人教A版选修22定积分的概念课件41张

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1、1.5 1.5 定积分的概念定积分的概念 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连在直角坐标系中，由连续曲线续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的轴所围成的图形叫做曲边梯形。图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f(x)一一.求曲边梯形的面积x=ax=b 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附近的曲线，附近的曲线，也就是说：在点也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）内以直代曲）P放大放大再放大再放大PP y=f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的

2、面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A2A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A2A3A4 y=f(x)bax yOA A1+A2+An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 2 2曲边梯形的面积曲边

3、梯形的面积 求曲边梯形的面积即求曲边梯形的面积即求求 下的面积下的面积)(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代后求和。然后用矩形面积代后求和。若若“梯形梯形”很窄，很窄，可近似地用矩形面积代替可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？在不很窄时怎么办？以直代曲以直代曲 Oabxy)(xfy Oabxy)(xfy 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积。n1n2nknn21112222223311 1()()11121110 1(12(1)1(1)(21)611112.6nnnniiiiii

4、SSfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xOy解解把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条,用矩形来近似代替用矩形来近似代替,然后把然后把这些小矩形的面积加起来这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值得到一个近似值:2xy 因此因此,我们有理由相我们有理由相信信,这个曲边三角形这个曲边三角形的面积为的面积为:lim111lim1261.3nnnSSnn n1n2nknnxy2xy O n1n2nknnxOy2xy 左下图：不足近似左下图：不足近似 P48右上图：过剩近

5、似右上图：过剩近似 P48小结小结:求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 有理由相信，分点有理由相信，分点越来越密时，即分割越越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面的极限即为曲边形的面积。积。（1 1）分割分割（3 3）求面积的和求面积的和 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的近的近似值。似值。（4 4）取极限取极限 n oxy（2 2）近似代替近似代替 1.5.21.5.2汽车行驶的路程汽车行驶的路程1SD2SD2()2v tt=-+O Ov t t12gg

6、gggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD1SD2SD2()2v tt=-+O Ov t t12gggggg3SDjSD1nS-D1n2n3njn1nnnn-01snD11snD31snD11nsn-D31snD上图中上图中:所有小矩形的面积之和所有小矩形的面积之和,其极限就其极限就是由直线是由直线x=0,x=1x=0,x=1和曲线和曲线v(tv(t)=-t)=-t2 2+2+2所围所围成的曲边梯形的面积成的曲边梯形的面积.作业：作业：练习，练习，练习，练习，1.5.3 1.5.3 定积分的概念定积分的概念观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩

7、形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过

8、程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲

9、边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)近似代替近似代替:任取任取x xi xi 1,xi，第，第i个小曲

10、边梯形的面积个小曲边梯形的面积用高为用高为f(x xi)而宽为而宽为 x的小矩形的小矩形面积面积f(x xi)x的的近似值代替。近似值代替。(4)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积S为为 （3）求和：求和：取取n个小矩形面积的个小矩形面积的和作为曲边梯形面积和作为曲边梯形面积S的的近似值：近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xix1lim()niniSfxx1()niiSfxx (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:每个小区间宽度每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxx

11、b一、定积分的定义一、定积分的定义 11()()nniiiibafxfnxx 小矩形面积和S=如果当n时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作 ba(x)dx，即f(x)dx f(x i)xi。从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1()lim()ninibaf x dxfnxba即定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称：叫做积分号，叫做积分号，f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式

12、，x 叫做积分变量，叫做积分变量，a 叫做积分下限，叫做积分下限，b 叫做积分上限，叫做积分上限，a,b 叫做积分区间。叫做积分区间。1()lim()ninibaf x dxfnxba即Oabxy)(xfy baIdxxf)(iinixf )(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限 Sbaf(x)dx；按定积分的定义，有 (1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为 sbav(t)dt。定积分的定义：Oab()v

13、v ttv1()lim()ninibaf x dxfnxba即112001()3Sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为1x yOf(x)=x213S 1SD2SD2()2v tt=-+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005()(2)3Sv t dttdt根据定积分的定义左边图形的面积为baf(x)dx f(t)dt f(u)du。说明：说明：(1)定积分是一个数值定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即baf(x)dx baf(x)dx

14、-(3)(2)定积分的几何意义：Ox yab yf(x)baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f(x)、特别地，当 ab 时，有baf(x)dx0。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf(x)yf(x)dxxfSba)(baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：积分baf(x)dx 在几何上表示 baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。

15、Sab yf(x)Ox y()yg x探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的面积面积?ab yf(x)Ox y1()baSfx dx()yg x12()()bbaaS S Sf xdxg xdx 2()baSg x dx三三:定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1.1.dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2.2.badx)x(kf badx)x(fk三三:定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3.3.2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf(x)性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。f(x)dx f(x)dxf(x)dx。f(x)dx f(x)dxbcf(x)dx。cOx ybaf(x)dx f(x)dxf(x)dx。例例1：利用定积分的定义：利用定积分的定义,计算计算 的值的值.130 x d x 作业：作业：组（）组组（）组 练习：练习：-组，组，组，组，