角线线角1AC1C1D1F例一：090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111111ABACDF取、的中点、，111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，11BDAF求与所成的角的余弦值.AB1B1.线线角线线角例1：090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，1111

4、11ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F1、线线角、线线角解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如下图，设 那么：CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB1111 1(,0,),(,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2AF 111(,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF所以 与 所成角的余弦值为3010练习：在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点

5、 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8,4),AD 10AM AD 1.ADAMADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)Mn2nABnAB)nAB(nABnABcos)nAB(nABnABcossin 指向相反时与指向相同时与 2、利用法向量求斜线与平面所成的角；、利用法向量求斜线与平面所成的角；假设斜线假设斜线AB与平面与平面 所成的角为所成的角为，点，点A在平面在平面内的射影为内的射影为O点。点。是平面是平面的一个法向量，由图知，的一个法向量，由图知，

6、均为锐角，均为锐角，为钝角，且为钝角，且，。那么。那么1111DCBAABCD ECC1BEBDB1例例2.正方体正方体中，中，是是的中点，求的中点，求与平面与平面所成的角。所成的角。，设正方体的棱长，设正方体的棱长1，那么：，那么：)1,1,1()0,1,1(1BB)21,1,0(E)21,0,1()1,1,1()0,1,1(1BEDBDB解：建立空间直角坐标系解：建立空间直角坐标系BDB1),(zyxn 设平面设平面的法向量为的法向量为zxy00000,11zyxzyxyxDBnDBnDBnDBn)0,1,1(,1nx则AB510arcsin510sinBEnBEn1111DCBAABCD

7、1BCBDA1)33(令令，设，设与平面与平面所成的角为所成的角为，那么：，那么：练习：在正方体练习：在正方体中，求中，求与平面与平面所成的角的余弦值。所成的角的余弦值。lnmmn,mnmnmn,coscosnm3、利用法向量求二面角的平面角；、利用法向量求二面角的平面角；设设的二面角为的二面角为，与与是指向二面角外侧与内侧是指向二面角外侧与内侧结论：二面角的平面角等于指向二面角内侧与外侧的两结论：二面角的平面角等于指向二面角内侧与外侧的两个平面的法向量所成的角。即：个平面的法向量所成的角。即：与与的指向不同的指向不同的这两个平面的法向量，由图可知：的这两个平面的法向量，由图可知：1111DC

8、BAABCD,BBBC,AB121 11CDCBDExyzD)1,1,0()0,2,1(EB)0,2,0(C)1,1,0()0,2,1(DEDBEDB),(zyxn zyyxzyyxDEnDBn200200例例3在长方体在长方体中，中，E为为的中点，求二面角的中点，求二面角的正切值。的正切值。，那么：，那么：设平面设平面法向量为法向量为，那么：，那么：解：建立空间直角坐标系解：建立空间直角坐标系zxy)1,1,2(,1ny则CBD)1,0,0(1DDCBDE5tan65661sin6661,coscos2111nDDnDDDDn111CBAABC EACBAABCAC,90,211BBDAB3

9、DECD11ABBADEAC1)45(令令，由图可知，平面由图可知，平面的法向量为的法向量为，设二面角，设二面角的平面角为的平面角为，练习：在直三棱柱练习：在直三棱柱中，中，为为的中点，的中点，点在点在上且上且(1)求证：求证：面面(2)求二面角求二面角的大小。的大小。；小结：小结：1.异面直线所成角：coscos,CD AB|2.直线与平面所成角：sincos,n AB|3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos,|n n 关键：察看二面角的范围ABCD1DABOn1n2n BAOBAODPXYZ,2,4),(3,0,)(,2,4).(3,0,)9,4029,8.PzOPZ

10、OPOPZZBBAOBPOBOPAOB 解:建 立 如 图 的 空 间 直 角 坐 标 系,3由 题 意 B(3,0,0),D(设23则 BD2BDBD平 面3为与 底 面所 成 的 角,POB=arctan8,PBBD AB0例1:(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-ABO中,OO=4,OA=4,OB=3,AOB=90是侧棱上的一点,为中点,若OPBD,求OP与底面AOB所成角的大小.1100111112:(2002,60,90,2,3.;(2)OAB OABOBBOOABOOBAOBOBOOOAOAB OABAO111例年上海春季高考题)如图:三棱柱-平面平面且求:(1)二面角的大

11、小异面直线与所成角的大小.1AAB1B1O111:(1),(0,0,0),(0,1,3),(3,0,0)(3,1 3),(0,2,0),(3,1,3),(3,2,0)OOAOBx yOAOBzOOAABAOAB 解以 为 原 点,分 别 以所 在 的 直 线 为轴,过 点 且 与 平 面垂 直 的 直 线 为轴,建 立 空 间 直 角坐 标 系.如 图 所 示.则XYZO11221212212121(0,0,1).(,).0,0.3230:,3,2,132012(2,3,1).cos,4|2 2,OZAOBnO ABnx y znAOnABxyzyxzxynnnn nnnn 显然为平面的法向量

12、取设平面的法向量为则即令2122arccos.arccos.44nOABO 故二面角的大小为1AAB1B1OOXYZ11111111111(2),(3,1,3),(3,1,3)17|1arccos.7ABAOABOAOA OOAB OACOSABOAABAO 设异面直线与所成的角为则与所成的角为三、三、用向量法求二面角的大小用向量法求二面角的大小如图，二面角如图，二面角-l-，平面，平面的法向量为的法向量为 ，平面平面的法向量为的法向量为 ，那么二，那么二面面角角-l-为为 或或 。1n2n 21n,n 1n2nl l 1n2nl l例例2.在底面是直角梯形的四棱锥在底面是直角梯形的四棱锥S-

13、ABCD中，中，ABC=90，SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。求面。求面SCD与面与面SAB所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。21SCADBx xy yz z例例3.四棱锥四棱锥P-ABCD的底面是边长为的底面是边长为a的正方的正方形，形，PB平面平面ABCD。求证：无论四棱锥的高怎样变化，面求证：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与与面面PCD所成的二面角恒大于所成的二面角恒大于90。CPDABx xy yz z),a,0,0(AA1 知三棱柱知三棱柱ABC-A1B1C1在某个空间直角在某个空间直角坐标系中，坐标系中，)0,0,a(AB )0,a,0(AC .0DCADBCD1 且且1求异面直线求异面直线A1B和和C1D所成的角的所成的角的大小。大小。2求二面角求二面角D-AC1-C的大小。的大小。练习：练习：