数学线性代数课件1516行列式的性质与计算

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1、思思 考考解解22x 定义法求解行列式很定义法求解行列式很烦琐烦琐行列式的性质行列式的性质8 24x 23x 24x 26x 23x 28x 在在函函数数中中,的的系系数数是是_ _ _ _ _ _ _210123()232112xxxf xxxx 一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211D D 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.证明证明det(),ijDa 记记111212122212nnnnnnaaaaaa

2、Daaa 即即111212122212nnTnnnnbbbbbbDbbb 设设，(,1,2,),ijjibai jn则则按定义按定义TD1212()12(1)nnt p ppppnpbbb 1212()12(1)nnt p ppppp naaa 故故TDD 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因因此行列式的性质但凡对行成立的对列也同此行列式的性质但凡对行成立的对列也同样成立样成立.列标为标准排列，行标列标为标准排列，行标是一个是一个 n 级排列的定义级排列的定义例如例如175175,2668535522.88 361567567361266853思考思考1753

3、58662 662175358 1212()12(1)nnt p ppppnpaaa 互换相邻互换相邻互换不相邻互换不相邻662358175 推论推论 如果行列式有两行列完全相同，如果行列式有两行列完全相同，那么此行列式为零那么此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 0DDD 1112121222121212nnnnnnnnaaaaaabbbbbbaaa D设行列式为设行列式为 例如例如175 2666620 行列式的某一行（列）中所有的行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数元素都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此乘此行列式行列式.kknnnniniinaaaka

4、kakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 1212()12(1)nnt p ppppnpaaa 例：例：8431 21431 2 41 431 4 5202313 21311 21 311 3 3 13 84 33 21 1 1性质行列式中如果有两行列元素性质行列式中如果有两行列元素成比例，那么此行列式为零成比例，那么此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0 例：例：3112513462241533 6224 3

5、112 0 3312563466241332 3663 2442 0 6624 3312 性质性质5 5假设行列式的某一列行的元假设行列式的某一列行的元素都是两数之和素都是两数之和nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 那么那么D D等于以下两个行列式之和：等于以下两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111即即1212()12(1)nnt p ppppnpaaa 212101111431235243110110.431235235 （），（）1

6、11101 212 行列式行列式2的两个行列式的第一行对应元素的两个行列式的第一行对应元素之和等于行列式之和等于行列式1的第一行的三个元素的第一行的三个元素.性质把行列式的某一列行的各元素乘以性质把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaarkraakaaa k例如例如1111111111212222122211ijnjjnijjjjjnn

7、injnjnnjnjnjaaaaakaaaaaaaakaaaaaaaakaaa 1111112122221()()()ijjnijjjnninjnjnjaakaaaaakaaaaakaaa 性质性质1 1：D=DT,其中其中DT为为 D 的转置行列式的转置行列式总结：总结：性质性质2.2.行列式中交换某两行或两列，行列式行列式中交换某两行或两列，行列式 仅改变符号仅改变符号.行列式的某一行（列）中所有的行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数元素都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此乘此行列式行列式.kk性质行列式中如果有两行列元素性质行列式中如果有两行列元素成比例，那么此行列式为零成比

8、例，那么此行列式为零性质性质5 5假设行列式的某一列行的元素假设行列式的某一列行的元素都是两数之和都是两数之和.那么行列式可表为两个行列那么行列式可表为两个行列式。式。性质把行列式的某一列行的各元素乘以性质把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用根本性质转化计算行列式常用方法：利用根本性质转化为上三角行列式或下三角行列式。为上三角行列式或下三角行列式。标准：标准：1、假设、假设a11不是不是1，那么通过变换，那么通过变换变为变为1.常用方法有：行列交换、所有

9、行列常用方法有：行列交换、所有行列相加提取出相加提取出a11.第一行尽量选择最简单的第一行尽量选择最简单的行。越简单越好。行。越简单越好。2、朝着上三角行列式或下三角行列式的、朝着上三角行列式或下三角行列式的方向变化。切记不可来回漫无目地的变。方向变化。切记不可来回漫无目地的变。3、每一步的变化方式需要写出。、每一步的变化方式需要写出。例例1.1.计算计算3112513420111533D 解：解：3112513420111533D 51342011 14rr15 33 3112 发现第四行的数字较大，不便计算。发现第四行的数字较大，不便计算。仔细观察后，第二列的元素比较简单，仔细观察后，第二

10、列的元素比较简单，所以考虑交换第一列与第二列所以考虑交换第一列与第二列.例例1.1.计算计算3112513420111533D 解：解：3112513420111533D 12341133 12cc1105 3521 1 3120 211 21rr 08 46 0 162 7 415rr 131201627 23rr08 46 0211 13120211084601627D 1 3120 211 324rr 0 0 810 0 010 15 428rr 1 3120 2110 0810 500024354rr 52 840.2 作业中的问题习题一作业中的问题习题一2、按按自自然然数数从从小小到

11、到大大为为标标准准次次序序，求求下下列列各各排排列列的的逆逆序序数数：(5)1 3(21)2 4(24)(22)(2)nnnn 1 2n 1n 2 t 11(1)2nn (1)2n n 12(1)n (6)1 3(21)(2)(22)42nnn (24)n 22n 2 t 2(22)(1)2nn (1)n n24(22)n 补补充充题题：计计算算下下列列行行列列式式的的值值：60051252172500301.2.2000267583185044407356324000200904103.4.736488567050523300000091242320 106 60(4312)(1)60t 补

12、补充充题题：计计算算下下列列行行列列式式的的值值：600517251.20008318 607010 (4213)(1)70t 341225000326575044cc 125200302.26755044 23341225265750440003rrrr 2131251225021170 106210003rrrr 3251225021170011060003rr 1225021170106210003 6 40735002003.736485052300912 31401135002007313485002300912cc 11139,222512 32240035002007313485

13、002300012rr rr rr 40035002007313485002300012 713,3348,3312 3254224 0 0350 02000 3 0005 0 0230 0 012cc cccc cc 23554140035400010020000200030000300050001500010001200012rrrr 4140001400010020000200030000300050001100000001200012rr (53214)(1)(6)6t 回忆回忆计算行列式常用方法：利用根本性质转化计算行列式常用方法：利用根本性质转化为上三角行列式或下三角行列式。为上三

14、角行列式或下三角行列式。标准：标准：1、假设、假设a11不是不是1，那么通过变换，那么通过变换变为变为1.常用方法有：行列交换、所有行列常用方法有：行列交换、所有行列相加提取出相加提取出a11.第一行尽量选择最简单的第一行尽量选择最简单的行。越简单越好。行。越简单越好。2、朝着上三角行列式或下三角行列式的、朝着上三角行列式或下三角行列式的方向变化。切记不可来回漫无目地的变。方向变化。切记不可来回漫无目地的变。3、每一步的变化方式需要写出。、每一步的变化方式需要写出。复复 习习1123133795204213571464410102D 求求行行列列式式的的值值。11231337952042135

15、71464410102 解解11231 0 2 0 41 0 01 02 213,rr 312rr 02 15 3 0 0 2 22 D 413,rr 514rr 112310215300222 23rr0 2 0 41 00102 11231020410010200222 42rr 00112 1123102041001020215300222D 112310204100102 00026 00010 43rr 532rr 11231020410010200010 00006 542rr 12 例例2.2.计算计算3111131111311113D 特点：每一行特点：每一行列加起来列加起来均

16、为均为6.解：解：3111131111311113D 131111311113 1234rrrr 666611111311611311113 11116 21,rr 020000200 0 0 231rr 41rr 48 练练 习习abbbbabbDbbabbbba 计计算算行行列列式式的的值值。解解(1)(1)(1)(1)anb anb anbanbbabbbbabbbba 12nrrrD 1 1 11(1)b a bba nb b b abb b ba 1 1 11(1)anb 21,rbr 000a b 0 00a b 31rbr 1,nrbr 0 0 0a b 1(1)()nanb a

17、b 例例3.3.计算计算2324323631063abcdaa ba b ca b c dDaa bab cabc daa bab cabc d 特点：每行中都含有第一行中对应项特点：每行中都含有第一行中对应项解：解：abcdD 0 aa ba b c 0 232432aababc 0 3631063aababc 21,rr 31,rr 41rr 0023243203631063abcdaababcDaababcaababc 0abcdaababc 322rr 002aa b 423rr 00373aab 0002abcdaababcaab 433rr 000a4a 练练 习习求求行行列列式式

18、的的值值。123123123123xnxnDxnx n 特点：每一列加起来均相等特点：每一列加起来均相等.解：解：123123123123xnxnDxnx n 232 32323nxnxnx n 12nc cc (1)2(1)2(1)2(1)2(1)2n nxn nxn nxn nxn nx 123123(1)1232123nxnnnxxnx n 123123(1)1232123nxnn nDxxnx n 123(1)2nn nx 21rr 000 x31rr 0 00 x 0 0 0 x1,nrr 1(1)2nn nxx 例例4 41111111111110kkkkknnnknnnaaaaD

19、ccbbccbb 设设11111det(),kijkkkaaDaaa 11121det()nijnnnbbDbbb.21DDD 证明证明分析：将行列式转变成为下三角行列式。分析：将行列式转变成为下三角行列式。行列式的初等变换不会改变行列式的值。行列式的初等变换不会改变行列式的值。AOA BBC ABA BOC(1)mnOAA BBO 总结：总结：再解再解解解在在函函数数中中,的的系系数数是是_ _ _ _ _ _ _210123()232112xxxf xxxx 8 10123()232112xxxf xxx 123232xx 14rr112x1 0 xx112x 21,rr 01 0 3xx

20、 0 14 2 2xx 20 0 1 2xx 312rr 41rxr 21120012xxx 23rr0 14 2 2xx 01 0 3xx 21120142 2()0103001 2xxxf xxxxx 2112014220012xxxxx 32(1)rxr 220 054 255xxxx 22254 2551 2xxxxxx 4328155xxxx 2233233121322133221332231111111,33212a aa aa aaaaaaaa aa aa a 212122331133131232aaaaaaaaa例如例如2233112332()a aa aa2331122133

21、()a aa aa2132132231()a aa aa111132aaa一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式22a23a23a33a33a22a32a32a21a23a33a31a21a22a32a31a记记，(1)ijijijAM 叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行行和第和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式阶行列式叫做元素叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija

22、.Mij23:a 的的余余子子式式为为11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323(1)AM 23M 23:a 的的代代数数余余子子式式为为.行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一个个代代数数余余子子式式再如再如1 032 41310D 2 2(在第二行第一列上，在第二行第一列上，a21)的余子式是：的余子式是：21M0310 3 2 2的代数余子式是：的代数余子式是：21A2 121(1)M 0310 3 1 032 41310D 1 1(在第三行第二列上在第三行第二列上,a32)的余子式是：的余子式是：7 32M13

23、21 -1-1的代数余子式是：的代数余子式是：3 232(1)M 1321 32A7(1)ijijijAM .ijijAM ijijAM 一般的一般的,对于符号，可由右表：对于符号，可由右表：符号符号“+表示对应位置上表示对应位置上符号符号“表示对应位置上表示对应位置上规律：对角线上为正，正的规律：对角线上为正，正的“邻居为负，负邻居为负，负的的 “邻居为正。邻居为正。引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所行所有元素除有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija

24、44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD 1112143 333212224414244(1).aaaaaaaaaa 例如例如3333aA3 33333(1)aM 证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ija11212221200nnnnnaaaaDaaa 即有即有12DD D 又又1 11111(1)AM 11M 从而从而1111Da A 1111.a M nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 1,2,1Diii 把把 的的第第 行行依依次次与与第第行行 第第行行第第 行行对对调调,得得11,11,1,100(1)ijiii

25、jinnnjnnaaaaDaaa ijaija下证一般的情形，当下证一般的情形，当行行i列列j1,2,1,Djjj 再再把把 的的第第 列列依依次次与与第第列列第第列列 第第 列列对对调调得得111,1,11,100(1)(1)ijijijijinnjn jnnaaaaDaaa ija(1)ijijija M ijija A 定理定理 行列式等于它的任一行列的各行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122iiiiininDa Aa Aa A (1,2,)in 证证111211212000000niiinnnnnaaaaaaDaaa

26、二、行列式按行列展开法那么二、行列式按行列展开法那么1112111200ninnnnaaaaaaa nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni,2,1 零多的行或列出现时，用展开法求行列式更零多的行或列出现时，用展开法求行列式更简便简便.三阶行列式计算对角线法更简单三阶行列式计算对角线法更简单推论推论:的元素与另一行的元素与另一行(列列)对应元素的代数余子对应元素的代数余子式乘积的和等于零式乘积的和等于零n阶行列式阶行列式det()ijDa 的某一行的某一行(列列)1112132122233132

27、33aaaaaaaaa111213313233AAaaa A 假设求假设求313233212223313233aaaaaaaaa 0 111213313233AAaaa A 313233aaa例例1 1 计算行列式计算行列式277010353 D解解.27 3372(621)D 2 2(1)(1)01 0计计算算行行列列式式5312017252023100414002350D 例例2解解D2 553120231(1)204140235 252312 5 414235 10(10241222460)1080.计计算算行行列列式式11220.000.00.000.111.11nnaaaaaa 解解

28、每每一一列列都都加加到到第第一一列列上上去去D 12200.000.00.000.111.11nnaaaaan 1 1(1)(1)nn 1220.00.0000.nnaaaaa 12(1)(1)nnna aa 例例3 33351110243152113 D解解(2)3112513420111533D 1113015 3 1100 132cc 3521 2626 3 3(1)511111155055552540 43cc 51105 求求1100001100001100001111111 解：解：D10000100011000111111 21cc 010002 2(1)1 0 000 11 0

29、0 0 111 11 1 110011111 1 作业中的问题习题一作业中的问题习题一 33页页4.计计算算下下列列各各行行列列式式：100110(4)011001abcd 解一：解一：D2(1)100110011001rabcd 12110100011001rrbacd 211100 10011001rarbabacd 323(1)110011010001rrrbcabad D32(1)11001100(1)1001rab rbcaabcabd 434(1)11001100100(1)1rrrbcdaabcab 43(1)1100110010001(1)raab c rbcdabaabcd

30、1(1)abaab c d 1abadcdabcd 4.计计算算下下列列各各行行列列式式：100110(4)011001abcd 解二：解二：D101101bacd 1100101cd ()abcdbd (1)cd 1abcdab adcd 6.det(),90ijnDaD 设设 阶阶行行列列式式把把 上上下下翻翻转转，或或逆逆时时针针旋旋转转，或或依依副副对对角角线线翻翻转转，依依次次得得111123111111111,nnnnnnnnnnnnaaaaaaDDDaaaaaa(1)2123(1),.n nDDD DD 证证明明：证一：证一：11111nnnnaaDaa 111211212122

31、2(1)nnnnnnnaaaaaaaaa 21,rr112,nnnnrrrr 最后一行依次与上一行交最后一行依次与上一行交换，直到换至第一行换，直到换至第一行共需交换共需交换n-1次次1112121222121231323(1)(1)nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa 111(1)(2)11(1)nnnnnnaaaa (1)2(1)n nD 32,rr112,nnnnrrrr 最后一行依次与上一行交换，直到换至最后一行依次与上一行交换，直到换至第二行，共需交换第二行，共需交换n-2次次.6.det(),90ijnDaD 设设 阶阶行行列列式式把把 上上下下翻翻转转，或或逆逆时时针针旋旋

32、转转，或或依依副副对对角角线线翻翻转转，依依次次得得111123111111111,nnnnnnnnnnnnaaaaaaDDDaaaaaa(1)2123(1),.n nDDD DD 证证明明：证二：证二：11111nnnnaaDaan为为偶偶数数时时2(1)nDn为为奇奇数数时时12(1)nD (1)2(1)n nD 12111nnnnaaDaa(1)2(1)n nTD (1)2(1)n nD 111(1)21(1)nn nnnnaaaa 13111nnnnaaDaa 111(1)21(1)nn nnnnaaaa (1)(1)22(1)(1)n nn nTD (1)(1)n nD D 111(

33、1)(1)221(1)(1)nn nn nnnnaaaa 将将D逆时针旋转逆时针旋转90度度先将先将D2上下翻转上下翻转将将D沿副对角线翻转沿副对角线翻转先将先将D3上下翻转上下翻转先将先将D3左右翻转左右翻转1 1、行列式等于它的任一行列的各元素、行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即1122iiiiininDa Aa Aa A (1,2,)in 回忆回忆11220()ijijinjna Aa Aa Aij 2 2、的元素与另一行的元素与另一行(列列)对应元素的代数余子对应元素的代数余子式乘积的和等于零式乘积的和等于零n阶行列式阶行列式

34、det()ijDa 的某一行的某一行(列列)例例4 4计计算算22nnabababDcdcdcd 0000abn阶行列式的求法阶行列式的求法:利用行列展开定理找利用行列展开定理找到递推式到递推式,从而求得解从而求得解.解：解：2nD 2100nababacdcdd 00001 2(1)nb 00002100nababcdcdc dca d 22nababcdcd 1 21(1)nbc 22nababcdcd 22nadD 22nbcD 22()nadbc D 222()nnDadbc D 224()nadbcD 112(21)2()()nnnnadbcDadbcD ()nadbc 2()nnD

35、adbc 综综上上，计计算算行行列列式式其其中中对对角角线线上上元元素素都都是是,未未写写出出的的元元素素都都是是；1,10naDaa 解解010010nnaaDa aa 1naa 1(1)n 10000100naa 134页页 7(1)1na a 11 1(1)(1)nn 2naa 2nnaa 22(1).naa 证证 用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx ,)(12 jijixx当当时时公公式式成成立立2n 例例5 5证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式1222212111112111()nnnijn ijnnnnxxxxxxDxxxxx (大指标大

36、指标-小指标小指标)的连乘积的连乘积假假设设公公式式对对于于阶阶范范德德蒙蒙德德行行列列式式成成立立，即即121().nijn ijnDxx 12222122221211112111nnnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx 11nnrx r 122221233312222122221120()()111nnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx 112nnrx r 1222212332213332222111120()(0)1(1)1()nnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 31 2,rx r 122211442211332211

37、2222111110()()0()()0()()0()()nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 21 1rx r 211221144221133221122221111100()()0()()0()()0()()nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx nD 1n 21311nxxxxxx2213311()()()nnxxxxxxxxx 2222213311()()()nnnnnxxxxxxxxx 21311()()()nxxxxxx 2322223111231111nnnnnnnxxxxxxxxx

38、213111()()()nnxxxxxx D 213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx ).(1jjinixx 如如222111abcabc()()().cb ca ba 练练习习 计计算算下下列列行行列列式式23223211123222223333.1111.1,2.111tttaaxxxbbxxxccxxx22211.11aabbcc222111abcabc()()()cb ca ba沿主对角线翻转沿主对角线翻转23231112322223333112.11tttxxxxxxxxx123222212333331231111txxxtxxxtxxx 323132121(

39、)()()()()()xxxxxt xxxt xt 沿主对角线翻转沿主对角线翻转12211021.3 10,_.45xAAx 如如的的代代数数余余子子式式则则代代数数余余子子式式补充题补充题1 2121(1)45xA 450 x 45x 解解2 12102(1)5Ax 2x 85 850000002._000000abcd(2413)000000(1)000000tababcdcd 解解abcd abcd 阶阶行行列列式式00003._00000ababnaba 111000000000(1)00000000000nnnnabbababDabaabab 解解111(1)nnna ab b 1(1)nnnab 1(1)nnnab 12312111114.,11_nnnnnnaaaDDa DkDak 若若则则12(1)12111(1)(1)1011nnnnnnaaDa Da 解解12nnna DD 1作业：作业：习题一习题一 3333页页 5(4)-(5)5(4)-(5)、7 7补补充充题题：计计算算下下列列行行列列式式的的值值：1.11111111122213331.2.123313661231363(1)nn