理论力学第三版第5章第2节虚功原理

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1、第五章第五章分析力学分析力学拉格朗日拉格朗日哈密顿哈密顿5.2 虚功原理虚功原理本节导读本节导读 实位移实位移 虚位移虚位移 实功实功 虚功虚功 虚功虚功(虚位移虚位移)原理原理 拉格朗日乘子与约束力拉格朗日乘子与约束力1 实位移和虚位移实位移和虚位移质点由于运动实际发生的位移质点由于运动实际发生的位移,叫做实位移叫做实位移.用用dr表示表示.想象的质点在约束许可情况下发生的位移想象的质点在约束许可情况下发生的位移,叫做叫做虚位虚位移移.用用 r表示表示.虚位移只决定于质点在此时的位置和加虚位移只决定于质点在此时的位置和加在它上面的约束在它上面的约束,而不是由于时间变化所引起的而不是由于时间变

2、化所引起的.虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程,而虚位移只需要满足约束而虚位移只需要满足约束.在稳定约束下在稳定约束下,实位移是无实位移是无限多虚位移中的一个限多虚位移中的一个.而在不稳定约束时而在不稳定约束时,可能二者可能二者不一致不一致.设有设有n个质点的系统个质点的系统,存在存在m个完整约束个完整约束,其约束方程其约束方程),1,2,(0),(21mi trrrfni设设 是满足约束条件的虚位移是满足约束条件的虚位移,则则nrrr,21),1,2,(0),(2211mi trrrrrrfnni对对 ri 作多元函数的泰勒展开作多元函数的泰

3、勒展开(t 被被“冻结冻结”),略去二次略去二次以上的项以上的项,),1,2,(0),(121mj rtrrrfininji满足上式的一组满足上式的一组 ri 就是虚位移就是虚位移.而真实位移而真实位移dri是一个在时间是一个在时间dt间隔中完成的位移间隔中完成的位移,为使其满足约束条件为使其满足约束条件,必须必须),1,2,(0)d,d,d,d(2211mi ttrrrrrrfnni于是得于是得),1,2,(0d/d1mj ttfrfjiniji是约束对真实位移的限制条件是约束对真实位移的限制条件,即时间不被即时间不被“冻结冻结”的可能位移应满足的条件的可能位移应满足的条件.如约束是稳定的如

4、约束是稳定的,虚虚、实实位位移移相同相同.虚位移与实位移比较表虚位移与实位移比较表 虚位移虚位移实位移实位移共同点共同点 为约束所允许为约束所允许为约束所允许为约束所允许不同点不同点1）与主动力、作用时间、初始条件无关）与主动力、作用时间、初始条件无关2）是可能位移，可有多个或无穷多个）是可能位移，可有多个或无穷多个3）无限微量）无限微量与左边三个因素有关唯一的，方向与左边三个因素有关唯一的，方向确定有限量确定有限量表示方表示方法法用变分符号表示。用变分符号表示。如如 等等用微分符号表示。用微分符号表示。如如 等等相互关相互关系系在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一在定常约束情况下，实位移是

5、虚位移中的一个个.),(zyxrd),d,d,d(dzyxr2 虚功虚功 作用在质点上的力在任意虚位移作用在质点上的力在任意虚位移 r中所作的功中所作的功,叫叫做虚功做虚功.如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚位移中所作的虚功之和为零虚位移中所作的虚功之和为零,即即(5.6)01niiirR那么系统受到的约束叫做那么系统受到的约束叫做理想约束理想约束.一切光滑接触以及一切光滑接触以及刚体等都是理想约束刚体等都是理想约束.例例1 质点沿质点沿固定固定的光滑曲面运动的光滑曲面运动,约束方程为约束方程为0),(zyxf质点的虚位移应满足质点的虚位移应

6、满足0),(),(),(zzzyxfyyzyxfxxzyxfzzyxfyzyxfxzyxfR),(,),(,),(即虚位移垂直于曲面的法向即虚位移垂直于曲面的法向().由于约束面由于约束面是光滑的是光滑的,约束力沿曲面的法向约束力沿曲面的法向,即即zfyfxf,因此虚功为因此虚功为0),(),(),(zzzyxfyyzyxfxxzyxfrRW例例2 质点沿运动的光滑曲面运动质点沿运动的光滑曲面运动,约束方程为约束方程为0),(tzyxf质点的虚位移应满足质点的虚位移应满足0zzfyyfxxf即虚位移即虚位移仍仍垂直于曲面的法向垂直于曲面的法向.而而 约束力沿曲面的法向约束力沿曲面的法向,所以虚

7、功也仍为零所以虚功也仍为零.注意注意,这里约束力所作的真实的功并不为零这里约束力所作的真实的功并不为零,因为真实因为真实位移位移dr满足满足0ddddttfzzfyyfxxf它并不垂直于曲面的法向它并不垂直于曲面的法向.约束力的虚功为零约束力的虚功为零,这完全这完全是因为虚位移在是因为虚位移在“冻结冻结”了的了的(t0)曲面的切平面上曲面的切平面上.例例3 质点约束在光质点约束在光滑滑曲线上运动曲线上运动.这种情形可以看成质这种情形可以看成质点约束在两个光滑曲面上的运动点约束在两个光滑曲面上的运动,其约束方程为其约束方程为0),(0),(21tzyxftzyxf质点的虚位移应满足质点的虚位移应

8、满足00222111zzfyyfxxfzzfyyfxxf这也是约束力和虚位移垂直的情况这也是约束力和虚位移垂直的情况.故虚功为零故虚功为零.022ijjilrr 02jijirrrr因此约束力的虚功因此约束力的虚功 0jijijjiirrrrrRrRW因因约束力是一对内力约束力是一对内力,大小相等方向相反大小相等方向相反,即即 jiRRjirr.由约束方程可知由约束方程可知,虚位移满足虚位移满足例例4 刚性约束刚性约束.刚体中两质点的径矢分别为刚体中两质点的径矢分别为 ,则约则约束方程为束方程为jirr和3 虚功原理虚功原理(5.7)0iiRF于是于是,作用于第作用于第i质点所有各力的虚功之和

9、为零质点所有各力的虚功之和为零 0iiiirRrF(5.8)011niiiniiirRrF 当系当系统处于平衡统处于平衡时时,系统每一质点都是处于平衡系统每一质点都是处于平衡.这样这样,作用于第作用于第i个质点的个质点的 的合力应的合力应为零为零,即即iiRF和约束力主动力在理想约束条件在理想约束条件下下,如果系统处于平衡状态如果系统处于平衡状态,则其平衡则其平衡条件为条件为(5.9)01niiirFW这称为这称为虚功原理虚功原理.显然显然,当一个只有理想约束的系统处当一个只有理想约束的系统处于平衡状态时于平衡状态时,作作用用于该系统的所有主动力的虚功之于该系统的所有主动力的虚功之总和为零总和

10、为零.(5.9)01niiiziiyiixzFyFxF其实其实,即使即使是是非理想的约束非理想的约束,仍然仍然可可以以使使用用虚虚功原理功原理.只只要把要把 理解为既包括主动力又理解为既包括主动力又包括非包括非理想约束反力即可理想约束反力即可.F4 广义坐标下的虚功原理广义坐标下的虚功原理(5.10);,21tqqqrrsii质点虚位移也可用广义坐质点虚位移也可用广义坐标标的虚位移的虚位移(广义广义虚虚位移位移)表示表示,(5.11)1qqrrsii 由于由于虚位移不独立虚位移不独立,因而因而上述虚功原理上述虚功原理不能不能消除虚消除虚位移来位移来得出平衡时得出平衡时系统的系统的受力受力.为解

11、为解决决这个困难这个困难,采采用广用广义坐标义坐标.任何一个质点的矢径任何一个质点的矢径 都可用都可用s个广义坐标表示个广义坐标表示,ir这样在广义坐标中得到平衡方程为这样在广义坐标中得到平衡方程为:(5.12)111111qQqqrFqqrFrFWsniiisnisiiniiiQ 是是q 的函数的函数.由于广义虚位移是相互独立的由于广义虚位移是相互独立的,所以所以(5.13),2,1(011sqzFqyFqxFqrFQniiiziiyiixiniiQ 叫做广义力叫做广义力.它的数目和力学体系的自由度数相等它的数目和力学体系的自由度数相等.5 主动力为保守力的情况主动力为保守力的情况 在主动力

12、是保守力的情况下在主动力是保守力的情况下,广义力广义力Q 的表达式的表达式很容易求得很容易求得.qQVWs1qVQ并且此时平衡方程为并且此时平衡方程为0qV上式具有鲜明的物理意义上式具有鲜明的物理意义:保守力作用下的力学系统保守力作用下的力学系统,如处于平衡如处于平衡,则势能取极值则势能取极值.例例1 两刚性杆用光滑铰链连接如图两刚性杆用光滑铰链连接如图.上杆长上杆长l1,质量为质量为m1,下杆长下杆长l2,质量为质量为m2,在下杆的下端施加不变的水平力在下杆的下端施加不变的水平力F,试试求平衡时两杆各自同竖直线的夹角求平衡时两杆各自同竖直线的夹角 1和和 2.解解:光滑铰链是理想约束光滑铰链

13、是理想约束.所需考虑所需考虑的主动力有水平力的主动力有水平力F,重力重力m1g和重和重力力m2g.系统两个自由度系统两个自由度,1和和 2为为广义坐广义坐标标按照虚功原理按照虚功原理032211yFxgmxgm1122311222111sinsin,coscos21,cos21llyllxlx 2 1m2gm1gF(x2,y2)(x1,y1)(x3,y3)因为因为自由度自由度 1和和 2为为独立的独立的0sin21cos0sinsin21cos22212111gmFgmgmF由此解得由此解得gmFgmmF222112tan ,)2(2tan0sin21cossinsin21cos2222211

14、12111lgmFlgmgmF因为因为6 约束力的求约束力的求解解拉拉格朗日乘子格朗日乘子法法 利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平衡利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平衡条件条件,但是不能求出约束力但是不能求出约束力.为了解决这个问题为了解决这个问题,引入拉引入拉格朗日乘子法格朗日乘子法.(5.14),2,1(0),(kzyxfn个质点组成的系统个质点组成的系统,有有k个完整约束个完整约束x,y,z个是所有系统各质点坐标的缩写个是所有系统各质点坐标的缩写.这时系统的独立这时系统的独立坐标数为坐标数为3n k,显然我们可以直接利用显然我们可以直接利用3n个坐标求解个坐标求解,也可以

15、利用也可以利用3n k广义坐标求解广义坐标求解.(i)如直接利用如直接利用3n个坐标求解个坐标求解,则力学系统的平衡条件为则力学系统的平衡条件为(5.15)01niiiziiyiixzFyFxFkzzfyyfxxfniiiiiii,2,1 01虚位移应满足虚位移应满足把上式对应乘以把上式对应乘以 ,然后和然后和(5.15)相加相加,得得(5.16)01111niikiizikiiyikiixzzfFyyfFxxfF总可以得到总可以得到(5.17),2,1(000111nizfFyfFxfFkiizkiiykiix联立约束方程联立约束方程,共有共有3 3n+k个方程个方程,可以确定坐标和不定乘子

16、可以确定坐标和不定乘子.不定乘子的物理意义不定乘子的物理意义:(5.18)fR即不定乘子和约束方程的散度乘积是对应的约束反力即不定乘子和约束方程的散度乘积是对应的约束反力.(ii)利用广义坐标求解约束反力利用广义坐标求解约束反力.先将坐标用广义坐标表示先将坐标用广义坐标表示,约束方程变为约束方程变为(5.19)0),(21sqqq而虚位移满足而虚位移满足(5.20),2,1 01kqqs类比与直接求解的方式类比与直接求解的方式,得得(5.21)011skqqQ也总能得到也总能得到(5.22),1,2,(01sqQk不定乘子仍和约束反力成比例不定乘子仍和约束反力成比例,而而Q 是广义坐标表示的主

17、动力是广义坐标表示的主动力.例例2 如图所示机构中如图所示机构中,OA=r,h2r,弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为k,当当OA杆在力偶矩杆在力偶矩M1作用下于图示位置作用下于图示位置(OA平行于平行于水平杆水平杆BC)平衡时平衡时,试求作用在试求作用在AD杆上的力偶矩杆上的力偶矩M2的的大小及弹簧的形变量大小及弹簧的形变量.本题可根据广义力表示的平衡条件求解本题可根据广义力表示的平衡条件求解.但必须先求但必须先求出广义出广义力力,下面用虚元功法求广义力下面用虚元功法求广义力.解解:系统具有两个由由度系统具有两个由由度,选选OA杆的转角杆的转角 1和和AD杆的转杆的转角角 2为独立的虚位移为独

18、立的虚位移,其转其转向如图所示向如图所示.先令先令 1=0,对应于虚位移对应于虚位移 2的虚功为的虚功为22222)2(38rkMrFMWBFDABCOhF1M2M12再令再令 2=0,对应于虚位移对应于虚位移 1的虚功为的虚功为o11111)1(30tanrkMrFMWBFrkMWQF3111)1(1根据平衡条件根据平衡条件,有有Q20,Q10,这样可得这样可得1123 ,338MkrMM对应的广义力为对应的广义力为kMWQF3822)2(2例例3 试求例试求例1两杆铰接处的相互作用力两杆铰接处的相互作用力.解解:本题所求为两杆铰接处的约束力本题所求为两杆铰接处的约束力,所以选取广义所以选取

19、广义坐标时不考虑约束条件坐标时不考虑约束条件.按照质心运动定理按照质心运动定理,下杆所下杆所受的各个力受的各个力,包括铰接处的约束力包括铰接处的约束力可可以看以看做做作用于杆作用于杆的质心的质心,因此我们选下杆质心的坐标因此我们选下杆质心的坐标x2,y2作为特作为特定的定的广义坐标广义坐标.另选确定上杆位置的另选确定上杆位置的 1 和下杆位置的和下杆位置的 2作作广义坐标广义坐标.按照虚功原理按照虚功原理032211yFxgmxgm0sin21)cos21(22222111ylFxgmlgm0sin21sin),(0cos21cos),(222112122222112122yllyxfxlly

20、xf用广义坐标表示用广义坐标表示由此看出由此看出,对应于对应于 x2和和 y2的主动力分别是的主动力分别是m2g和和F.由于广义坐标不独立由于广义坐标不独立,受到约束受到约束(a)0cos21sin212222221111yFFlxgmgml(c)0cos21cos(b)0sin21sin22221112222111yllxll于是于是用用 1遍乘遍乘(b)的各项的各项,2遍乘遍乘(c)的各项的各项,并与并与(a)相加相加,0cos21sin21cos21cossinsin2122222221221211121111yFlFxgmlgm令各个系数分别为零令各个系数分别为零,即得平衡方程即得平衡

21、方程,其中对应于其中对应于 x2和和 y2的两个平衡方程是的两个平衡方程是0 ,0212Fgm fR这样这样,下杆所受的下杆所受的x方向的方向的力力为为 m2g,y方向为方向为 F.因为因为小结小结a 实位移实位移:质点实际运动的位移质点实际运动的位移b 虚位移虚位移:想象中发生的位移，取决于质点位置和约束想象中发生的位移，取决于质点位置和约束c 理想约束理想约束:诸约束反力在任意虚位移上作的虚功为零诸约束反力在任意虚位移上作的虚功为零虚功原理虚功原理a)力学体系如受力学体系如受n个外力作用平衡个外力作用平衡,则对理想、不可解约束来则对理想、不可解约束来说说,虚功之和为零虚功之和为零b)利用虚功原理不能求约束反力利用虚功原理不能求约束反力,但可用未定乘法来求但可用未定乘法来求 01niiirFW