卡尔曼滤波器

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1、卡尔曼滤波器是一个 “optimal recursive data processing algorithm (最优化自回 归数据处理算法)”。对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最 有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融 合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像 处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。1 卡尔曼滤波器的介绍(Introduction to the Kalman Filter)假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的 温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的

2、温度(假设我们用一 分钟来做时间单位)。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差 几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声(White Gaussian Noise)，也就是这些 偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配(Gaussian Distribution)。另外， 我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏 差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的 预测值(系统的预测值)和温度计的值(测量值)。下面我们要用这两个值结合 他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。假如我们要估算k时刻的是

3、实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值， 来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预 测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度(5 是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3,你对自己预测的 不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5)。然后，你从温度计那里得到 了 k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。 究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们 可以用他们的covariance来判断。因为KgA2=5A2/

4、(5A2+4A2)，所以Kg=0.78，我 们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因 为温度计的covariance比较小(比较相信温度计)，所以估算出的最优温度值偏 向温度计的值。现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进 行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在 进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值(24.56度)的偏差。算法 如下：(1-Kg)*5人2)人0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温 度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时

5、刻估算出的最优温度值的 偏差(对应于上面的3)。就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温 度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是 卡尔曼增益(Kalman Gain)。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是 很神奇！下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。2 卡尔曼滤波器算法(The Kalman Filter Algorithm)在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman的卡尔曼滤波器。下面的描述， 会涉及一些基本的概念知识，包括概率(Probability),随机变量(Random Variabl

6、e)， 高斯或正态分配(Gaussian Distribution)还有State-space Model等等。但对于卡 尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微 分方程(Linear Stochastic Difference equatio n) 来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A 和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵Z(k)是k时刻的测量值，H是 测量系统的参数，对于多

7、测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测 量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分 别是Q，R (这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡 尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances来 估算系统的最优化输出(类似上一节那个温度的例子)。首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统 状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(klk-1)=A X(k-1lk-l)+

8、B U(k)(1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的 结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止,我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance 还没更新。我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A+Q(2)式(2)中，P(k|k-1)是 X(k|k-1)对应的 covariance，P(k-1|k-1)是 X(k-1|k-1)对应 的covariance，A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就 是卡尔曼滤波器5

9、个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结 合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)(3)其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)= P(k|k-1) H/(H P(k|k-1) H + R)(4)到现在为止，我们已经得到了 k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要使 卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k) 的 covariance：P(k|k)= (I-Kg(k

10、)H)P(k|k-1)(5)其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，1=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k) 就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3, 4和5就是他的5个基本 公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。下面，我会用程序举一个实际运行的例子。3 简单例子(A Simple Example)这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工 作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。 根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们

11、见 的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相 同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=O。因此得出：X(klk-l)=X(k-llk-l)(6)式子(2)可以改成：P(klk-1)=P(k-1lk-l)+Q(7)因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3, 4, 5可以 改成以下：X(klk)= X(klk-1)+Kg(k)(Z(k)-X(klk-l)(8)Kg(k)= P(klk-1)/(P(klk-l)+R)(9)P(klk)= (1-Kg(k) P(klk-1)(10)现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟 了

12、 200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的 高斯白噪声(在图中为蓝线)。为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值， 是X(OlO)和P(OlO)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔 曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡 尔曼完全相信你给定的X(0l0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了 X(0l0)=1 度，P(0l0)=10。该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输 出的最优化结果(该结果在算法中设置了 Q=1e-6, R=1e-1)。什么是kalman滤

13、波器？kalman滤波器是一个最优化递归处理算法(optimal recursive data processing algorithm)。(1) 最优(optimal)依赖于评价性能的判据。Kalman滤波器充分利用如下 信息估计感兴趣变量当前取值：a.系统和测量装置的动态特性；b.系统噪声、测 量误差和动态模型的不确定性的统计描述；c.感兴趣变量的初始条件的相关信息。(2) 递归(recursive)是指kalman不需要保存先前的数据，当进行新的测 量时也不需要对原来数据进行处理。(3) filter (DPA)实际上是数据处理算法，只不过是计算中处理的程序， 因此能处理离散时间测量样本

14、，而不是连续时间输入。基本假设采用线性模型是合理的；这是典型工程模型在某些主要点或轨迹是线性的， 线性模型比非线性模型更简单。因此用线性模型来近似。白噪声意味着噪声值和时间不相关；白噪声指在整个频率上都有相同强度的 频率特性的噪声。实际应用中将频率设为常值，带宽大大超过系统带宽的噪声称 为白噪声，用高斯白噪声来模拟，可以大大简化模型。采用高斯密度函数在实践上是可行的。因为采用高斯函数在数学上容易处理。 当缺少高阶统计量时，除了假定高斯密度外，没有更好的可以表示的函数形式。 用一阶和二阶统计量完全可以描述高斯白噪声。附matlab下kalman滤波程序：%卡尔曼滤波clearN=800;w=ra

15、ndn(l,N) %系统预测的随机白噪声x(l)=O;a=1;for k=2:N;x(k)=a*x(k-1)+w(k-1); %系统的预测值endV=randn(1,N); %测量值的随机白噪声q1=std(V);Rvv=q1.A2;q2=std(x);Rxx=q2.A2;q3=std(w);Rww=q3.A2;c=0.2;Y=c*x+V; %测量值P(1)=0;s(1)=0;for t=2:N;p1(t)=a.A2*p(t-1)+Rww; %前一时刻 X 的相关系数 b(t)=c*p1(t)/(c.A2*p1(t)+Rvv); % 卡尔曼增益 s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1); % 经过滤波后的信号 p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);%t 状态下 x(tlt)的相关系数endfigure(1)plot(x)title(系统的预测值)figure(2)plot(Y)title (测量值)figure(3)plot(s)title(滤波后的信号)